Coloreo de Grafos. Algoritmos y Estructuras de Datos III

Transcripción

1 Coloreo de Grafos Algoritmos y Estructuras de Datos III

2 Coloreo de nodos Definiciones: Un coloreo (válido) de los nodos de un grafo G = (V, X ) es una asignación f : V C, tal que f (v) f (u) (u, v) E. Los elementos de C son llamados colores. Muchas veces los colores son enteros positivos. Para todo entero positvo k, un k-coloreo de G es un coloreo de los nodos de G que usa exactamente k colores. Un grafo G se dice k-coloreable si existe un k-coloreo de G. El número cromático de G, χ(g), es el menor número de colores necesarios para colorear los nodos de G. Un grafo G se dice k-cromático si χ(g) = k.

3 Coloreo de nodos Ejemplos: χ(k n ) =

4 Coloreo de nodos Ejemplos: χ(k n ) = n. Si G es un grafo bipartito con m > 0, entonces χ(g) =

5 Coloreo de nodos Ejemplos: χ(k n ) = n. Si G es un grafo bipartito con m > 0, entonces χ(g) = 2. Si H 2k es un circuito simple par, entonces χ(h 2k ) =

6 Coloreo de nodos Ejemplos: χ(k n ) = n. Si G es un grafo bipartito con m > 0, entonces χ(g) = 2. Si H 2k es un circuito simple par, entonces χ(h 2k ) = 2. Si H 2k+1 es un circuito simple impar, entonces χ(h 2k+1 ) =

7 Coloreo de nodos Ejemplos: χ(k n ) = n. Si G es un grafo bipartito con m > 0, entonces χ(g) = 2. Si H 2k es un circuito simple par, entonces χ(h 2k ) = 2. Si H 2k+1 es un circuito simple impar, entonces χ(h 2k+1 ) = 3. Si T es un árbol con n > 1, entonces χ(t ) =

8 Coloreo de nodos Ejemplos: χ(k n ) = n. Si G es un grafo bipartito con m > 0, entonces χ(g) = 2. Si H 2k es un circuito simple par, entonces χ(h 2k ) = 2. Si H 2k+1 es un circuito simple impar, entonces χ(h 2k+1 ) = 3. Si T es un árbol con n > 1, entonces χ(t ) = 2.

9 Cotas para χ Proposición: Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g).

10 Cotas para χ Proposición: Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g). Definición: Una clique en un grafo es un subgrafo completo maximal. El número clique ω(g) de un grafo es el número de nodos de una clique máxima de G.

11 Cotas para χ Proposición: Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g). Definición: Una clique en un grafo es un subgrafo completo maximal. El número clique ω(g) de un grafo es el número de nodos de una clique máxima de G. Proposición: Para cualquier grafo G, χ(g) ω(g).

12 Cotas para χ Proposición: Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g). Definición: Una clique en un grafo es un subgrafo completo maximal. El número clique ω(g) de un grafo es el número de nodos de una clique máxima de G. Proposición: Para cualquier grafo G, χ(g) ω(g). u 3 u 5 u 4

13 Cotas para χ Proposición: Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g). Definición: Una clique en un grafo es un subgrafo completo maximal. El número clique ω(g) de un grafo es el número de nodos de una clique máxima de G. Proposición: Para cualquier grafo G, χ(g) ω(g). χ(g) 3 u 3 ω(g) 3 u 5 u 4

14 Cotas para χ Proposición: Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g). Definición: Una clique en un grafo es un subgrafo completo maximal. El número clique ω(g) de un grafo es el número de nodos de una clique máxima de G. Proposición: Para cualquier grafo G, χ(g) ω(g). χ(g) 3 u 3 ω(g) 3 u 5 u 4 χ(g) = 3

15 Cotas para χ Proposición: Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g). Definición: Una clique en un grafo es un subgrafo completo maximal. El número clique ω(g) de un grafo es el número de nodos de una clique máxima de G. Proposición: Para cualquier grafo G, χ(g) ω(g). χ(g) 3 u 3 ω(g) 3 u 5 u 4 χ(g) = 3 Es buena esta cota?

