Matemáticas discretas II

Transcripción

1 Matemáticas discretas II (Teoría de gráficas) M. en C. Sergio Luis Pérez Pérez UAM CUAJIMALPA, MÉXICO, D. F. Trimestre 15-P Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 1 / 44

2 Conceptos generales Conceptos generales 1 Conceptos generales 2 Caminos y ciclos 3 Conexidad 4 Árboles y bosques 5 Gráficas bipartitas 6 Caminos Eulerianos 7 Ciclos Hamiltonianos Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 2 / 44

3 Conceptos generales Conceptos generales I Una gráfica es una pareja ordenada G = (V, E) de conjuntos tal que E V 2. Los elementos de V son los vértices (o nodos o puntos) de la gráfica G. Los elementos de E son parejas de dos elementos de V y se conocen como aristas (o lineas que unen vértices). V E =. El dibujo usual de una gráfica es mediante puntos (para denotar los vértices) y lineas que unen los puntos (que representan las aristas). Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 3 / 44

4 Conceptos generales Conceptos generales II El cómo son dibujados los puntos y las líneas suele ser irrelevante. Lo importante es la información acerca de si existe una arista entre un par de vértices o no. Una gráfica formada por un conjunto de vértices V se dice gráfica sobre V. El conjunto de vértices V de una gráfica G se denota como V (G). El conjunto de aristas E de una gráfica G se denota como E(G). Para denotar a un vértice v o a una arista e de la gráfica se puede utilizar la notación v G y e G. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 4 / 44

5 Conceptos generales Conceptos generales III El orden de una gráfica es el número de vértices que la conforman y se denota como G = V. El número de aristas de una gráfica se denota como G = E. Una gráfica puede ser finita, infinita, contable, etc., de acuerdo a su orden. Una gráfica de orden 0 o 1 es llamada la gráfica trivial. En ocasiones es útil empezar inducciones a partir de una gráfica trivial. La gráfica de orden 0 es la gráfica vacía. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 5 / 44

6 Conceptos generales Conceptos generales IV Un vértice v se dice incidente a una arista si v e. Los dos vértices incidentes a una arista son llamados sus vértices finales. Una arista {x, y} usualmente se escribe como xy o bien yx. Dos vértices x, y de G son adyacentes o vecinos si xy es una arista de G. Dos aristas son adyacentes si comparten un vértice. Dos aristas son paralelas si comparten la misma pareja de vértices. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 6 / 44

7 Conceptos generales Conceptos generales V Si todas las parejas de vértices de G son adyacentes entonces G se conoce como gráfica completa. Una gráfica completa con n vértices se denota como K n. K 3 es el triángulo. Una pareja de vértices no adyacentes o aristas no adyacentes son llamadas independientes. Formalmente un conjunto de vértices o aristas es independiente si no existen dos de sus elementos que sean adyacentes. Conjuntos independientes de vértices son llamados conjuntos estables. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 7 / 44

8 Conceptos generales Conceptos generales VI Sean G = (V, E) y G = (V, E ) dos gráficas. Decimos que G y G son isomorfas, y se escribe G G, si existe una biyección ϕ : V V con xy E ϕ(x)ϕ(y) E para todo x, y V. Dicho mapeo ϕ es llamado isomorfismo. Si G = G entonces se le llama automorfismo. Un homomorfismo desde un objeto matemático a otro con la misma estructura algebraica, es una función que preserva las operaciones definidas en dichos objetos. Un isomorfismo es un homomorfismo que admite un inverso. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 8 / 44

9 Conceptos generales Conceptos generales VII La unión de gráficas se denota como G G = (V V, E E ) y la intersección como G G = (V V, E E ). Si G G = entonces G y G son disjuntos. Si V V y E E entonces G es una subgráfica de G y a su vez G es una supergráfica de G y se escribe como G G. Si G G y G G entonces G es una subgráfica propia de G. Si G y G son disjuntos, entonces G G es la gráfica obtenida desde G G que se obtiene de unir todos los vértices de G a todos los vértices de G. Por ejemplo K 2 K 3 = K 5. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 9 / 44

