Dirección de Operaciones

Transcripción

1 Dirección de Operaciones

2 1 Sesión No. 12 Nombre: Programación integral. Segunda parte. Objetivo Al finalizar el alumno, será capaz de identificar cuatro técnicas de solución dentro de la programación integral o la programación lineal entera. Contextualización Con esto terminamos? Esta sesión es una continuación del tema estudiado en la sesión anterior, y como dice la respuesta, de algún modo con esto si terminamos, no sólo el tema, sino el contenido de la materia de dirección de operaciones. Estamos a punto de concluir todo el camino que nos propusimos al inicio del curso, pero ya está en cada uno de nosotros el conocer o profundizar más los contenidos que se han presentado a lo largo del curso. No dudemos de la importancia de la dirección de operaciones dentro de la administración, pues como hemos visto a lo largo del curso es un tema de actualidad y que se aplica más de lo que imaginamos.

3 2 Introducción al Tema Dedicaremos esta sesión a conocer, a grandes rasgos, las cuatro diferentes técnicas de solución a problemas de programación lineal, integral o entera. Fuente imagen: Piixabay Los estudiaremos de modo sencillo y podremos hacer algún ejemplo de uno de ellos para lograr comprender mejor el contenido deseado. No por ser este el último tema es el menos importante. Es necesario conocer lo que se refiere a este tipo de programación para saber cuándo se trata de un problema de programación lineal entera o no y así poder utilizar la técnica adecuada para una mejor resolución del problema.

4 3 Explicación Técnicas de solución Veamos de qué trata cada una 1 Programación lineal con redondeo Esta técnica es sencilla, pero no por eso recomendable. Consiste en resolver el problema como si fuera de programación lineal continua y al final redondear la solución óptima a alguno de los valores factibles, para que éste se convierta en un número entero. El motivo por el cual se desaconseja utilizar esta técnica, es porque no necesariamente la solución puede llegar a satisfacer las restricciones del planteamiento inicial. En el fondo lo que se hace es relajar la condición de integralidad dentro del problema. 2 Enumeración total Este tipo de técnica tampoco es recomendable, pues se puede llegar a dar el caso que las soluciones crezcan de forma exponencial. Consiste en dar solución al problema pero suprimiendo las condiciones de variables enteras. Si se llegara a dar el caso de que el óptimo si cumple con las condiciones de las variables que son enteras, entonces se trata del óptimo del problema entero.

5 4 3 Planos de corte También se le conoce como la técnica de corte fraccional de Gomory. En este caso se pretende cambiar lo que se considera como el conjunto convexo de la región factible para así lograr que los puntos extremos adecuados sean todos enteros. Se le llama así porque se hacen cortes para crear los conjuntos convexos. Este cambio que se hace en dicho conjunto no puede cortar en ninguna de las soluciones enteras que son consideradas como factibles dentro del problema original. 4 Enumeración parcial por ramificación y acotamiento Este algoritmo es un poco más complejo y por lo mismo más completo y la metodología de resolución de esta técnica es: En primer lugar, es necesario resolver el problema lineal relajado asociado. Si se llegara a dar el caso que la solución es entera, entonces hemos encontrado la solución óptima y si no es una solución entera, hay que iniciar el proceso de ramificación y acotamiento. Ramificación. Se dice que se ramifica el problema porque lo que se hace es crear dos sub-problemas. La forma de hacerlo es precisamente ramificando una variable. Acotación. De los sub-problemas que se han creado hay que definir una cota para cada uno, ya sea superior o inferior para la función objetivo.

6 5 Sondeo. Si la solución es entera, entonces ya no es necesario seguir el procedimiento de ramificación y se comprueba si la función objetivo es mejor que la cota actual, entonces se conserva la nueva cota. Si se llegara a dar el caso que la función objetivo es peor que la cota actual, entonces estamos ante una solución no factible. Si ya se ha logrado llegar al final de las diferentes ramas, entonces es necesario definir cuál es la solución óptima, que en este caso sería aquella solución que tenga mejor función objetivo. Ejemplo Dado que podrían resolverse un sinnúmero de posibles problemas dentro de la programación lineal entera, pues pueden ser totales, mixtos o binarios dentro de las diferentes técnicas, resolveremos un problema sencillo a través de la técnica de ramificación y acotamiento. Pero según sea su interés por conocer más sobre otros tipos de problemas podrá encontrar más ejemplos entre diferentes recursos en línea (Gestión de operaciones, 2011, s/p). Max Z = 4X 1 + 6X 2 Sujeto a: 4X 1 + 3X 2 < 16 2X 1 + 4X 2 < 12 X 1, X 2 > 0 En primer lugar, es necesario resolver el problema a través de alguna de las diferentes herramientas que se estudiaron dentro de la programación lineal. En caso de que la solución óptima cumpla con el requisito de integralidad, es decir,

