Grafos y Redes. 3. Resolución: Dibujar el camino sin levantar el lápiz y pasando sólo una vez por cada arco o arista.

Transcripción

1 Grafos y Redes. Nodos: vértices, 2, 3 2. Arcos: aristas, conexión entre nodos. 2, 54, etc. 3. Resolución: Dibujar el camino sin levantar el lápiz y pasando sólo una vez por cada arco o arista. 4. Grado de un vértice o nodo: número de arcos que salen de un vértice. 5. Enunciado de Euler: no se puede recorrer un grafo si posee más de dos vértices con grados que sean números impares. 6. Red: conjunto de par ordenado G= (N, g), donde N es un conjunto finito (NODOS) y g conjunto de parejas de N (ARISTAS). 7. Grafo: es una herramienta que permite visualizar modelos matemáticos de redes. 8. Matriz de Adyacencia: g, es la matriz n n, donde cada valor g ij representa la existencia de una arista o enlace entre los nodos i y j. (g ij =, representa que NO existe un arco entre los nodos i y j). g g 2 g 3 Ejemplo de una matriz de Adyacencia de 3 x 3: g = ( g 2 g 3 g 22 g 3 g 23 ) g Clasificación de los grafos según la matriz g: i. Según el PESO: a. Ponderados: los enlaces (aristas) expresan una intensidad de la relación existente entre los nodos. b. Sin Ponderar: los enlaces (aristas) expresan la existencia o no de una relación entre los nodos. Sus valores son si no hay enlace, si existe. ii. Según el SENTIDO: a. Dirigidos: los enlaces (aristas) llevan sentido de la relación existente entre los nodos, por lo cual g if g fi b. No Dirigidos: los enlaces (aristas) NO llevan sentido de la relación existente entre los nodos, por lo cual g if = g fi. Los autoenlaces no tienen sentido real, por lo cual g ii =. Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página

2 Problema. Para los siguientes grafos se pide: a) b) i. Calcular el número de nodos y aristas de los grafos a) y b) ii. Calcular el grado del vértice 4 del grafo a) y del vértice D del grafo b) iii. Clasificar ambos grafos según su peso y sentido. iv. Son grafos conexos. v. Calcular la matriz de adyacencia de cada grafo.. Propiedades de la matriz de Adyacencia: i. No Dirigidos: ii. Dirigidos: a. la matriz de adyacencia es SIMETRICA. b. La suma del número de elementos NO nulos de cada FILA (o columna) se corresponde con el grado del NODO. c. Un grafo G es conexo si y solo si la matriz n k= g k no tiene ceros entre sus elementos, donde n es el número de nodos del grafo. a. la matriz de adyacencia no tiene por qué ser simétrica. b. La suma del número de elementos NO nulos de cada FILA se corresponde con el grado de salida del nodo correspondiente. c. La suma del número de elementos NO nulos de cada COLUMNA se corresponde con el grado de entrada del nodo correspondiente. d. Un grafo G es fuertemente conexo si y solo si la matriz n k= g k no tiene ceros entre sus elementos, donde n es el número de nodos del grafo.. Matriz de Incidencia: A, es una matriz m x n que representa la relación existente entre los nodos y los enlaces del grafo. Los elementos de A toman los valores -, y según: - cuando el enlace (arista) i tiene como destino el nodo j. Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página 2

3 cuando el enlace i no tiene como origen ni como destino el nodo j. cuando el enlace i tiene como origen el nodo j. Si la red no es dirigida, basta con suponer un sentido para cada enlace. 2. Propiedades de la matriz de Incidencia: i. Cada fila de una matriz de incidencia, en valor absoluto, solo puede tener 2 valores ( o ) ii. Una columna con todo ceros en un NODO AISLADO. iii. Una columna con un solo valor no nulo corresponde a un NODO PENDIENTE (o solo entrada o solo salida) iv. La suma del número de valores no nulos en una columna es igual al grado del nodo correspondiente. 3. Subgrafo: g, cualquier grafo de arista ij talque este en g. Así el grafo g+ij representara el grafo obtenido de añadir la arista ij al grafo g. En cambio, el grafo g-ij representara el grafo obtenido de substraer la arista ij del grafo g. 4. Grafo restringido: g s, es el grafo obtenido de eliminar todas las aristas, excepto aquellas que se producen entre nodos de S. También se le suele llamar subgrupo. Problema 2. Calcular de los grafos a) y b) a) b) i. La matriz de Adyacencia. ii. Que significa las filas y columnas de cada matriz. iii. Calcular la matriz de incidencia del grafo a) iv. Calcular 2 subgrafos del grafo a) uno que sea g+ij y otro que sea g-ij. 5. Tamaño de una red: quedara definido por su número de nodos y su número de aristas. 6. Máximo número de aristas: i. Grafo NO Dirigido: Max Aristas = n(n ) 2 en donde n es el número de nodos del grafo. Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página 3

