1. ESTUDIO DE ROBUSTEZ EN REDES DEPENDIENDO DE SU TOPOLOGÍA

Transcripción

1 . ESTUDIO DE ROBUSTEZ EN REDES DEPENDIENDO DE SU TOPOLOGÍA A continuación, se intentarán aplicar algunas de las definiciones vistas anteriormente a redes con distinta topología con objeto de analizar el grado de robustez de cada una de ellas. Se le llama topología de red a la disposición de los elementos físicos que la componen. Las topologías más comunes son: Anillo: Los nodos se disponen en línea, formando figuras planas cerradas. Cada nodo está unido mediante aristas, una o varias, tanto al nodo anterior como al siguiente. El incremento del número de aristas entre pares aumenta la fiabilidad. Figura 4 Son necesarias técnicas para acceder al medio compartido y evitar colisiones. Puede entenderse como un mallado parcial (explicado en este mismo punto más adelante. Ver figura 7) con dos caminos disjuntos entre cada par de nodos. Bus: Conexión de cada nodo mediante una arista propia a una arista común. Pueden producirse colisiones en el bus. Es necesario la existencia de un mecanismo que permita a los distintos nodos ponerse de acuerdo sobre quién va a acceder al bus en cada instante. Un nodo no depende del resto para que exista su tráfico por el bus por lo que la fiabilidad aumenta notablemente. Topología de bajo coste, muy utilizada en las redes de área local, donde el número de nodos no es muy elevado. 79

2 Figura 5 Modelaremos, en posteriores análisis, la topología en bus mediante un grafo camino. Estrella: Todos los nodos están conectados únicamente a un nodo central que actúa como distribuidor del tráfico. Es la estructura más simple de todas las estudiadas. Permite una rápida comunicación. Resulta óptimo para áreas geográficas no muy extensas con un número de nodos no muy elevado. Alto costo del medio físico. Su fiabilidad depende mucho del nodo central, que ha de tener una gran capacidad. En general, es pequeña ya que al fallar un nodo se queda incomunicada la parte de la red que pende de él. Figura 6 Existe una topología, el árbol, muy similar a la estrella. La diferencia radica en que los nodos que en la estrella no son centrales, funcionan como tal para otra serie de nodos a los cuales denominaremos secundarios. Con ella, se establecen jerarquías fácilmente. Esta topología es usada, por ejemplo, en el bucle de abonado en la red telefónica conmutada. 80

3 Malla: Cada nodo está conectado a uno o varios nodos. Diremos que el mallado es total si todas las conexiones posibles entre nodos en el grafo existen. En este caso, todos los nodos presentan las mismas características en cuanto a concentración de tráfico. Si no existen todas las conexiones posibles entre nodos, el mallado será parcial. El número de medios físicos usados es muy elevado. La eficiencia de los enlaces dependerá, por supuesto, del tráfico que vaya por ellos, pero si consideramos que este tráfico entre nodos es el mismo que en otras configuraciones (suponiendo que ambas configuraciones poseen el mismo número de nodos), la eficiencia anteriormente nombrada será muy baja. Al tener tantos enlaces entre nodos, si por todos ellos viaja la misma cantidad de flujo, esta será muy pequeña. Si no viajase la misma cantidad de flujo, algunos enlaces quizás tendrían un rendimiento elevado, pero la mayoría tendrían un rendimiento nulo. Por otra parte, es una estructura muy fiable, pues existen muchos caminos alternativos para llegar de un nodo a otro. Suele usarse en el núcleo de las redes. Figura 7 Sería necesario comentar que existen también topologías hibridas, en las que se mezclan características y propiedades de diferentes topologías básicas. Son estas topologías mixtas las que, en general, se dan en redes reales. Algunas estructuras que se repiten con frecuencia son por ejemplo el anillo-estrella o el bus-estrella. Hasta ahora hemos realizado un análisis cualitativo de las distintas topologías. Si analizamos ahora matemáticamente con las magnitudes y propiedades expuestas en los apartados y 3, la fiabilidad de las distintas configuraciones llegamos a las 8

