CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías Licenciatura en Sistemas de Información 2009 CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS 1

2 CLASES DE PROBLEMAS Uno de los resultados fundamentales de Gödel, Turing y otros lógicos y matemáticos fue el de establecer la división de todos los problemas matemáticos imaginables en dos clases: los demostrablemente irresolubles los resolubles que admiten un algoritmo para su solución Ciertos casos particulares de los primeros son posibles de resolver, la cuestión importante es que nunca podrá hallarse un método general de resolución para ellos. Los demás problemas pueden resolverse por medio de algoritmos. 3 CLASES DE PROBLEMAS DEMOSTRABLEMENTE IRRESOLUBLES Problema de la detención de la MT Décimo Problema de Hilbert CLASES RESOLUBLES DEMOSTRABLEMENTE DIFÍCILES (algoritmos ineficientes) Tienen algoritmos eficientes o aún no se ha demostrado su inexistencia CLASE P Deterministicamente Polinómicos CLASE NP No deterministicamente Polinómicos CLASE NP COMPLETA CLASE CO NP Complementarios de los NP 4 2

3 CLASES DE PROBLEMAS - GRÁFICO PROBLEMAS DEMOSTRABLEMENTE IRRESOLUBLES Problema de la detención de la MT Décimo problema de Hilbert PROBLEMAS DEMOSTRABLEMENTE DIFÍCILES Probl. de los números compuestos CLASE NP Completa Problema de Hamilton Problema SAT Problema de la clique CLASE co-np CLASE P Problema de Euler CLASE NP 5 PROBLEMA DE LA DETENCIÓN DE LA MT Ciertos problemas son tan difíciles que no existen algoritmos que los resuelvan. Un programa para el que no existirá nunca un algoritmo que lo resuelva es llamado irresoluble o no computable. El problema de parada para máquinas de Turing es el ejemplo de problema irresoluble más conocido. Fue además el primer problema que se demostró formalmente que no tenía solución. Sea M una máquina de Turing arbitraria con un alfabeto de entrada Σ. Sea w ε Σ*. Puede decidirse si la máquina M parará con la entrada w? Solución La respuesta a esta pregunta es negativa. No se puede determinar si una máquina de Turing se detiene con una entrada arbitraria. 6 3

4 DÉCIMO PROBLEMA DE HILBERT Hallar un algoritmo para determinar si toda ecuación diofántica (es decir, del tipo P(u1, u2,..., un) = 0 donde P es un polinomio con coeficientes enteros) tiene o no soluciones enteras. Fue demostrado recursivamente insoluble por Matiyasevich en Por ejemplo: x 2 + y 2 -z 2 = 0 tiene una solución x=3; y=4;z=5 6x 18 - x + 3 = 0 no tiene solución ya que x: 6x 18 > x-3 7 PROBLEMAS DEMOSTRABLEMENTE DIFÍCILES Comprendida entre ambos grupos se encuentra una tercera categoría de problemas los demostrablemente difíciles que, en principio, siempre es posible resolver; para los cuales, solo se conocen algoritmos ineficientes (y, por consiguiente, la mayoría de las veces, impracticables). Los matemáticos han podido demostrar que, para algunos de estos difíciles problemas, nunca podrán prepararse algoritmos eficientes. Para muchos de los problemas importantes se tiene únicamente la sospecha de que será imposible encontrar algoritmos eficientes. 8 4

5 CLASE P La CLASE P está constituida por algoritmos de tiempo polinómico. Para que un problema sea asignado a la clase P ningún caso particular del problema puede exigir para su resolución un tiempo mayor que el polinómico. El método de solución es determinístico en el sentido de que garantiza la existencia de una solución, y ello en un tiempo inferior al de una cierta potencia fija del tamaño N del problema. 9 CLASE NP CLASE NP significa No determinísticamente polinómicos. La CLASE NP incluye a todos los problemas de la clase P, luego P es un subconjunto de NP. La clase NP contiene otros problemas de status menos seguro. Todos ellos son problemas resolubles al menos en teoría; aunque por el momento solamente se conocen algoritmos de tiempo exponencial. Podrían tal vez tener algoritmos de tiempo polinómico (en cuyo caso NP y P serian idénticas) o pueden resultar permanentemente inabordables, y tener soluciones ineficientes. 10 5