10 Conceptos generales Conceptos generales VIII El complemento Ḡ de G es la gráfica sobre V con el conjunto de aristas V V \E. El conjunto de vértices vecinos de un vértice v G se denota por N G (v) o como N(v) El grado o valencia de v, denotado como d G (v) o d(v), es el número E(v) de aristas entrantes a v o bien el número de vecinos de v. Un vértice de grado 0 es un vértice aislado. Se denota como δ(g) al mínimo d(v) tal que v V, es decir el grado mínimo de G. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 10 / 44

11 Conceptos generales Conceptos generales IX Se denota como (G) al máximo d(v) tal que v V, es decir el grado máximo de G. Si todos los vértices de una gráfica tienen el mismo grado k entonces G es k-regular. Una gráfica 3-regular es llamada cúbica. El grado promedio de G se calcula como: d(g) = 1 V d(v) v V Claramente δ(v) d(v) (v) Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 11 / 44

12 Conceptos generales Conceptos generales X Si se suman todos los grados de los vértices en G entonces se tiene la cuenta de cada arista dos veces. E = 1 2 v V d(v) = 1 d(g) V 2 Proposición El número de vértices de grado impar en una gráfica es siempre un número par. Prueba Una gráfica sobre V tiene 1 2 un número par. v V d(v) aristas, entonces d(v) es Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 12 / 44

13 Conceptos generales Conceptos generales XI Una gráfica cuyas aristas tienen costos se denomina gráfica ponderada. Una gráfica cuyos vértices reciben un nombre particular es una gráfica etiquetada. Una multigráfica es aquella gráfica que permite múltiples aristas (aristas paralelas) entre dos vértices. Una hipergráfica es una gráfica donde una arista puede conectar a cualquier número de vértices. En el caso de las hipergráficas se tienen hiperaristas. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 13 / 44

14 Caminos y ciclos Caminos y ciclos 1 Conceptos generales 2 Caminos y ciclos 3 Conexidad 4 Árboles y bosques 5 Gráficas bipartitas 6 Caminos Eulerianos 7 Ciclos Hamiltonianos Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 14 / 44

15 Caminos y ciclos Caminos y ciclos I Un camino es una gráfica no vacía P = (V, E) de la forma: V = {x 0, x 1,..., x k } E = {x 0 x 1, x 1 x 2,..., x k 1 x k } donde todos los vértices x i son diferentes. Los vértices x 0 y x k son llamados vértices finales. Los vértices x 1,..., x k 1 son llamados vértices internos. La longitud del camino es igual al número de aristas que lo componen. Un camino de longitud k se denota como P k. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 15 / 44

16 Caminos y ciclos Caminos y ciclos II Dos caminos son independientes si ninguno de ellos contiene un vértice interno como parte del otro camino. Si P = x 0... x k 1 es un camino y k 3 entonces la gráfica C = P + x k 1 x 0 es un ciclo. Un ciclo se denota por la secuencia de sus vértices C = x 0... x k 1 x 0. La longitud del ciclo es igual al número de aristas que lo componen. Un ciclo de longitud k se denota como C k. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 16 / 44

17 Caminos y ciclos III Caminos y ciclos El ciclo de máxima longitud en una gráfica G se denomina circunferencia. Si G no contiene ciclos entonces decimos que su circunferencia es. Proposición Cada gráfica G contiene un camino de longitud δ(g) y un ciclo de longitud al menos δ(g) + 1 (siempre que δ(g) 2). Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 17 / 44

18 Caminos y ciclos IV Caminos y ciclos Prueba Sea x 0... x k el camino más largo en G. Entonces todos los vecinos de x k deben estar en el camino. Por lo tanto k d(x k ) δ(g). Si i < k es mínimo y x i x k E(G) entonces x i... x k x i es un ciclo de longitud al menos δ(g) + 1. La distancia d G (x, y) en G de dos vértices x, y es la longitud del camino más corto x y en G. Si no existe un camino entre dos vértices entonces d(x, y) = infty. La distancia más larga entre cualesquiera dos vértices se denomina diámetro de G. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 18 / 44