4 siguientes conclusiones en las diferentes topologías. Consideraremos en todos los casos que el peso de las aristas es unitario. 4. Anillo simple Figura 8 Hemos numerado los nodos de a n, con objeto de facilitar la explicación de todos los cálculos realizados al tener una referencia. No obstante, esta numeración podría ser rehecha con cualquier numeración secuencial al ser todos los nodos iguales (configuración simétrica en cualquier dirección del plano). Si tomamos como referencia el nodo número, Si n es par, el nodo más alejado de es el. Si n es impar, existen dos nodos cuya distancia hasta este origen es mayor que la distancia de cualquier otro nodo del grafo a él. Además, estos dos nodos están a la misma distancia del vértice considerado como origen. Los dos vértices son el y el. Por tanto: Si n es par, la menor distancia entre los dos nodos más alejados, es decir, el diámetro, es. Si n es impar, el diámetro es. Es un grafo regular en el cual todos los vértices tienen valencia, por lo que el valor medio de grado es. La longitud característica del grafo es: Si n es par, Si n es impar, 8

5 El coeficiente de agrupación, obtenido mediante las ec. (3) y (4) es nulo. El razonamiento seguido para obtener este resultado ha sido: Cualquier subgrafo de G está compuesto por 3 nodos conectados en camino. Sin embargo el subgrafo G i no incluye el nodo i solo los vecinos. Con lo cual, si quitamos del subgrafo que ya teníamos el nodo i, el subgrafo con el cual trabajamos estará formado por dos nodos aislados, no conectados entre sí. El número de aristas será 0, y por tanto, los coeficientes c i serán nulos. La eficiencia media de la red es: Si n es par, Si n es impar, Como vemos, en ambos casos, el sumatorio es una suma parcial de la serie armónica. La eficiencia global es igual que la media, ya que el estudio es topológico y la eficiencia ideal sería. La eficiencia local, al igual que el coeficiente de agrupamiento y, por la misma razón, es nulo. El coste de la red es: El grafo es conexo, con una vértice-conectividad = y una arista-conectividad =. Otras propiedades son: La cohesividad, ch(v), de todos los vértices es la misma, ch(v)=. El i-degree, ξ(i), tiene valor para i n-. Tanto la dureza de vértices, t V (G), como la de aristas toman valor uno. La persistencia del grafo, tanto la de vértices, ρ V (G), como la de arista, ρ E (G), es. Máximo incremento de distancia entre dos nodos causada por la eliminación de un vértice en la red: 4, para i =. 83

6 Máximo incremento de distancia entre dos nodos causada por la eliminación de una arista en la red:, para i =. Máximo diámetro del grafo causada por la eliminación de un vértice en el mismo:, para i =. Máximo diámetro del grafo causada por la eliminación de una arista en el mismo:, para i =. Conectividad principal,, es igual a, ya que es (n-) en los n! casos. 4. Estrella Figura 9 Al igual que antes la numeración de los nodos puede ser rehecha, siendo válidos todos los cálculos realizados para cualquier numeración. Independientemente de si n es par o impar, los nodos más alejados de la red están a una distancia =. El diámetro de la red es. No es un grafo regular, ya que todos los nodos tendrán valencia, excepto el central, que tendrá valencia n-. El grado medio es, por tanto: La longitud de camino característica es. El coeficiente de agrupación es nulo. El razonamiento seguido para obtenerlo ha sido: Si recordamos la definición proporcionada del coeficiente de agrupación veremos como todos los vértices de grado nulo o unitario, poseían un coeficiente nulo. Eso ocurre con cada subgrafo centrado en un vértice i exterior. Cuando el vértice i es el central, lo que ocurre es que todos los 84

7 nodos exteriores quedan desconectados. Al no haber ninguna arista el coeficiente de agrupamiento es nulo. La eficiencia media de la red es La eficiencia global es igual que la eficiencia media, por ser la eficiencia del grafo ideal unitaria. Por otra parte, la eficiencia local es: Recordemos que la expresión de la eficiencia local es :,, Donde. Si falta el nodo central, al no ser conexo, la eficiencia local es nula. Si falta cualquiera de los nodos exteriores el subgrafo correspondiente estaría formado por un solo nodo, por lo que la eficiencia también sería nula. En conclusión, la eficiencia local es nula. El coste de la red es: El grafo es conexo, con una vértice-conectividad = y una arista-conectividad =. Otras propiedades son: La cohesividad, ch(v), de todos los vértices exteriores es la misma, ch(v)=0. La del vértice central es. El i-degree, ξ(i), tiene valor para i=. Para el resto de valores de i, i n-, es 0. No puedo borrar ninguna arista sin que el grafo sea inconexo. 85

