Análisis de Algoritmos Teoría de grafos

Transcripción

1 Análisis de Algoritmos Teoría de grafos Dra. Elisa Schaeffer PISIS / FIME / UANL Teoría de grafos p. 1

2 Grafos Un grafo G es un par de conjuntos G = (V,E) Teoría de grafos p. 2

3 Grafos Un grafo G es un par de conjuntos G = (V,E) V = un conjunto de n vértices u,v,w V E = un conjunto de m aristas Teoría de grafos p. 2

4 Grafos Un grafo G es un par de conjuntos G = (V,E) V = un conjunto de n vértices u,v,w V E = un conjunto de m aristas V = n, E = m Teoría de grafos p. 2

5 Aristas Las aristas son típicamente pares de vértices, {u, v} E E V V También se puede definir grafos donde el producto es entre más de dos copias del conjunto V, el cual caso se habla de hípergrafos. Teoría de grafos p. 3

6 Complemento El complemento de G = (V,E) es un grafo Ḡ = (V,Ē) donde v u : ( {v,u} Ē {v,u} / E). Teoría de grafos p. 4

7 Grafos especiales Un grafo es plano si se puede dibujar en dos dimensiones así que ninguna arista cruza a otra arista. Teoría de grafos p. 5

8 Grafos especiales Un grafo es plano si se puede dibujar en dos dimensiones así que ninguna arista cruza a otra arista. En un grafo no dirigido, los vértices v y w tienen un papel igual en la arista {v,u}. Teoría de grafos p. 5

9 Grafos especiales Un grafo es plano si se puede dibujar en dos dimensiones así que ninguna arista cruza a otra arista. En un grafo no dirigido, los vértices v y w tienen un papel igual en la arista {v,u}. Si las aristas tienen dirección, G es dirigido (también digrafo). Teoría de grafos p. 5

10 Grafos especiales Un grafo es plano si se puede dibujar en dos dimensiones así que ninguna arista cruza a otra arista. En un grafo no dirigido, los vértices v y w tienen un papel igual en la arista {v,u}. Si las aristas tienen dirección, G es dirigido (también digrafo). En una arista dirigida v,w : v es el origen (o inicio) de la arista w es el destino (o fin) de la arista Teoría de grafos p. 5

11 Grafos reflexivos Un bucle es una arista reflexiva, donde coinciden el vértice de origen y el vértice de destino: {v,v} o v,v. Si un grafo G no cuente con ningún bucle, el grafo es no reflexivo. Teoría de grafos p. 6

12 Más clases de grafos E podría ser un multiconjunto: más de una arista entre un par de vértices. Teoría de grafos p. 7

13 Más clases de grafos E podría ser un multiconjunto: más de una arista entre un par de vértices. Si no se permiten aristas múltiples, el grafo es simple. Teoría de grafos p. 7

14 Más clases de grafos E podría ser un multiconjunto: más de una arista entre un par de vértices. Si no se permiten aristas múltiples, el grafo es simple. Si se asignan pesos ω(v,w) a las aristas, el grafo es ponderado. Teoría de grafos p. 7

15 Más clases de grafos E podría ser un multiconjunto: más de una arista entre un par de vértices. Si no se permiten aristas múltiples, el grafo es simple. Si se asignan pesos ω(v,w) a las aristas, el grafo es ponderado. Si se asigna identidad a los vértices o las aristas, el grafo es etiquetado. Teoría de grafos p. 7

16 Adyacencia {v 1,v 2 } y {w 1,w 2 } son adyacentes si tienen un vértice en común: {v 1,v w } {w 1,w 2 } 1. Una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro vértice. Teoría de grafos p. 8

17 Vecinos v y w son adyacentes si una arista los une: {v,w} E. Vértices adyacentes son llamados vecinos. El conjunto de vecinos de v es su vecindario, Γ(v). Teoría de grafos p. 9

18 Matriz de adyacencia La matriz A que corresponde a la relación E se llama la matriz de adyacencia del grafo. Teoría de grafos p. 10

