Programación Entera. Nelson Devia C. IN Modelamiento y Optimización Departamento de Ingeniería Industrial Universidad de Chile
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- Eva María Vázquez Correa
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1 IN Modelamiento y Optimización Departamento de Ingeniería Industrial Universidad de Chile 2011 Basado en Bertsimas, D., Tsitsiklis, J. (1997) Introduction to Linear Optimization Capítulos 10 y 11
2 Contenidos Introducción 1 Introducción
3 Introducción Los problemas de programación lineal entera (IP 1 ) son equivalentes a los problemas de programación lineal (LP 2 ), excepto que algunas de las variables se restringen a tomar sólo valores enteros. En general, se tiene el siguiente problema de programación mixta(mip 3 ): (MIP) mín z = c x + d y Ax + By = b y 0 x Z n + Si no hay variables continuas, entonces se tiene un problema de programación entera: (IP) mín z = c x 1 Integer Programming 2 Linear Programming 3 Mixed Integer Programming Ax = b x Z n +
4 Introducción Las variables binarias son aquéllas que sólo pueden tomar los valores 0 ó 1. Claramente, las variables binarias también son enteras, ya que {0, 1} Z Si todas las variables son binarias se tiene un problema de programación entera binaria: mín z = c x Ax = b x {0, 1} n El caso más general es cuando se tienen todo tipo de variables: mín z = c x + d y + e z Ax + By + Cz = b x 0 y Z n + z {0, 1} m Es importante destacar que para que un problema sea entero las variables deben ser enteras, no así el valor de la función objetivo.
5 Introducción Los problemas enteros y mixtos son más difíciles de resolver que los problemas lineales, por varias razones: No se tiene una región factible. El conjunto S de soluciones factibles es no convexo. El óptimo del problema entero no se encuentra necesariamente en un vértice de S. Ejemplo de Problema Entero en R 2 : máx x 1 x 1 x 2 3 x 1, x 2 Z +
6 Introducción Los problemas enteros y mixtos son más difíciles de resolver que los problemas lineales, por varias razones: No se tiene una región factible. El conjunto S de soluciones factibles es no convexo. El óptimo del problema entero no se encuentra necesariamente en un vértice de S. Ejemplo de Problema Mixto en R 2 : máx x 1 x 1 x 2 3 x 1 0 x 2 Z +
7 La relajación lineal de un problema entero (o mixto) corresponde al mismo problema, pero en el que se les permite a todas las variables ser continuas. Ejemplo: (P) máx z = x 1 x 1 x 2 3 x 1, x 2 Z + (PR) máx z = x 1 x 1 x 2 3 x 1, x 2 0 Relajación Lineal
8 En toda relajación, se tiene que el conjunto de soluciones factibles es más grande que el del problema original. Si llamamos S P a la región factible del problema entero y S PR a la del problema relajado, siempre se tiene que: S P S PR Por esta razón, el óptimo del problema relajado siempre será mejor o igual al óptimo del problema entero. En el ejemplo, como se trataba de un problema de maximización: z PR z P Concretamente: z PR = 3,5, mientras que z P = 3. Notar que la solución óptima de (PR), xpr = ( 3, 5 el problema (P), pues no es entera. 0,5 ) es infactible en En general, el óptimo del problema relajado (z PR) sirve como una cota para el problema original.
9 Como no existen algoritmos eficientes para resolver problemas enteros, se plantean métodos que buscan el óptimo resolviendo una serie de problemas lineales. Ejemplo: Consideremos el problema (P) y su relajación (PR): (P) mín c x Ax = b (PR) mín c x x Z + Un algoritmo de plano cortante genérico es el siguiente: 1. Resolver la relajación lineal (PR). Sea x la solución óptima. 2. Si x Z + terminar, x es el óptimo de (P). Ax = b x 0 3. Si no, agregar una restricción a (PR), tal que sea satisfecha por toda solución entera de (P), pero no por x. Volver al paso 1. Nota: La forma en que se eligen estas restricciones determina la eficiencia del algoritmo.
10 Ejemplo: (P) máx z = 3x 1 x 2 x 1 x 2 3 (PR) máx z = 3x 1 x 2 x 1 x 2 3 x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z + (PR 1 ) máx z = 3x 1 x 2 x 1 x 2 3 7x 1 x 2 21 x 1, x 2 0 Plano Cortante
11 Uno de los primeros algoritmos para problemas enteros lo propuso Gomory (1958), usando información que entrega Simplex: Sea (PR) un problema lineal en forma estándar que representa la relajación de un problema entero: (PR) mín z = c x Ax = b x 0 De Simplex sabemos que, dada una base A B, se tiene que: x B + A 1 B A Nx N = A 1 B b x B + A N x N = b Sea a ij = (A j ) i y supongamos que b i / Z. Se tiene que: x i + j / B a ij x j = b i
12 Denotamos p a la parte entera inferior de p. Como se tiene que x j 0 j, se tiene: x i + j / B a ij x j x i + j / B a ij x j = b i Como los x j deben ser también enteros, el lado izquierdo de la desigualdad es entero, por lo que: x i + j / B a ij x j b i Notar que esta desigualdad la satisfacen todas las soluciones enteras factibles en (PR), pero no por el óptimo x, ya que xi = b i / Z y xj = 0 j / B.