8 La dureza de vértices, t v (G), es (Si suprimimos el nodo central tendríamos los n- nodos exteriores aislados. Al suprimir cualquiera de los nodos exteriores tendríamos solo una componente conexa). La dureza de aristas, t E (G), es 0,5. Si eliminamos una arista tenemos dos componentes, si suprimimos dos aristas tenemos 3 componentes, si eliminamos tres aristas nos quedan 4 componentes, y así, siempre tendremos componente más que arista suprimida. El menor cociente de todos los nombrados (este valor es mayor a mas aristas suprimidas) es. La persistencia de vértices, ρ v (G), es, ya que en cuanto retiro el nodo central el grafo se hace totalmente inconexo. El diámetro, D, adquiere valor infinito. La persistencia de aristas, ρ E (G), es n-, ya que necesitaría quitar todas las aristas para incrementar el diámetro. Además, cuando esto se produce el grafo queda no conexo. Conectividad media, = 0. He de colocar siempre todas las aristas para lograr que sea conexo. El resto de las propiedades calculadas en el apartado anterior, en el caso del anillo, no tiene sentido calcularlas en este ya que el grafo deja de ser conexo. 4.3 Mallado completo Figura 0 Los dos nodos más alejados de la red están a distancia. Este es el diámetro, independientemente del número de nodos. Es un grafo regular en el cual todos los vértices tienen valencia n-, por lo que el valor medio de grado es n-. Tanto la longitud característica del grafo como el coeficiente de agrupación toman valor. 86

9 La eficiencia media de la red, la eficiencia global y la eficiencia local también son unitarias desde el punto de vista topológico. El tener a nuestra disposición un enlace dedicado entre cada par de nodos eleva el coste hasta su valor máximo, la unidad. El grafo es conexo, con una vértice-conectividad = n- (necesito quitar todos los nodos, excepto para dejar este aislado) y una arista-conectividad = n-. Otras propiedades son: La cohesividad de todos los vértices es la misma, ch(v) =. El i-degree tiene valor: i(n-i) para i n-. La dureza de vértices, t v (G), es infinita, por definición. La dureza de aristas, t E (G), es Ya que si no quito todas las aristas, el número de componentes es uno. Cuando las quitamos todas quedan n componentes aislados. La persistencia de vértices, ρ v (G), es n-, mientras que la de aristas, ρ E (G), es. Máximo incremento de distancia entre dos nodos causada por la eliminación de i vértices en la red: 0,. Máximo incremento de distancia entre dos nodos causada por la eliminación de i aristas en la red:, Máximo diámetro del grafo causado por la eliminación de i vértices en el mismo: 0,. Máximo diámetro del grafo causada por la eliminación de i aristas en el mismo:, Conectividad media: En este caso, es muy complejo el cálculo de la conectividad media. Por eso, únicamente lo acotaremos usando una de las propiedades vistas anteriormente cuando se definió la magnitud 3 A medida que crece el número de nodos esta acotación nos aporta menos información del valor de la variable. 87

10 4.4 Bus Figura Los dos nodos más alejados de la red están a una distancia n-, por lo que el diámetro de la red es n-. El grafo no es regular. Los nodos intermedios tienen un grado de valor, mientras que los de los extremos (son dos nodos) solo tienen grado. El valor medio de grado es, por tanto: La longitud característica del grafo es:

11 El coeficiente de agrupación es nulo. En los nodos intermedios el subgrafo estará formado por dos nodos aislados, sin ninguna arista, por lo que el coeficiente correspondiente a estos nodos es cero. En los nodos extremos tenemos un único nodo aislado. Este es el caso hoja, ya explicado en el tercer apartado. La eficiencia media de la red es: Esta expresión es más difícil de desarrollar que L, matemáticamente hablando. Sin embargo, podemos acotarla log log La eficiencia local es nula. Si quito un nodo cualquiera el grafo es no conexo. El coste de la red es: El grafo es conexo, con una Vértice-conectividad = y una arista-conectividad =. Otras propiedades son: La cohesividad de todos los vértices extremos es ch(v)=0. Si suprimo ese vértice extremo el vértice-conectividad seguirá siendo, igual que cuando el vértice estaba presente. La cohesividad de los vértices intermedios es ch(v)=. Cuando el vértice a analizar esta presente el vértice-conectividad es. Cuando no lo está, esta magnitud es 0. No debo quitar ningún nodo para hacerlo disconexo porque ya lo es. Estos resultados son lógicos. Como ya vimos los valores son mayores () cuando el nodo es central, mientras que son pequeños (valores negativos incluso) cuanto más exterior es el nodo al grafo. 89