6 CLASE NP COMPLETA La CLASE NP completa, es un subconjunto de la clase NP compuesta con los problemas que tienen la siguiente propiedad: "si uno de ellos pudiera resolverse mediante un algoritmo eficiente, entonces todos los demás problemas de la clase NP podrían resolverse eficientemente". Es decir, todo otro miembro de la clase puede ser eficientemente reducido a uno de ellos. 11 P versus NP Stephen Cook, en 1971, formuló el Problema "P versus NP" y se lo considera el problema central de las Ciencias de la Computación. Se conjetura que "P = NP", pero nadie lo ha podido demostrar. Técnicamente, P denota a la clase de los algoritmos que utilizan tiempo polinómico, mientras NP denota a la clase de los algoritmos no determinísticos que emplean tiempo polinómico. La importancia de la pregunta P = NP radica en que de encontrarse un algoritmo en P para un problema NP-completo, todos los problemas NP-completos (y por ende, todos los problemas de NP) tendrían soluciones en tiempo polinómico. 12 6

7 LOS SIETE PROBLEMAS DEL MILENIO El Instituto Clay de Matemáticas (Cambridge, Massachusetts, EEUU) ha seleccionado siete problemas aún no resueltos, llamados "los siete problemas del milenio" P versus NP La conjetura de Hodge La conjetura de Poincaré La Hipótesis de Riemann El problema de Yang-Mills El problema de Navier-Stokes La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer 13 CLASE CO NP La CLASE CO-NP, contiene todos los problemas cuya resolución es la disyuntiva "sí" o "no" y cuyas versiones complementarias pertenecen a NP. Es preciso ser cuidadoso al formular las preguntas al responder con un "sí" o un "no", pues el problema "no" o "sí" complementario al dado puede no pertenecer a la misma clase. Por ejemplo: El complementario del problema de los números compuestos: es determinar si un número es primo, pertenecería a la CLASE NP y esto no es así, porque ya se descubrieron algoritmos relativamente eficientes para probar el carácter primo de un número. A pesar de ello se desconoce si el problema de los números compuestos y su complementario pertenece a la CLASE P. Se necesitaron más de 100 años para demostrar que cierto número era compuesto. En 1640 Fermet conjeturó que el número , que es igual a 2^ es un número primo, su error perduró hasta 1732 en que se descubrió que es igual a x

8 PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG Recorrer los 7 puentes pasando por cada uno de ellos una y solamente una vez. a c B A C e b d f g D c A C d g e D a b f B 15 PROBLEMA DE EULER Averiguar si existe un cierto camino que pase exactamente una vez por cada línea. C El grafo debe cumplir dos condiciones: 1) Ser conexo 2) En todos los nodos (con la posible excepción de 2) debe haber un número par de líneas. c a A d b g e f D El problema de los puentes no tiene caminos B eulerianos (cumple la primera pero no la segunda condición) Este algoritmo tiene un tiempo de ejecución O(n) es decir pertenece a la Clase P 16 8