13 Ejemplo: mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1, x 2 Z + Forma Estándar (P) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4 Z +
14 Ejemplo: El problema relajado es el siguiente: (PR) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 El óptimo de este problema está dado por la base: x B = {x 1, x 2} y x N = {x 3, x 4}, donde: ( ) ( ) ( ) A B = A 1 1 N = b = ( 1 ) ( A ) ) 6 B = A N = b = (
15 Ejemplo: (PR) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Luego, xb + A N xn = b implica que: ( ) ( x x 2 Con esto se tiene que: ) ( ) x 3 = x 4 x x x 4 = x x x 4 = ( 15 )
16 Ejemplo: (PR) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Notar que se trata de las restricciones activas en el óptimo de (PR) Eligiendo cualquiera de las ecuaciones con lado derecho no entero, se tiene un corte de Gomory: x x x 3 + x x 4 x x 1 + ( 1) x x 4 1 x 1 x 3 1 x x x 4 2 x 2 2
17 Si se elige la primera en el ejemplo, se tiene: (PR 1) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1 x 3 + x 5 = 1 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Notar que en la región factible de (PR 1) se cortó la solución óptima de (PR) sin eliminar ninguna de sus soluciones enteras factibles. x PR = ( ) no satisface la nueva restricción.
18 Si se elige la segunda en el ejemplo, se tiene: (P 1) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 2 + x 5 = 2 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Notar que en la región factible de (PR 1) se cortó la solución óptima de (PR) sin eliminar ninguna de sus soluciones enteras factibles. x PR = ( ) no satisface la nueva restricción ) 4 El óptimo de este nuevo problema es x PR 1 = (
19 (PR 1) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 2 + x 5 = 2 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Del mismo modo que en el caso anterior, se tiene que una de las restricciones activas en el óptimo de (PR 1) es: Luego: x x3 + x5 4 4 x x x 5 = 3 4 x 1 + ( 1)x 3 + 1x 5 0 x 1 x 3 + x 5 0 Reemplazando x 3 y x 5 con las demás restricciones, se tiene que: 3x 1 + 5x 2 7
20 Agregando esta nueva restricción a (PR 1) se tiene el problema (PR 2): (PR 2 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 2 + x 5 = 2 3x 1 + 5x 2 + x 6 = 7 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 El óptimo de este problema se alcanza para: x PR 2 = ( ) Z 6 Como la solución de este problema es entera, tenemos una solución óptima del problema original (P).
21 (B&B) El algoritmo Branch & Bounds (Ramificación y Acotamiento) se basa en la división o ramificación de la relajación lineal del problema entero, con el objetivo de encontrar cotas al valor óptimo. Consideremos el problema (P) y su relajación (PR): (P) mín z P = c x Ax = b (PR) mín z PR = c x Ax = b x Z + x 0 Una cota inferior al óptimo del problema entero (zp) es el óptimo de su relajación lineal (zpr). (Cota superior si (P) fuera de maximización) z P z PR Una cota superior al óptimo del problema entero (zp) es el valor z de cualquier solución factible en (P). (Cota inferior si (P) fuera de maximización) zp z La mejor solución factible Z encontrada hasta el momento se conoce como incumbente.
22 (B&B) Un algoritmo de ramificación y acotamiento genérico es el siguiente: Inicialización: Incumbente: Z = + Problema activo: P i = PR 1. Elegir problema activo P i aún sin resolver. Si no hay, terminar: el óptimo del problema entero es el incumbente Z. 2. Resolver el problema activo (P i ). 3. Si P i es infactible, volver a Sea x la solución óptima de (P i ) y cx su valor óptimo. Si cx > Z, volver a Si x Z + actualizar el incumbente Z = cx y volver a Si no, elegir xi / Z +. Activar 2 nuevos problemas, agregando una de las siguientes restricciones a cada uno: a. (PR 1 ) = (PR) {x i xi } b. (PR 2 ) = (PR) {x i xi } Volver a 1.
23 (B&B) En otras palabras, en cada iteración en la que se llega a una solución no entera, se generan 2 cortes que eliminan el intervalo no entero en el que se encontraba alguna de las variables. Notar que la ramificación de B&B tiene 3 criterios de detención: 1. Se llega a un problema infactible. 2. Se llega a una solución entera. 3. El valor óptimo encontrado es peor que el incumbente. Ejemplo: (P) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1, x 2 Z +
24 (B&B) Resolvemos la relajación lineal de (P): (P 0 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1, x 2 0 Se obtiene que: x P 0 = ( 1,5 2,5 ) z P0 = 3,5 Elegimos una variable no entera para ramificar: x 1
25 (B&B) Resolvemos la relajación lineal de (P): (P 0 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1, x 2 0 Se obtiene que: x P 0 = ( 1,5 2,5 ) z P0 = 3,5 Elegimos una variable no entera para ramificar: x 1
26 (B&B) Resolvemos (P 1): (P 1 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 1, x 2 0 Se obtiene que: x P 1 = ( 1 2,16 ) z P1 = 3.3 Elegimos una variable no entera para ramificar: x 2
27 (B&B) Resolvemos (P 1): (P 1 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 1, x 2 0 Se obtiene que: x P 1 = ( 1 2,16 ) z P1 = 3.3 Elegimos una variable no entera para ramificar: x 2
28 (B&B) Resolvemos (P 3): (P 3 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 2 2 x 1, x 2 0 Se obtiene que: x P 3 = ( 0,75 2 ) z P3 = 3,25 Elegimos una variable no entera para ramificar: x 1
29 (B&B) Resolvemos (P 3): (P 3 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 2 2 x 1, x 2 0 Se obtiene que: x P 3 = ( 0,75 2 ) z P3 = 3,25 Elegimos una variable no entera para ramificar: x 1
30 (B&B) Resolvemos (P 5): (P 5 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 2 2 x 1 0 x 1, x 2 0 Se obtiene que: xp 5 = ( 0 1,5 ) z P5 = 3 Elegimos una variable no entera para ramificar: x 2
31 (B&B) Resolvemos (P 5): (P 5 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 2 2 x 1 0 x 1, x 2 0 Se obtiene que: xp 5 = ( 0 1,5 ) z P5 = 3 Elegimos una variable no entera para ramificar: x 2
32 (B&B) Resolvemos (P 7): (P 7 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 Se obtiene que: xp 7 = ( 0 1 ) z P7 = 2 x 1 1 x 2 2 x 1 0 x 2 1 x 1, x 2 0 Como se tiene que x P 7 Z 2 + se detiene la ramificación y se actualiza el incumbente Z = 2.
33 (B&B) Resolvemos (P 7): (P 7 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 Se obtiene que: xp 7 = ( 0 1 ) z P7 = 2 x 1 1 x 2 2 x 1 0 x 2 1 x 1, x 2 0 Como se tiene que x P 7 Z 2 + se detiene la ramificación y se actualiza el incumbente Z = 2.
34 (B&B) Resolvemos (P 8): (P 8 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 2 2 x 1 0 x 2 2 x 1, x 2 0 Se obtiene un problema infactible, por lo que se detiene la ramificación.
35 (B&B) Resolvemos (P 8): (P 8 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 2 2 x 1 0 x 2 2 x 1, x 2 0 Se obtiene un problema infactible, por lo que se detiene la ramificación.
36 (B&B) Resolvemos (P 6): (P 6 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 Se obtiene que: xp 6 = ( 1 2 ) z P6 = 3 x 1 1 x 2 2 x 1 1 x 1, x 2 0 Como se tiene que x P 6 Z 2 + se detiene la ramificación y se actualiza el incumbente Z = 3.
37 (B&B) Resolvemos (P 6): (P 6 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 Se obtiene que: xp 6 = ( 1 2 ) z P6 = 3 x 1 1 x 2 2 x 1 1 x 1, x 2 0 Como se tiene que x P 6 Z 2 + se detiene la ramificación y se actualiza el incumbente Z = 3.
38 (B&B) Resolvemos (P 4): (P 4 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 2 3 x 1, x 2 0 Se obtiene un problema infactible, por lo que se detiene la ramificación.
39 (B&B) Resolvemos (P 4): (P 4 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 x 1 1 x 2 3 x 1, x 2 0 Se obtiene un problema infactible, por lo que se detiene la ramificación.
40 (B&B) Resolvemos (P 2): (P 2 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 Se obtiene que: xp 2 = ( 2 2 ) z P2 = 2 x 1 2 x 1, x 2 0 Como se tiene que z P 2 > Z = 3 se detiene la ramificación, ya que cualquier subproblema de (P 2 ) tendrá una solución mayor o igual a z P 2.
41 (B&B) Resolvemos (P 2): (P 2 ) mín z = x 1 2x 2 4x 1 + 6x 2 9 Se obtiene que: xp 2 = ( 2 2 ) z P2 = 2 x 1 2 x 1, x 2 0 Como se tiene que z P 2 > Z = 3 se detiene la ramificación, ya que cualquier subproblema de (P 2 ) tendrá una solución mayor o igual a z P 2.
42 (B&B) Como no quedan problemas por resolver se tiene que el óptimo de (P) es el incumbente Z = 3, generado por el nodo P 6: x = ( 1 2 ) z = 3
43 (B&B) Como no quedan problemas por resolver se tiene que el óptimo de (P) es el incumbente Z = 3, generado por el nodo P 6: x = ( 1 2 ) z = 3
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