16 Grafos de Mycielski Definición (por inducción): 1. M 1 = K 1 2. M 2 = K 2 3. Para i 2, M i+1 se construye a partir de M i de la siguiente forma: Si Mi tiene p nodos, v 1,..., v p, M i+1 tendrá 2p + 1 nodos, v 1,..., v p,,..., u p, w, donde u i es copia de v i. El conjunto de aristas de Mi+1 tendrá todas las aristas de M i, las aristas uniendo u i con los vecinos de v i en M i y las aristas uniendo w con cada u i.

17 Grafos de Mycielski M 2 v 1 v 2

18 Grafos de Mycielski M 3 v 2 M 2 v 1 v 2 v 1 w

21 Grafos de Mycielski v 2 M 3 v 2 M 4 M 2 v 1 v 2 v 1 v 1 u 3 v 3 w w u 5 u 4 v 5 v 4

25 Grafos de Mycielski v 2 M 3 v 2 M 4 M 2 v 1 v 2 v 1 v 1 u 3 v 3 w w u 5 u 4 v 5 v 4 Cuál es el número cromático de M i?

33 Grafos de Mycielski v 2 M 3 v 2 M 4 M 2 v 1 v 2 v 1 v 1 u 3 v 3 w w u 5 u 4 v 5 v 4 Cuál es el número cromático de M i? χ(m i ) = i

34 Grafos de Mycielski v 2 M 3 v 2 M 4 M 2 v 1 v 2 v 1 v 1 u 3 v 3 w w u 5 u 4 v 5 v 4 Cuál es el número cromático de M i? χ(m i ) = i Cuál es la clique máxima de M i?

35 Grafos de Mycielski v 2 M 3 v 2 M 4 M 2 v 1 v 2 v 1 v 1 u 3 v 3 w w u 5 u 4 v 5 v 4 Cuál es el número cromático de M i? χ(m i ) = i Cuál es la clique máxima de M i? ω(m i ) = 2

36 Cotas para χ Proposición: Si (G) es el grado máximo de G entonces χ(g) (G) + 1.

37 Cotas para χ Proposición: Si (G) es el grado máximo de G entonces χ(g) (G) + 1. Teorema (Brooks): Sea G un grafo conexo que no es un circuito impar ni un grafo completo. Entonces χ(g) (G).

38 Cotas para χ Proposición: Si (G) es el grado máximo de G entonces χ(g) (G) + 1. Teorema (Brooks): Sea G un grafo conexo que no es un circuito impar ni un grafo completo. Entonces χ(g) (G). Son buenas estas cotas?

39 Cotas para χ Proposición: Si (G) es el grado máximo de G entonces χ(g) (G) + 1. Teorema (Brooks): Sea G un grafo conexo que no es un circuito impar ni un grafo completo. Entonces χ(g) (G). Son buenas estas cotas? K 1,5 u u 3 u 5 u 4

40 Cotas para χ Proposición: Si (G) es el grado máximo de G entonces χ(g) (G) + 1. Teorema (Brooks): Sea G un grafo conexo que no es un circuito impar ni un grafo completo. Entonces χ(g) (G). Son buenas estas cotas? K 1,5 χ(k 1,n ) = 2 u u 3 (K 1,n ) = n u 5 u 4

41 Cotas para χ Lema 1: En todo (G)-coloreo de G v, los vecinos de v en G usan todos los colores y d G (v) = (G) v V.

42 Cotas para χ Lema 1: En todo (G)-coloreo de G v, los vecinos de v en G usan todos los colores y d G (v) = (G) v V. Sean N(v) = {v 1,..., v (G) } los vecinos de v y consideremos un (G)-coloreo de G v donde el nodo v i es pintado con color i. Para i j, sea H ij el subgrafo inducido por los nodos de G v pintados con colores i o j en ese (G)-coloreo.