12 El i-degree tiene valor para i n-. La dureza de vértices, t V (G), es 0,5. Analicemos el por qué. La supresión de cualquier vértice extremo, no nos permite la aplicación de la expresión de dureza conocida, ya que únicamente tenemos un elemento conexo. La opción con la cual conseguiríamos un mayor número de componentes es suprimiendo nodos alternos del camino. El mínimo valor de t(g) se alcanzaría si suprimimos un nodo, quedándonos aislados dos componentes. La dureza de aristas, t E (G), es 0,5. Cada vez que eliminamos una aristas, tendremos el número de aristas eliminadas más uno elementos disconexos. El menos valor de este cociente se produce cuando sólo hay una arista eliminada y, por tanto, dos subgrafos. La persistencia de vértices del grafo, ρ V (G), es. Si quito algún vértice el diámetro se hace infinito; el grafo es inconexo. Igual ocurre con las aristas, por lo que, ρ E (G) =. Conectividad media, = 0, ya que siempre las he de colocar todas para que el grafo sea conexo. El resto de propiedades calculadas en los apartados 4. y 4.3 no tiene sentido calcularlas en este, ya que el grafo deja de ser conexo. 4.5 Árbol Esta topología requiere un análisis algo diferente del realizado hasta ahora, ya que no sigue un esquema concreto, una estructura predecible en función del número de nodos. Como ya se comentó en el punto de la memoria, un árbol es un grafo conexo y sin ciclos. Consideraremos un árbol con n vértices, enraizado en el vértice 0 ( en la figura ), con b niveles: num j es el número de vértices que cuelgan del nodo j pad j es el número del nodo padre del nodo j. 90

13 Dist ij será la distancia entre el nodo i y el j. Niv j es el nivel en el cual se encuentra el nodo j. Figura No es un grafo regular. Sus nodos tendrán valencia (del enlace a su nodo padre, su nodo de nivel superior) mas el número de nodos que cuelguen de él, es decir: +num j. El valor de grado medio será, por tanto: Dado que el grafo no tiene una estructura predecible en función del número de nodos, algunas de las magnitudes calculadas en otros casos serán expresadas simplemente en función de la distancia entre nodos. Para calcular la distancia entre dos nodos cualquiera u y v del grafo, podríamos aplicar el algoritmo de Dijsktra, ya explicado en el punto.. Sin embargo, hemos implementado un algoritmo que resuelve este mismo problema, de forma más eficaz para este caso concreto. Hace uso de las variables mostradas sobre la figura. Algoritmo Antes de comenzar, definimos las variables locales: hijo, hijo. Inicializamos: hijo = u, hijo =v, dist = 0.. Paso : los dos nodos introducidos son el mismo? Si u = v, dist uv = 0. Finaliza aquí el algoritmo. Si no es así, vamos al paso.. Paso : Niveles 9

14 Si el niv hijo = niv hijo, seguimos con el paso 4. Si no es así, vamos al paso Paso 3: Niveles desiguales. Si niv hijo > niv hijo, dist uv = dist uv +, hijo=pad hijo Si niv hijo < niv hijo, dist uv = dist uv +, hijo=pad hijo Volvemos a. 4. Paso 4: hijo = hijo? Si es así, aquí finaliza el algoritmo. Si no, hijo = pad u, hijo = pad v, dist uv = dist uv + Vamos al paso 4. Si realizase el algoritmo entre cada par de nodos obtendría una matriz {dist ij } formada por las distancias entre cada par de nodos del grafo. Con estos valores de distancias, podríamos calcular el valor de la longitud de camino característica, el diámetro y la eficiencia media siguiendo la definición del punto 3. El coste de la red es: El grafo es conexo, con una Vértice-conectividad = y una arista-conectividad =. Otras propiedades son: La cohesividad de todos los vértices finales por cada rama es la misma, ch(v)=0. La magnitud vértice -conectividad tiene el mismo valor tanto si están presentes como si no: su valor es la unidad. La correspondiente a los vértices intermedios es, ya que si el vértice no está presente, el grafo es disconexo sin necesidad de quitar ningún nodo. El i-degree, en este caso, no tiene valor modelable. El grafo que estamos suponiendo en todos los casos es genérico, sin embargo, no podemos 9

