Binary Decision Diagrams

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Luis Miguel Díaz Muñoz
hace 7 años
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1 Rodríguez Blanco

2 Introduccion Equivalencia Tablas de verdad eficientes Construcción de

3 Equivalencia Tablas de verdad eficientes Equivalencia de dos fórmulas A 1 y A 2. Construir su tabla de verdad. Comprobar A 1 A 2 por su negación. Métodos costosos con fórmulas grandes. BDD Estructura de datos para fórmulas proposicionales. Equivalencia entre fórmulas se refleja en una estructura única para ambas. Diseño de circuitos y verificación de programas.

4 Equivalencia Tablas de verdad eficientes Partiendo de la fórmula: p (q r) su tabla de verdad sería: p q r p (q r) T T T T T T F T T F T T T F F T F T T T F T F F F F T F F F F F

5 Equivalencia Tablas de verdad eficientes Compactando valores: p q r p (q r) T T T T F T T T F T F F F F F

6 Construcción de Definición Gráfo dirigido acíclico. Nodos átomos. Nodos hoja True ó False. Cada átomo sólo una vez en cada camino desde la raíz hasta un nodo hoja. Nodos unidos entre líneas lisas o punteadas (afirmación o negación del átomo).

7 BDD de p (q r) Introduccion Construcción de Partiendo de la fórmula p (q r):

8 BDD de p (q r) Introduccion Construcción de Fusionando los nodos hoja (grafo dirigido acíclico):

9 BDD de p (q r) Introduccion Construcción de Eliminamos aquellos nodos r que no afecten a la decisión final:

10 BDD de p (q r) Introduccion Construcción de Repetimos la operación para los nodos q:

11 BDD de p q r Introduccion Construcción de Partiendo de la fórmula p q r y redleuciendo a su dag:

12 BDD de p q r Introduccion Construcción de Eliminando aquellos nodos r con la misma estructura:

13 Construcción de Algoritmo Apply Construcción de A 1 op.a 2 a partir de sus reducidos. Válido para construcción de cada BDD. BDD más básico:

14 Construcción de Construcción de (p q) (p r) Partimos de los de p q y p r:

15 Construcción de Construcción de (p q) (p r) Empleamos inducción estructural para ver los sub- suplantando p por T y F:

16 Construcción de Construcción de (p q) (p r) Tomamos un valor de p, en este caso, T. Cada sub-bdd es reemplazado por:

17 Construcción de Construcción de (p q) (p r) Tomamos un valor de q, en este caso, F. Cada sub-bdd es reemplazado por:

18 Construcción de Construcción de (p q) (p r) Tomamos los posibles valores de r, resultando:

19 Construcción de Construcción de (p q) (p r) Deshacemos el último paso con los resultados obtenidos:

20 Construcción de Construcción de (p q) (p r) Tras todos los pasos obtenemos el BDD:

21 Construcción de Construcción de (p q) (p r) Simplificando obtendremos la equivalencia con q r

22 Construcción de Conceptos Ordenación de átomos: Secuencia ordenada de los átomos recorridos en un camino desde la raíz hasta un átomo hoja. Conjunto de ordenaciones compatible: Si p precede a p en O i no puede darse que p preceda a p en O j, i j. Ordered BDD (OBDD): BDD cuyo conjunto de ordenaciones de todos los posibles caminos es compatible.

23 Construcción de Algoritmo de reducción (Reduce) Entrada: Un OBDD. Salida: Un OBDD en forma reducida. Pasos: Eliminar los nodos hojas duplicados cambiando los enlaces de los nodos anteriores a los dos nuevos nodos hoja.

24 Construcción de Algoritmo de reducción (Reduce) 1. Si la rama true y false de un nodo v i apunta al mismo nodo v j, eliminamos v i y apuntamos las ramas entrantes en éste a v j. 2. Si dos nodos v i son las raices de dos sub- idénticos, eliminamos uno de éstos y redirigimos las ramas entrantes al nodo eliminado al otro nodo.

25 Construcción de Algoritmo de construcción (Apply) Entrada: Un operador binario op., un OBDD para A 1 y un OBDD para A 2 cuya unión del conjuto de ordenaciones es compatible. Salida: Un OBDD para la fórmula A 1 op.a 2. Pasos: Si bdd 1 y bdd 2 son nodos hojas etiquetadas como v 1 y v 2 devolver la hoja etiquetada como v 1 op.v 2.

26 Construcción de Algoritmo de construcción (Apply) Si las raices de bdd 1 y bdd 2 están etiquetadas con el mismo átomo p devolver el BDD cuya raiz está etiquetada con el átomo p y cuya parte derecha es obtenida mediante la aplicación de este algoritmo de manera recursiva sobre la parte derecha de bdd 1 y bdd 2.

27 Construcción de Algoritmo de construcción (Apply) Si la raíz de bdd 1 es un átomo p 1 y la de bdd 2 es un átomo p 2 tal que p 1 < p 2 en la ordenación, devolver el BDD cuya raíz está etiquetada por el átomo p 1 y cuyo sub-bdd derecho es obtenido mediante la aplicación recursiva del algoritmo sobre la parte derecha de bdd 1 y bdd 2. Este punto se aplica aunque uno de los dos sea un nodo hoja.

28 Construcción de Algoritmo de restricción y cuantificación Restricción: Toma una fórmula A y un átomo p de ésta y le asigna un valor T ó F: A p=v Entrada: Un OBDD de una fórmula A, un átomo p de dicha fórmula y un valor v. Salida: Un OBDD de A p=v

29 Construcción de Algoritmo de restricción y cuantificación Pasos: 1. Si la raíz es una hoja devolver la hoja. 2. Si la raíz del bdd es p devolver el sub-bdd correspondiente al valor v. 3. Si la raíz del bdd es q (q p) aplicar el algoritmo a los dos sub- y devolver el BDD cuya raíz es q y sus sub- son los resultantes de aplicar el algoritmo de manera recursiva.

30 Construcción de Algoritmo de restricción y cuantificación Partiendo de la fórmula p (q r) y A r=t y A r=f :

31 Construcción de Algoritmo de restricción y cuantificación Cuantificación: Dada una fórmula A y un átomo de ésta, p: La cuantificación existencial de A se denota mediante pa que será cierta si y solo si para alguna asignación de p, A es cierta. La cuantificación universal de A se denota mediante pa que será cierta si y solo si para toda asignación de p, A es cierta. pa = A p=f A p=t pa = A p=f A p=t

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