43 Cotas para χ Lema 1: En todo (G)-coloreo de G v, los vecinos de v en G usan todos los colores y d G (v) = (G) v V. Sean N(v) = {v 1,..., v (G) } los vecinos de v y consideremos un (G)-coloreo de G v donde el nodo v i es pintado con color i. Para i j, sea H ij el subgrafo inducido por los nodos de G v pintados con colores i o j en ese (G)-coloreo. Lema 2: v i y v j pertenecen a la misma componente conexa de H ij

44 Cotas para χ Lema 1: En todo (G)-coloreo de G v, los vecinos de v en G usan todos los colores y d G (v) = (G) v V. Sean N(v) = {v 1,..., v (G) } los vecinos de v y consideremos un (G)-coloreo de G v donde el nodo v i es pintado con color i. Para i j, sea H ij el subgrafo inducido por los nodos de G v pintados con colores i o j en ese (G)-coloreo. Lema 2: v i y v j pertenecen a la misma componente conexa de H ij Lema 3: Si P ij es la componente conexa de H ij que contiene a v i y a v j, entonces P ij es un camino en H ij.

45 Cotas para χ Lema 1: En todo (G)-coloreo de G v, los vecinos de v en G usan todos los colores y d G (v) = (G) v V. Sean N(v) = {v 1,..., v (G) } los vecinos de v y consideremos un (G)-coloreo de G v donde el nodo v i es pintado con color i. Para i j, sea H ij el subgrafo inducido por los nodos de G v pintados con colores i o j en ese (G)-coloreo. Lema 2: v i y v j pertenecen a la misma componente conexa de H ij Lema 3: Si P ij es la componente conexa de H ij que contiene a v i y a v j, entonces P ij es un camino en H ij. Lema 4: P ij P ik = {v i }, para colores i j k.

46 Problema de los cuatro colores Teorema de los 4 colores (Appel, Haken, 1976): Si G es un grafo planar, entonces χ(g) 4. Teorema (Heawood, 1890): Si G es un grafo planar, entonces χ(g) 5.

47 Algoritmos para coloreo de grafos Problema difícil, computacionalmente no resuelto. Hay muchísimo trabajo en desarrollo de algoritmos, especialmente heurísticas para coloreo de grafos.

48 Algoritmo (heurística) secuencial (S) Entrada: Un grafo G con un orden en los nodos v 1,..., v n. f (v 1 ) := 1 para i = 2, 3,..., n hacer f (v i ) = mín{h / h 1 y f (v j ) h (v j, v i ) E, 1 j i 1} retornar coloreo definido por f

49 Algoritmo secuencial (S) Definimos u S (G, v 1, v 2,..., v n ) = máx 1 i n mín{i, d(v i) + 1}. Proposición: Si χ S (G) es el número de colores usado por el algoritmo secuencial para colorear G cuando los nodos son considerados en el orden v 1,..., v n, entonces χ(g) χ S (G) u S (G, v 1, v 2,..., v n ). Importa el orden en que se colorean los nodos con el algoritmo secuencial?

50 Algoritmo secuencial (LFS) Orden Largest First (LF): los nodos son ordenados de mayor grado a menor grado, d( ) d( )... d(u n ). Proposición: Si u LF (G) = u S (G,,,..., u n ) donde,,..., u n están ordenados según LF. Entonces u LF (G) mín u S (G, v 1, v 2,..., v n ) donde el mínimo está tomado sobre todos los ordenes posibles, v 1,..., v n. Esto implica que siempre el algoritmo secuencial da un resultado mejor si se usa LF?

51 Algoritmo secuencial Otra cota (mejor) para el número de colores usados por el algoritmo secuencial es: u S (G, v 1, v 2,..., v n ) = 1 + máx 1 i n {d G i (v i )} donde d Gi (v i ) es el grado del nodo v i en el grafo inducido por v 1, v 2,..., v i.

52 Algoritmo secuencial (SLS) Orden Smallest Last (SL): 1. poner como v n el nodo de mínimo grado de G. 2. para i = n 1,..., 1 poner como v i el nodo de grado mínimo en el subgrafo de G inducido por V \ {v n, v n 1,..., v i+1 }. Definimos u SL (G) = 1 + máx 1 i n mín 1 j i {d G i (v j )} donde d Gi (v j ) es el grado del nodo v j en el grafo inducido por V \ {v n, v n 1,..., v i+1 }.

53 Algoritmo secuencial - Cotas Se puede demostrar (ejercicio) que: u S (G) u S(G) para cualquier orden de los nodos. χ SL (G) u SL (G). u SL (G) u LF (G). SLS colorea un grafo planar con 6 colores o menos. Son buenas estas cotas?

54 Algoritmo secuencial con intercambio (SI) Supongamos que tenemos un coloreo parcial de G, donde los nodos v 1,..., v i 1 ya han sido coloredos y es el turno de colorear a v i. Si todos los colores ya utilizados están en la vecindad de v i, será necesario utilizar un nuevo color.

55 Algoritmo secuencial con intercambio (SI) Supongamos que tenemos un coloreo parcial de G, donde los nodos v 1,..., v i 1 ya han sido coloredos y es el turno de colorear a v i. Si todos los colores ya utilizados están en la vecindad de v i, será necesario utilizar un nuevo color. Si existen p y q dos colores utilizados en el coloreo parcial, tal que en todas las componenetes conexas de H pq los nodos adyacentes a v i tienen el mismo color, podemos intercambiar los colores p y q en las componentes de H pq con nodos adyacentes a v i con color p. De esta manera, obtendremos un coloreo parcial de G con el color p no utilizado en la vecindad de v i.

56 Algoritmo secuencial con intercambio (SI) Supongamos que tenemos un coloreo parcial de G, donde los nodos v 1,..., v i 1 ya han sido coloredos y es el turno de colorear a v i. Si todos los colores ya utilizados están en la vecindad de v i, será necesario utilizar un nuevo color. Si existen p y q dos colores utilizados en el coloreo parcial, tal que en todas las componenetes conexas de H pq los nodos adyacentes a v i tienen el mismo color, podemos intercambiar los colores p y q en las componentes de H pq con nodos adyacentes a v i con color p. De esta manera, obtendremos un coloreo parcial de G con el color p no utilizado en la vecindad de v i. Este procedimiento se llama p, q-intercambio.

57 Algoritmo secuencial con intercambio (SI) f (v 1 ) := 1, k := 1 para i = 2, 3,..., n hacer g := mín{h/h 1 y f (v j ) h (v j, v i ) E, 1 j i 1} si g k entonces f (v i ) := g sino si existen 1 p < q k, tales que un p, q-intercambio libera p entonces realizar el p, q-intercambio f (v i ) := p sino f (v i ) := g, k := k + 1

58 Algoritmo secuencial con intercambio (SI) Es siempre mejor el algoritmo SI que el algoritmo S?

59 Algoritmo secuencial con intercambio (SI) Es siempre mejor el algoritmo SI que el algoritmo S? No, generando grafos al azar se han encontrado algunos ejemplos complicados donde SI usa más colores que S. Se puede demostrar que: SI colorea un grafo bipartito con 2 colores (ejercicio). SI con el ordenamiento SL colorea un grafo planar con 5 colores como máximo.