7 6 que al menos un valor sea entero, no sería necesario el aplicar ninguna técnica de la programación lineal entera. Como en este caso la solución es: X 1 = 2.9 y X 2 = 1,6 para que Z tenga un valor de 20.8 La ramificación y acotamiento se dará en dos vertientes para una variable, puede ser cualquiera de las dos, en este caso sería X1 y la ramificación sería: 1. P 1 es aproximar su valor de la solución óptima a su entero inferior más cercano para esta P 1 sería P 2 es aproximar su valor de la solución óptima a su entero superior más cercano, en este caso será 3. Resolviendo el problema de P 1 con el nuevo valor nos da una solución óptima de X 1 =2, X 2 =2 y Z= 20. En este caso vemos que la solución óptima es menor por.80 pero esto es normal dado que se ha acotado la región factible. Para el caso del P 2 la solución óptima sería: X 1 =3, X 2 =4/3 y Z=20. Aquí la solución óptima se da en la ramificación de P 1 puesto que los valores de las dos variables son enteros. En el caso del P 2 un valor es entero y el otro no, de ahí que la P 2 no es una solución óptima a un caso de programación lineal entera. En caso de que en ninguno de los dos casos se encontrara una solución en dónde las dos variables tengan un valor entero, sería necesario seguir ramificando y acotando de la misma manera. En este caso concreto se buscaba que la solución fuera de un modelo integral total, es decir, que todas las variables fueran enteras.

8 7 Conclusión Como se mencionó dentro de la introducción en esta sesión estudiamos cuatro técnicas de solución dentro de la programación integral o la programación lineal entera. Hemos visto un ejemplo sencillo pero que de forma clara y práctica nos permite entender mejor el método de ramificación y acotamiento, dado que los modelos de redondeo y enumeración total en sí mismos no requieren un algoritmo con varios pasos para desarrollarlo y porque el método de ramificación y acotamiento es más utilizado en la actualidad. No olvidemos que existen herramientas computacionales que nos permiten lograr la solución a este tipo de problemas, aunque no son tan recomendables estas técnicas dado que se pueden complicar los cálculos o no encontrar necesariamente la mejor solución. Debemos tener claro y desarrollar el sentido común y sobre todo ponderar cuándo realmente es necesario aplicar estas técnicas o no dentro de la toma de decisiones.

9 8 Para aprender más Miranda, S. (2011). Branch and Bound. Consultado el 14 de julio de 2013: Ruz, J. (s/f). Modelos lineales de optimización con variables enteras. En Universidad Complutense de Madrid. Consultado el 25 de julio de 2013: Seebach, C. (2006). Programación entera I. En Pontificia Universidad Católica de Chile. Consultado el 25 de julio de 2013:

10 9 Actividad de Aprendizaje Instrucciones: Qué vas a hacer? Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta sesión, resuelve a través de la técnica de ramificación y acotamiento el siguiente problema: Max Z= 2X 1 + 3X 2 Sujeto a: 5X 1 + 7X 2 < 35 4X 1 + 9X 2 < 36 X 1, X 2 > 0 Material: Como material inicial de consulta puedes usar la lectura de la sesión, además de aquellas publicaciones especializadas, libros, artículos, materiales universitarios y productos que sean pertinentes. Cuál es la forma de entrega? Guarda tu archivo en Word y súbelo a la plataforma.

11 10 Cómo serás evaluado? En esta actividad se tomará en cuenta lo siguiente: Criterios Referencias bibliográficas completas y pertinentes. Ortografía y redacción adecuada. Solución del problema señalando el procedimiento adecuado Organización adecuada de la información. Total Valor 5 pts. 10 pts. 70 pts. 15 pts. 100 puntos

12 11 Bibliografía Hillier, F. y Lieberman, G. (2001) Introducción a la investigación de operaciones. (8ª edición). México: McGraw Hill. Taha, H. (1995). Investigación de operaciones. México: Alfaomega. Cibergrafía Gestión de operaciones. (2011). Ejemplo del algoritmo de Branch and Bound. Consultado el 30 de julio de 2013: