Heurísticas en el recorrido de árboles de soluciones

Transcripción

1 Heurísticas en el recorrido de árboles de soluciones. Árboles de soluciones. Repaso de backtracking y branch and bound. Uso de heurísicas en backtracking 4. Uso de heurísticas en branch and bound

2 . Árboles de soluciones Problemas que se resuelven tomando un número de decisiones se pueden representar mediante árboles de soluciones: Algunos nodos representan solución parcial ( internos?) Otros solucines completas ( terminales?) Inicio x x x x x x x x

3 . Árboles de soluciones Cada nivel corresponde a un paso de la decisión Cada arista es una decisión de entre las posibles para ese paso Los nodos se recorren en un orden fijo ( backtracking?) o guiado ( B&B?) x

4 . Árboles de soluciones Tipos comunes de árboles de soluciones: Árboles binarios. Árboles n arios. Árboles permutacionales. Árboles combinatorios....

5 . Árboles de soluciones Árboles binarios: s= (,,..., x n ), con x i {0, } Tipo de problemas: elegir ciertos elementos de entre un conjunto, sin importar el orden de los elementos. Problema de la mochila 0/. Encontrar un subconjunto de {,,, 8,, 7, } que sume exactamente 50.

6 . Árboles de soluciones Árboles k arios: s= (,,..., x n ), con x i {,..,k} Tipo de problemas: varias opciones para cada x i. Problema del cambio de monedas. Problema de las n reinas. Mapeo de procesos a procesadores

7 . Árboles de soluciones Árboles permutacionales: s= (,,..., x n ), con x i {,..,n} y x i x j x Tipo de problemas: los x i no se pueden repetir. Generar todas las permutaciones de (,..., n). Asignar n trabajos a n personas, asignación uno a uno.

8 . Árboles de soluciones Árboles combinatorios: s= (,,..., x m ), con m n, x i {,..,n} y x i < x i x Tipo de problemas: los mismos que con árb. binarios. Binario: (0,, 0,, 0, 0, ) Combinatorio: (, 4, 7)

9 . Árboles de soluciones Cuestiones a resolver en el uso de árboles: Qué tipo de árbol es adecuado para el problema? Cómo es la representación de la solución? Cómo es la tupla solución? Qué indica cada x i y qué valores puede tomar? Cómo generar un recorrido según ese árbol? Generar los hijos de un nodo. HEURÍSTICO? Movimiento por el árbol. HEURÍSTICO? Qué ramas se pueden descartar por no conducir a soluciones del problema? Poda por restricciones del problema. HEURÍSTICO? Poda según el criterio de la función objetivo.

10 . Repaso de Backtracking y Branch and Bound El backtracking (o método de retroceso o vuelta atrás) es una técnica general de resolución de problemas, aplicable en problemas de distintos tipos. El backtracking realiza una búsqueda exhaustiva y sistemática en el espacio de soluciones. Por ello, suele resultar muy ineficiente usar heurísticas para: Guiar la búsqueda, Eliminar nodos en las heurísticas puede participar un método de avance rápido

11 . Repaso de Backtracking y Branch and Bound La ramificación y poda (branch and bound) se suele utilizar en problemas de optimización discreta. Recorre el árbol de soluciones con: Un recorrido sistemático El recorrido no tiene por qué ser necesariamente en profundidad. Tendremos una estrategia de ramificación, guiada por estimaciones del beneficio, que se hacen en cada nodo, utilizando heurística Se usan técnicas de poda para eliminar nodos que no lleven a la solución óptima. La poda se realiza estimando en cada nodo cotas del beneficio que podemos obtener a partir del mismo. Con heurística, que puede incluir avance rápido

12 . Repaso de Backtracking y Branch and Bound Una solución se puede expresar como una tupla: (,,..., x n ), satisfaciendo unas restricciones y tal vez optimizando cierta función objetivo. En cada momento, el algoritmo se encontrará en cierto nivel k, en un nodo, representado con una solución parcial (,..., x k ). Generar un nodo del siguiente nivel consiste en añadir un nuevo elemento a la solución x k+. Se sigue hasta que la solución parcial sea una solución completa del problema, o hasta que no queden más posibilidades por probar.

13 . Uso de heurísticas en Backtracking Backtracking no recursivo para problema de optimización: Backtracking (var s: TuplaSolución) nivel= ; s= s INICIAL fin= false; voa= 0; SOA = vacía repetir Función heurística, greedy Generar (nivel, s) si Solución (nivel, s) entonces Función a optimizar si mejor(soa,s) entonces SOA=s, voa=valor(soa) finsi finsi Eliminar algunos válidos si Criterio (nivel, s) entonces nivel:= nivel + sino mientras nivel>0 AND NOT MasHermanos (nivel, s) Retroceder (nivel, s) finmientras finsi hasta nivel

14 4. Uso de heurísticas en Branch and Bound Para cada nodo tendremos: Cota superior (CS) y Cota inferior (CI) del beneficio (o coste) que podemos alcanzar a partir de ese nodo. Determinan cuándo se puede realizar una poda. Obtenidas con HEURÍSTICA y pueden eliminar soluciones óptimas. Estimación del beneficio (o coste) que se puede encontrar a partir de ese nodo. Se puede obtener a partir de las cotas: ser la media o una de ellas. Puede ser con HEURÍSTICA y greedy. Ayuda a decidir qué parte del árbol evaluar primero.

15 4. Uso de heurísticas en Branch and Bound Esquema general. Problema de minimización, suponiendo el caso en que existe solución a partir de cualquier nodo. RamificacionYPoda (NodoRaiz: tipo_nodo; var s: tipo_solucion) LNV= {NodoRaiz} C= CS (NodoRaiz) s= Mientras LNV hacer x= Seleccionar (LNV) LNV= LNV {x} Si CI (x) < C Para cada y hijo de x hacer Si y es una solución final mejor que s s= y C= min {C, Coste (y)} en otro caso si y no es solución final y (CI(y) < C) LNV= LNV + {y} C= min {C, CS (y)}

16 Referencias Brassard, Bratley Cormen, Leiserson, Rivest D. Giménez, G. García, J. Cervera, N.Marín: Texto guía de AED, tomo Algoritmos. Ed. Diego Marín. Página de la asignatura de algoritmos Wikipedia, página de Algoritmo