19 Caminos y ciclos V Caminos y ciclos Un vértice se denomina vértice central si la distancia más larga desde éste a cualquiera de sus vecinos es tan pequeña como sea posible. Dicha distancia se denomina radio de G. Una caminata en una gráfica G es una secuencia alternada no vacía v 0 e 0 v 1 e 1... e k 1 v k de vértices y aristas en G tal que e i = {v i, v i+1 } para todo i < k. Si v 0 = v k entonces la caminata es cerrada. Si todos los vértices en la caminata son distintos entonces la caminata es un camino. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 19 / 44

20 Conexidad Conexidad 1 Conceptos generales 2 Caminos y ciclos 3 Conexidad 4 Árboles y bosques 5 Gráficas bipartitas 6 Caminos Eulerianos 7 Ciclos Hamiltonianos Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 20 / 44

21 Conexidad Conexidad I Una gráfica no vacía G es llamada conexa si cualesquiera dos de sus vértices se encuentran unidos por un camino en G. Sea G = (V, E) una gráfica. Una subgráfica maximal conectada de G es una componente de G. Las componentes de una gráfica son subgráficas inducidas y su vértices particionan el conjunto V. Puesto que las gráficas conexas son no vacías entonces la gráfica vacía no tiene componentes. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 21 / 44

22 Conexidad Conexidad II Si A, B V y X V E se forman tal que cada camino A B en G contiene un vértice o arista de X entonces decimos que X separa a los conjuntos A y B en G. Lo anterior implica que A B X. De manera más general se dice que X es un conjunto separador en G si G\X está desconectada. Un conjunto separador de vértices es llamado conjunto separador en G. Las aristas que separan o desconectan a G se denominan cortes. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 22 / 44

23 Conexidad Conexidad III Un vértice que separa a vértices diferentes se denomina vértice de corte. Una arista que separa una gráfica es un puente. Los puentes de una gráfica son aquellas aristas que no pertenecen a ningún ciclo. G es llamada k-conexa, con algún k N, si G > k y G\X esta conextado para cada subconjunto X V con X < k. Lo anterior quiere decir que no existen dos vértices de G que puedan ser separados por menos de otros k vértices. Cada gráfica no vacía es 0-conexa. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 23 / 44

24 Conexidad Conexidad IV Las gráficas 1-conexas son las gráficas no triviales conectadas. El más grande entero k tal que G es k-conexa se denota como κ(g) de G. κ(g) = 0 sí y solo sí G está desconectada o es K 1. κ(k n ) = n 1 para toda n 1. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 24 / 44

25 Árboles y bosques Árboles y bosques 1 Conceptos generales 2 Caminos y ciclos 3 Conexidad 4 Árboles y bosques 5 Gráficas bipartitas 6 Caminos Eulerianos 7 Ciclos Hamiltonianos Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 25 / 44

26 Árboles y bosques I Árboles y bosques Una gráfica acíclica, es decir, aquella que no contiene ciclos, se denomina bosque. Un bosque conectado es un árbol. Los vértices de grado 1 de un árbol se denominan hojas. Cada árbol no trivial tiene una hoja. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 26 / 44

27 Árboles y bosques II Árboles y bosques Proposición Las siguientes afirmaciones son equivalentes para un árbol T. T es un árbol. Cualesquiera dos vértices se encuentran unidos por un camino único en T. T está conectado mínimamente, es decir el quitar cualquier arista e T desconecta el árbol. T es acíclico de manera maximal, es decir T no contiene ciclos pero T + xy los contiene, para cualquier x, y T. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 27 / 44