19 Matriz de adyacencia La matriz A que corresponde a la relación E se llama la matriz de adyacencia del grafo. Es necesario etiquetar los vértices para que sean identificados como v 1,v 2,...,v n. Teoría de grafos p. 10

20 Matriz de adyacencia La matriz A que corresponde a la relación E se llama la matriz de adyacencia del grafo. Es necesario etiquetar los vértices para que sean identificados como v 1,v 2,...,v n. Para un grafo no dirigido A es simétrica Multigrafos: una matriz entera A donde a ij 0 es el número de aristas entre v i y v j Grafos ponderados: una matriz (real) A donde a ij peso de la arista {v i,v j } o cero si no hay tal arista es el Teoría de grafos p. 10

21 Grado El grado deg(v) es el número de aristas incidentes a v. Teoría de grafos p. 11

22 Grado El grado deg(v) es el número de aristas incidentes a v. Grafos dirigidos: grado de salida deg(v) = el número de aristas que tienen su origen en v grado de entrada deg(v) = el número de aristas que tienen su destino en v Teoría de grafos p. 11

23 Grado El grado deg(v) es el número de aristas incidentes a v. Grafos dirigidos: grado de salida deg(v) = el número de aristas que tienen su origen en v grado de entrada deg(v) = el número de aristas que tienen su destino en v El grado total de un vértice de un grafo dirigido es deg(v) = deg(v)+ deg(v). Teoría de grafos p. 11

24 Más sobre grados En un grafo simple no dirigido, el grado deg(v i ) del vértice v i es la suma de la ijésima fila dea. deg(v) = 2m v V En un grafo simple no reflexivo: deg(v) = Γ(v) Si todos los grados son k, el grafo esk-regular Un grafo n 1-regular se llama un grafo completok n Teoría de grafos p. 12

25 Grafos bipartitos Un grafo bipartito es un grafo G = (V,E) cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos así que U W =, U W = V {u,w} E (u U w W) (u W w U). Teoría de grafos p. 13

26 Grafos bipartitos Un grafo bipartito es un grafo G = (V,E) cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos así que U W =, U W = V {u,w} E (u U w W) (u W w U). Grafo bipartito completo: están presentes todas las aristas permitidas, K U, W. Teoría de grafos p. 13

27 Densidad El número máximo posible de aristas en un grafo simple es ( ) n m máx = = n(n 1). 2 2 Teoría de grafos p. 14

28 Densidad El número máximo posible de aristas en un grafo simple es ( ) n m máx = = n(n 1). 2 2 Para K n, tenemos m = m máx. Teoría de grafos p. 14

29 Densidad El número máximo posible de aristas en un grafo simple es ( ) n m máx = = n(n 1). 2 2 Para K n, tenemos m = m máx. Densidad: δ(g) = m m máx = m ( n 2). Teoría de grafos p. 14

30 Densidad El número máximo posible de aristas en un grafo simple es ( ) n m máx = = n(n 1). 2 2 Para K n, tenemos m = m máx. Densidad: δ(g) = m m máx = m ( n 2). Un grafo denso tiene δ(g) 1 y un grafo escaso tiene δ(g) 1. Teoría de grafos p. 14

31 Caminos y distancias Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en v y termina en w es un camino de v a w. Teoría de grafos p. 15

32 Caminos y distancias Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en v y termina en w es un camino de v a w. El largo de un camino es el número de aristas que contiene. Teoría de grafos p. 15

33 Caminos y distancias Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en v y termina en w es un camino de v a w. El largo de un camino es el número de aristas que contiene. La distancia dist(v,w) entre v y w es el largo mínimo de todos los caminos de v a w. Teoría de grafos p. 15

34 Caminos y distancias Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en v y termina en w es un camino de v a w. El largo de un camino es el número de aristas que contiene. La distancia dist(v,w) entre v y w es el largo mínimo de todos los caminos de v a w. La distancia de un vértice a si mismo es cero. Teoría de grafos p. 15