15 suponer ningún árbol genérico. El valor del i-degree dependerá del número de nodos de cada nivel, y del número de nodos hijos de cada nodo padre. Si podemos decir que el -degree es, ya que solo sería necesario borrar una arista para aislar un extremo. Calcularemos, al final de esta lista de propiedades esta magnitud en un grafo ejemplo. Para calcular la dureza de vértices, t v (G), evaluaremos si + num j > num 0 para algún valor de j. Si no es así, t v (G) =. Si encontramos ese valor, t v (G) =. La dureza mínima se consigue al eliminar un solo vértice. La dureza de aristas, t E (G), es más simple de calcular. Por cada arista suprimida tendremos (+número de aristas suprimidas) componentes, con lo que el menor valor de dureza se consigue al eliminar una solo arista. t E (G) = 0,5. Tanto la persistencia de vértices, ρ v (G), como la de aristas, ρ E (G), es, ya que en cuanto retiro el nodo central o una arista cualquiera, el grafo se hace no conexo, por lo que ya se ha producido el incremento de diámetro. El nuevo valor de diámetro es infinito. Conectividad media, = 0. He de colocar siempre todas las aristas para lograr que sea conexo. El resto de propiedades calculadas en los apartados 4. y 4.3 no tiene sentido calcularlas en este, ya que el grafo deja de ser conexo. Ejemplo Usaremos como ejemplo el árbol de la figura, en el que el nodo n sea el nodo número 9 y este unido con línea continua al nodo , j 9 ú , j 9 93

16 , j ,7 La matriz de distancias calculada con ese algoritmo es: El diámetro sería 5. La longitud de camino característica es,55. La eficiencia media es 0,5088. El coste es 0,0833. La dureza de vértices sería 0,5. Se obtiene al quitar el nodo 3. El i-degree es: Para i = :. Solo sería necesario borrar la arista 7-9, o la -4 o cualquier otra que vaya a un vértice extremo para tener dos subgrafos, uno de ellos con una sóla componente. Para i = :. Si suprimimos la arista 3-7, obtenemos el grafo de dos componentes formado por los nodos 7 y 9. Sería la única posibilidad de poder obtener este subgrafo. Con esto, nos damos cuenta, de que en el árbol solo sería calculable el -degree en caso de que existiese una rama-camino con dos saltos. Sino no podría tener un subgrafo de dos componentes al borrar ninguna arista. Para i = 3:. Eliminaríamos la arista - para obtenerla. Para i = 4:. Suprimiríamos la arista -3. Me quedaría el subgrafo formado por los nodos,,4,5. 94

17 Tan solo sería necesario calcular hasta ese valor por las propiedades de simetría. 4.6 Comparativa de propiedades PROPIEDAD\TOPOLOGÍA ANILLO ESTRELLA MALLADO COMPLETO n par n impar n par n impar n par n impar Diámetro, D Grado medio, k med Longitud de camino característica, L 4 4 Coeficiente de 0 0 agrupamiento, C Vértice conectividad n Arista conectividad n Eficiencia media, E Eficiencia local, E local 0 0 Coste, Co(G) Cohesividad, ch(v) ch(vért.exterior) = 0 ch(vért.central) = i degree, ξ(i), i n i=, i(n i) e.o.c 0 Dureza, t(g) t v (G) t E (G) 0,5 Persistencia, ρ(g) Máx. incremento de la distancia entre nodos causada por la eliminación de i vértices, c i Máx. incremento de la distancia entre nodos causada por la eliminación de i aristas, e i Máx. incremento del diámetro causado por la eliminación de i vértices, f i ρ v (G) n ρ E (G) n n 4, para i = n, para i = 95 n 0,, n, para i = 0,