28 Árboles y bosques III Árboles y bosques Algunas veces es conveniente denominar un vértice especial como la raíz del árbol aunque en general un árbol no tiene raíz. Un árbol con una raíz fija se denomina árbol enraizado. x y para x rty define un orden parcial sobre V (T ), que es el orden del árbol asociado a T y a r. Si x < y entonces decimos que x se encuentra abajo de y en T. tal que: y = {x x y} y x = {y y x} La raíz sería el elemento mínimo de dicho árbol y las hojas los elementos maximales. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 28 / 44

29 Árboles y bosques IV Árboles y bosques Los vértices a distancia k desde la raíz tendrían altura k. Un árbol abarcador de una gráfica G es un árbol que conecta a todos los vértices de la gráfica utilizando aristas de G. Cada gráfica conexa contiene al menos un árbol abarcador con cierta raíz r. Cuando se tiene una gráfica ponderada algunos problemas tratan con la cuestión de encontrar árboles abarcadores de costo mínimo o máximo. En una gráfica ponderada un árbol abarcador de costo mínimo es un árbol abarcador cuya suma de aristas es mínima. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 29 / 44

30 Gráficas bipartitas Gráficas bipartitas 1 Conceptos generales 2 Caminos y ciclos 3 Conexidad 4 Árboles y bosques 5 Gráficas bipartitas 6 Caminos Eulerianos 7 Ciclos Hamiltonianos Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 30 / 44

31 Gráficas bipartitas I Gráficas bipartitas Sea r 2 un entero, una gráfica G = (V, E) se dice r-partita si V admite una partición en r clases tal que cada arista tiene sus vértices en clases diferentes. Por tanto los vértices en la misma clase no deben ser adyacentes. A las gráficas 2-partitas se les denomina gráficas bipartitas. Una gráfica r-partita en la cual cada dos vértices de diferentes clases son adyacentes se denomina completa. Las gráficas r-partitas completas para toda r se denominan gráficas multipartitas completas. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 31 / 44

32 Gráficas bipartitas II Gráficas bipartitas La gráfica r-partita completa K n 1 K nr es denotada por K n1,...,n r y si n 1 = = n r = s entonces se abrevia como Ks r. La gráfica K r s es la gráfica r-partita completa en la cual cada partición tiene exactamente s vértices. Una gráfica bipartita no puede contener ciclos de longitud impar. Proposición Una gráfica es bipartita si y sólo sí no contiene ciclos de longitud impar. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 32 / 44

33 Gráficas bipartitas III Gráficas bipartitas Prueba I Se puede ver que una gráfica es bipartita si todos sus componentes son bipartitas o triviales. Entonces suponemos que G esta conectada. Sea T un árbol abarcador en G se elige una raíz r T que denota al árbol ordenado sobre V por T. Para cada vértice v V el único camino rtv tiene longitud impar o par. Esto define una bipartición de V. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 33 / 44

34 Gráficas bipartitas IV Gráficas bipartitas Prueba II Utilizando dicha bipartición se puede demostrar que G es bipartita. Sea e = xy una arista de G. Si e T con x < T y entonces rty = rtxy y entonces x e y están en diferentes clases de partición. Si e T entonces C e = xty + e es un ciclo, pero xty se encuentran en clases alternadas. Entonces el ciclo tiene que ser necesariamente de longitud par. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 34 / 44

35 Caminos Eulerianos Caminos Eulerianos 1 Conceptos generales 2 Caminos y ciclos 3 Conexidad 4 Árboles y bosques 5 Gráficas bipartitas 6 Caminos Eulerianos 7 Ciclos Hamiltonianos Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 35 / 44

36 Caminos Eulerianos I Caminos Eulerianos El problema de los siete puentes de Königsberg Königsberg es atravesada por el río Pregolya, el cual se bifurca para rodear con sus brazos a la isla Kneiphof, dividiendo el terreno en cuatro regiones distintas. Dichas regiones estaban unidas mediante siete puentes llamados el Puente del herrero, Puente conector, Puente verde, Puente del mercado, Puente de madera, Puente alto y Puente de la miel. El problema fue formulado en el siglo XVIII y consistía en encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad, pasando sólo una vez por cada uno de los puentes, y regresando al inicio. Este problema fue resuelto por Leonhard Euler en La resolución de este problema dio pie a la teoría de gráficas. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 36 / 44