9 PROBLEMA DE HAMILTON Determinar si existe un camino que pase una vez y solamente una vez por todos los puntos (nodos) de un grafo. No se descubrió un algoritmo eficiente para este problema. El problema de los puentes de Könisberg sí tienen recorrido hamiltoniano. C C g c g c d e A D D f A a b b B B Este problema pertenece a la Clase NP completa 17 OTROS PROBLEMAS DE LA CLASE NP COMPLETA Problema de emparejamiento: consiste en asignar habitaciones a estudiantes compatibles (según hábitos, gustos, etc.). El conjunto de estudiantes se representan por puntos en un grafo y cada par de estudiantes que puedan compartir la habitación por una línea. Existe un algoritmo eficiente para el caso de dos estudiantes, pero no se conoce ningún algoritmo eficiente para resolver el problema si cada habitación ha de ser compartida por tres estudiantes. Coloreado de mapas: consiste en determinar si se podrán colorear todos los países del mapa usando un número específico de colores distintos de forma tal que ningún par de países fronterizos tengan el mismo color. En 1975 se demostró que 4 colores bastan para todo mapa. No se dispone de ningún algoritmo eficiente que permita responder si es posible colorear con tres tonos las distintas regiones de un mapa El coloreado de mapas es un caso particular del coloreado de grafos. Cualquier mapa puede convertirse en un grafo reduciendo cada país a un punto y trazando una línea que una todo par de puntos cuyos países correspondientes tengan frontera común. 18 9

10 PROBLEMA DE LA SATISFACTIILIDAD Karp descubrió que muchos problemas importantes de investigación operativa, incluido el colorear un gráfico con tres colores, son también de la misma dificultad que cualquiera de los problemas que pueden ser asignados a la clase NP, en otras palabras, son NP-completos. Puede demostrarse directamente, trasladando un problema al dominio del otro, que el problema de coloreado del grafo y el problema de satisfactibilidad son equivalentes. Se ha demostrado por métodos similares que varios centenares de problemas, que antes se tuvieron por distintos, son en realidad variantes unos de otros, cuyas diferencias son puramente notacionales. Todos estos problemas son equivalentes al de satisfactibilidad, y son todos, por lo tanto NP-completos. 19 PROBLEMA DE LA CLIQUE Un k-clique de un grafo G es un subgrafo completo de G con k vértices. Una cuestión interesante es decidir si un grafo contiene un k-clique. El grafo G: Tiene cliques {1,2,5} y {1,4,5} de tamaño 3 Tiene cliques {2,3} y {3,4} de tamaño El problema del clique máximo es encontrar un clique con el máximo número de vértices

11 PROBLEMA DE CUBRIMIENTO DE VÉRTICES Un cubrimiento de vértices de un grafo G = (V,A) es un subconjunto S V tal que toda arista de G incide en un vértice de S. El problema del cubrimiento de vértices de un grafo G, es el de determinar si existe un cubrimiento de G de tamaño K. Dado un grafo G = (V, A) consideremos su complemento G' = (V, A'), donde A' = {(v,w) / v,w ε V, v w, (v,w) A}. Un conjunto S V es un clique de G si y sólo si V-S es un cubrimiento de vértices de G' G = (V, A) 3 4 G = (V, A ) 3 21 REDUCCIÓN DE PROBLEMAS La reducción de problemas es una técnica que permite reducir la solución de un problema a la solución de otro problema cuya solubilidad o insolubilidad ya se conoce. Si se puede encontrar un algoritmo que solucione un problema P partiendo de la solución de P', deducimos que: 1- Si P' es soluble, lo es P. 2- Si P es insoluble, lo es P'. una reducción de un problema P = <D, R, q, I> a un problema P'= <D', R', q', I' > es un par de funciones (F1, F2) tal que: F1 : D --> D' F2 : R' --> R y ( d ε D) ( r' ε R' ): (F1 (d), r' ) ε q' --> (d, F2 (r' )) ε q 22 11

12 REDUCCIÓN DE PROBLEMAS - EJEMPLO D = { (K,G) : K ε N y G es un grafo} R = { "si", "no"} q = "G contiene un k-clique" D' = D, R' = R q' = "G' contiene un cubrimiento de tamaño n" F1 (K,G) = ( V - K, G' ) F2 (x) = x Si f ' es una solución de P', entonces F1 f ' F2 es una solución de P. La idea intuitiva es que el "costo" de reducción no aumenta la complejidad del problema original