35 Caminos y distancias Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en v y termina en w es un camino de v a w. El largo de un camino es el número de aristas que contiene. La distancia dist(v,w) entre v y w es el largo mínimo de todos los caminos de v a w. La distancia de un vértice a si mismo es cero. El diámetro diam(g) de G es la distancia máxima diam(g) = máx v V w V dist(v,w). Teoría de grafos p. 15

36 Ciclos Un camino simple solamente recorre la misma arista una vez máximo. Teoría de grafos p. 16

37 Ciclos Un camino simple solamente recorre la misma arista una vez máximo. Un ciclo es un camino que regresa a su vértice inicial. Un grafo que no cuente con ningún ciclo es acíclico. Teoría de grafos p. 16

38 Ciclos Un camino simple solamente recorre la misma arista una vez máximo. Un ciclo es un camino que regresa a su vértice inicial. Un grafo que no cuente con ningún ciclo es acíclico. Entonces, un ciclo simple empieza y regresa del mismo vértice, pero no visita a ningún otro vértice dos veces. Teoría de grafos p. 16

39 Ciclos Un camino simple solamente recorre la misma arista una vez máximo. Un ciclo es un camino que regresa a su vértice inicial. Un grafo que no cuente con ningún ciclo es acíclico. Entonces, un ciclo simple empieza y regresa del mismo vértice, pero no visita a ningún otro vértice dos veces. Sin embargo, la elección del punto de inicio de un ciclo es arbitrario. Teoría de grafos p. 16

40 Conectividad G es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino. Teoría de grafos p. 17

41 Conectividad G es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino. Si por algunos v y w no existe ningún camino, grafo es no conexo. Teoría de grafos p. 17

42 Conectividad G es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino. Si por algunos v y w no existe ningún camino, grafo es no conexo. G es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos. Teoría de grafos p. 17

43 Conectividad G es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino. Si por algunos v y w no existe ningún camino, grafo es no conexo. G es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos. Un grafo no conexo se puede dividir en dos o más componentes conexos que son formados por tales conjuntos de vértices de distancia definida. Teoría de grafos p. 17

44 Subgrafos G(S) = (S,F) es un subgrafo de G = (V,E) si S V y F E tal que {v,w} F ( (v S) (w S) ). Si el subgrafo contiene todas las aristas posibles, es un subgrafo inducido por el conjunto S. Teoría de grafos p. 18

45 Subgrafos G(S) = (S,F) es un subgrafo de G = (V,E) si S V y F E tal que {v,w} F ( (v S) (w S) ). Si el subgrafo contiene todas las aristas posibles, es un subgrafo inducido por el conjunto S. Un subgrafo que completo se dice una camarilla (inglés: clique). Teoría de grafos p. 18

46 Árboles Un árbol es un grafo conexo acíclico. Teoría de grafos p. 19

47 Árboles Un árbol es un grafo conexo acíclico. Un árbol cubriente de G = (V,E) es un subgrafo que es un árbol y contiene todos los vértices de G. Teoría de grafos p. 19

48 Árboles Un árbol es un grafo conexo acíclico. Un árbol cubriente de G = (V,E) es un subgrafo que es un árbol y contiene todos los vértices de G. Si el grafo es ponderado, el árbol cubriente mínimo es cualquier árbol donde la suma de los pesos de sus aristas es mínima. Teoría de grafos p. 19

49 Árboles Un árbol es un grafo conexo acíclico. Un árbol cubriente de G = (V,E) es un subgrafo que es un árbol y contiene todos los vértices de G. Si el grafo es ponderado, el árbol cubriente mínimo es cualquier árbol donde la suma de los pesos de sus aristas es mínima. Un grafo G no conexo es un bosque si cada componente conexo de G es un árbol. Teoría de grafos p. 19

50 Tarea en clase Qué tienen en común estos tres grafos? Teoría de grafos p. 20