18 Máx. incremento del diámetro causado por la eliminación de i aristas, t i Conectividad Media, n, para i =, 0 TABLA VIII PROPIEDAD\TOPOLOGÍA BUS ARBOL n par n impar n par n impar Diámetro, D n á,, Grado medio, k med Longitud de camino característica, L 3 L = 96 n( n ) Coeficiente de 0 0 agrupamiento, C Vértice conectividad Arista conectividad Eficiencia media, E E = n ( n ) u, v G, u v dist u, v dist u u, v G, u v, v Eficiencia local, E local 0 0 Coste, Co(G) Cohesividad, ch(v) ch(vértice extremo) = 0 ch(vértice intermedio) = Ch(vértice extremo) = 0 Ch(vértice intermedio) = i degree, ξ(i), i n Dureza, t(g) t v (G) 0,5 Evalúa: Persistencia, ρ(g) Máx. incremento de la distancia entre nodos causada por la eliminación de i vértices, c i Máx. incremento de la distancia entre nodos causada por la eliminación de i aristas, e i Máx. incremento del diámetro causado por la eliminación de i vértices, + num j > num 0 t E (G) 0,5 0,5 ρ v (G) ρ E (G) Si, para algún valor de j: No se verifica para ningún valor de j: Se ha implementado un algoritmo para calcular las distancias entre nodos. En esta tabla, todas las magnitudes están en función de las distancias así calculadas.

19 f i Máx. incremento del diámetro causado por la eliminación de i aristas, t i Conectividad Media, 0 0 TABLA IX Es difícil afirmar una respuesta para la pregunta: Qué topología es más robusta? En cualquier caso, analizaremos estos resultados y los compararemos todos, excepto la topología árbol, de la cual, por las razones que ya se comentaron anteriormente, no se poseen expresiones en función del número de nodos. La topología que posee un menor diámetro es el mallado completo. La que posee sus dos nodos más alejados más distantes, es el bus. En medio esta el anillo y la estrella. En general, el diámetro de la estrella será menor que el del anillo. El grado medio es mayor en el mallado completo. El bus y la estrella poseen el mismo valor. Este para un número de nodos pequeño será menor que el del anillo. Sin embargo, cuando el número de nodos se eleva el grado medio del anillo es el menor de todos. La separación típica de nodos es mínima en el mallado completo. Después, le sigue la estrella, a continuación el anillo y, por último, el bus. El coeficiente de agrupamiento, al igual que la eficiencia local, es nulo para todas las topologías excepto para el mallado. La vértice-conectividad y la arista conectividad son mayores en el mallado completo. Después, la topología en anillo y, por último, las dos restantes. La secuencia de mejor a peor valor de dureza de vértices es la siguiente: mallado total, anillo, bus y estrella. La secuencia en el mismo orden según la dureza de aristas es la misma. La persistencia de vértices es notablemente mejor en el mallado completo. El resto de topologías presentan el mismo valor. En el caso de la persistencia de aristas, el mejor caso es la estrella. Sin embargo, este último resultado es indiferente a la hora de comprobar la robustez, ya que si, es cierto que el diámetro no se incrementa, pero el grafo resulta ser disconexo. 97

20 Con respecto a las magnitudes de distancias incrementales y secuencias, diremos que no han sido calculadas ni en el caso de la estrella ni en el bus. Entre los otros dos, son mejores los valores del mallado completo. Tras este pequeño análisis, vemos como la topología más robusta es, sin duda, el mallado completo. En segundo lugar, atendiendo únicamente a la robustez, situaríamos el anillo, que presenta mejores condiciones de dureza, mejor valor de vértice conectividad y arista conectividad y mejores características de distancias incrementales y secuencias (en los otros dos casos el grafo se queda disconexo en algunos casos), manteniendo un tercer puesto en separación típica de nodos y si el número de nodos es pequeño un segundo en valores de grado medio. En tercer lugar, situaríamos la estrella, ya que presenta prácticamente las mismas características que el bus, pero en general los nodos están más próximos. En cuanto al coste que supone alcanzar la eficiencia en esa topología, el que el mallado completo sea más robusto implica que su coste es el mayor. Las siguientes topologías en coste son la estrella y el bus. Por último, el anillo. Para valores de n>>, el coste de estas tres topologías es el mismo. 98