60 Algoritmo secuencial con bracktracking (exacto) v 1, v 2,..., v n ordenamiento de los nodos de G. U i = conjunto de colores posibles para el nodo v i, una vez que han sido coloreados v 1, v 2...v i 1. Si l i 1 es el máximo color usado para v 1,..., v i 1 y sólo buscamos coloreos óptimos, evitando coloreos equivalentes, j U i se verifica que: j no es color asignado a un vecino de vi ya coloreado j d(vi ) j l i si ya se encontró un coloreo del grafo con q colores entonces j q 1

61 Algoritmo secuencial con bracktracking (exacto) Con estas restricciones se hace una búsqueda completa. En el árbol de búsqueda se abre una rama a partir de cada nodo (correspondiente a un coloreo de v 1,..., v i 1 ), para cada elemento de U i. Se avanza por las ramas coloreando los siguientes nodos hasta que ocurre alguna de las siguientes situaciones: 1. se llegó a un nodo con U i = : a partir de esta situación se hace backtracking a partir de v i se coloreó v n : se encontró un nuevo coloreo del grafo, hay que actualizar q y hacer backtracking.

62 Algoritmo secuencial con bracktracking (exacto) q: cantidad de colores usados en la mejor solución encontrada hasta el momento. k: nodo siendo considerado. l: cantidad de colores utilizados en la solución parcial actual. l k : l para el nodo v k. cotainf : cota inferior para el número cromático del grafo.

63 Algoritmo secuencial con bracktracking (exacto) f (v 1 ) := 1, q := n + 1, k := 1, l := 1 avanzar := VERDADERO repetir si avanzar k := k + 1, l k := l, determinar U k si U k = avanzar := FALSO, k := k 1, l := l k sino j := mín U k, U k := U k \ {j}, f (v k ) := j si j > l entonces l := l + 1 si k < n entonces avanzar := VERDADERO sino almacenar la nueva solución encontrar el menor i tal que f (v i ) = l borrar l, l + 1,..., q 1 de U 1,..., U i 1 q := l, l := q 1, k := i 1 avanzar := FALSO hasta k = 1 o q = cotainf

64 Coloreo es NP-completo A partir de un algoritmo de backtracking para coloreo es fácil construir una NDTM para el problema de coloreo, por lo tanto está en NP.

65 Coloreo es NP-completo A partir de un algoritmo de backtracking para coloreo es fácil construir una NDTM para el problema de coloreo, por lo tanto está en NP. Para probar que coloreo es NP-completo, vamos entonces a reducir SAT a coloreo.

66 Coloreo es NP-completo A partir de un algoritmo de backtracking para coloreo es fácil construir una NDTM para el problema de coloreo, por lo tanto está en NP. Para probar que coloreo es NP-completo, vamos entonces a reducir SAT a coloreo. Tomemos una instancia genérica de SAT ϕ = C 1 C m. Vamos a construir un grafo G y determinar un número k de manera que ϕ sea satisfactible si y sólo si G se puede colorear con k-colores.

67 Reducción de SAT a coloreo G tiene: V 1 : un vértice por cada variable negada y afirmada, todos adyacentes entre si. V 2 : un vértice por cada cláusula, adyacente a los literales de V 1 que no aparecen en la cláusula. V 3 : otro vértice por cada variable, adyacente a todo V 2 y a los literales de V 1 correspondientes a otras variables. k = dos veces la cantidad de variables. ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 2 x 3 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 completo Queda como ejercicio escribir formalmente la reducción y demostrar que es una reducción polinomial de SAT a coloreo. C 1 C 2 G x 1 x 2 x 3 k=6

68 Reducción de SAT a coloreo ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 2 x 3 ) x 1 completo G x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 C 1 C 2 x 1 x 2 x 3 k=6

69 Coloreo de aristas Definiciones: Un coloreo válido de las aristas de un grafo G es un asignación de colores a las mismas en la cual dos aristas que tienen un nodo en común no tengan el mismo color. El índice cromático χ (G) de un grafo G es el menor número de colores con que se pueden colorear las aristas de un grafo. Teorema de Vizing: Para todo grafo G se verifica que (G) χ (G) (G) + 1.