37 Caminos Eulerianos Caminos Eulerianos II Se denomina camino Euleriano sobre una gráfica a aquella caminata que puede realizarse de manera que cada arista de la gráfica es visitada exactamente una vez. Una gráfica se dice Euleriana si admite un camino Euleriano. Un circuito Euleriano es un camino Euleriano pero que al final regresa al vértice de inicio. Teorema Una gráfica es Euleriana sí y sólo sí cada vértice tiene grado par. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 37 / 44

38 Caminos Eulerianos Caminos Eulerianos III Prueba I La condición del grado es clara debido a que cada vértice que aparece k veces debe tener grado 2k. De manera inversa, sea G una gráfica conectada con todos sus vértices de grado par y sea: W = v 0 e 0... e l 1 v l la más larga caminata en G usando cada arista a lo mucho una vez. Puesto que W no puede ser alargada entonces contiene todas las aristas de v l. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 38 / 44

39 Caminos Eulerianos Caminos Eulerianos IV Prueba II Dado que el número de aristas es par entonces v l = v 0, entonces W es una caminata cerrada. Supongamos que W no es un camino Euleriano. Entonces G tiene una arista e fuera de W pero incidente con un vértice de W, digamos e = uv i. Entonces el camino: uev i e i... e l 1 v l e 0... e i 1 v i es más largo que W, lo cual es una contradicción. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 39 / 44

40 Caminos Eulerianos Caminos Eulerianos V Parta la existencia de un camino Euleriano es necesario que cero o exactamente dos vértices tengan grado impar. Esto indicaba que no existía solución para el problema de los puentes de Königsberg. Cuando hay exactamente dos vértices de grado impar entonces el camino Euleriano debe comenzar en uno de ellos y terminar en el otro. Una gráfica que tiene un camino Euleriano pero que no tiene un circuito Euleriano es llamada semi-euleriana. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 40 / 44

41 Ciclos Hamiltonianos Ciclos Hamiltonianos 1 Conceptos generales 2 Caminos y ciclos 3 Conexidad 4 Árboles y bosques 5 Gráficas bipartitas 6 Caminos Eulerianos 7 Ciclos Hamiltonianos Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 41 / 44

42 Ciclos Hamiltonianos Ciclos Hamiltonianos I Un camino Hamiltoniano es un camino de G que contiene a todos los vértices de la gráfica exactamente una vez. Un ciclo Hamiltoniano es una gráfica con un camino Hamiltoniano que puede regresar al vértice origen. Si G tiene un ciclo Hamiltoniano es llamada Hamiltoniana. Es más complicado tratar de caracterizar a las gráficas que tienen un circuito hamiltoniano. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 42 / 44

43 Ciclos Hamiltonianos Ciclos Hamiltonianos II Ejemplos de gráficas Hamiltonianas Una gráfica completa con más de dos vértices es Hamiltoniana. Cada gráfica que es un ciclo es Euleriana. La gráfica de Cayley de un grupo finito de Coxeter es Hamiltoniana. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 43 / 44

44 Ciclos Hamiltonianos Ciclos Hamiltonianos III Teorema Bondy Chvátal Una gráfica es Hamiltoniana sí y sólo sí su cierre es Hamiltoniano. Como las gráficas completas son Hamiltonianas entonces todas las gráficas cuyo cierre es completo son Hamiltonianas. Sea G una gráfica con n vértices el cierre cl(g) es construido de manera única a partir de G agregando repetidamente aristas uv conectando una pareja no adyacente de vértices u y v con grado d(u) + d(v) n hasta que no se pueden conectar mas pares con esta propiedad. Sergio Luis Pérez (UAM CUAJIMALPA) Curso de matemáticas discretas II 44 / 44