4 ii. Grafo Dirigido: Max Aristas = n(n ) en donde n es el número de nodos del grafo. 7. Máximo número de configuraciones: i. Grafo NO Dirigido: Max Compon = 2 n(n ) 2 en donde n es el número de nodos del grafo. ii. Grafo Dirigido: Max Compon = 2 n(n ) en donde n es el número de nodos del grafo. 8. Densidad de una red: es la ratio (división) entre el número de aristas (enlaces) reales entre el máximo número de aristas posibles. Nos ofrece información sobre la velocidad de difusión entre nodos. i. Grafo NO Dirigido: Densidad = 2 Aristas Reales n(n ) en donde n es el número de nodos del grafo. ii. Grafo Dirigido: Densidad = Aristas Reales n (n ) en donde n es el número de nodos del grafo. Problema 3. Para los siguientes grafos calcular: i. La matriz Incidencia. ii. La matriz de Adyacencia. iii. El tamaño de la red. iv. Máximo número de aristas. v. Número de configuraciones. vi. Densidad de cada red. 9. Vecindario de un nodo i: conjunto de nodos unidos al nodo i. 2. Tamaño del vecindario del nodo i: cardinal del vecindario del nodo i. 2. Grado del nodo i, grado nodal i, d i es el número de aristas que llegan al nodo i. Coincide con el tamaño del vecindario del nodo i. En el caso de grafos dirigidos, hay que distinguir entre Grado Nodal de Entrada y Grado Nodal de Salida. 22. Clasificación de nodos según su grado nodal: i. Fuentes: cuando predomina el grado nodal de salida sobre el grado nodal de entrada. ii. Sumideros: cuando predomina el grado nodal de entrada. iii. Transmisores: cuando ambos grados tiene valores muy parecidos. Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página 4

5 23. Grado medio del vecindario: la media aritmética de todos los grados nodales. 23. Grado de una red: es la media aritmética de los grados de todos los nodos que forman la red. Se le suele llamar grado medio de la red: Avg d = 2 aristas, donde n es el número de nodos. n 24. Distancia entre 2 nodos: es el número MINIMO de aristas que existen entre ellos. Si dos nodos no están conectados su distancia será infinita. 25. Matriz Geodésica: l la matriz formada por las distancias entre los nodos de la red. 26. Al número de Distancias geodésicas: P(ij) son todas las distancias posibles entre los nodos i y j. En cambio P k (ij) son todas las distancias posibles entre los nodos i y j que pasan por el nodo k. 27. Accesibilidad: un nodo es accesible por otro si existe un conjunto de aristas mediante las cuales se pueda ir del nodo fuente al nodo destino. Tener cuidado con los grafos dirigidos, en tal caso importa cuál es el nodo fuente y cuál el destino. En grafos no dirigidos es irrelevante. 28. Paseo: es la sucesión de nodos (i, i 2, i 3, i k ) para llegar del nodo i al nodo i k. No importa el recorrido que se haga, incluso pasando por el mismo arco. 29. Longitud del paseo: el número de aristas que se utiliza en el paseo correspondiente. 3. Camino: es un paseo donde el cada nodo solo puede ser tocado una vez. Todos los caminos son paseos, pero no todos los paseos son caminos. En redes dirigidas se llamarán caminos dirigidos. 3. Longitud de un camino: el número de aristas del camino. 32. Ciclo: es la sucesión de nodos (i, i 2, i 3, i ) para llegar del nodo i al mismo nodo i. No se puede repetir ningún nodo. 33. Longitud del ciclo: número de aristas del ciclo. 34. Matriz de adyacencia y paseos: g = paseos de orden, g 2 = paseos de orden 2, g 3 = paseos de orden 3 y así sucesivamente. Recordar que g ii =. Problema 4. Para los siguientes grafos: a) b) i. Calcular la matriz de Adyacencia ii. Calcular la matriz geodésica. iii. Calcular el vecindario de cada nodo. Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página 5

6 iv. Tamaño del vecindario de cada nodo (grado nodal). v. Calcular el grado medio del vecindario. vi. Grado de cada red (grado medio de la red). vii. Los caminos de orden 2. viii. Clasifica el nodo del grafo a) y el nodo 3 del grafo b) según su grado nodal. Problema 5. Dada la siguiente matriz de Adyacencia: ( ) i. Dibujar la Red. ii. Calcular la matriz geodésica. iii. Calcular el vecindario medio. iv. La densidad de la red. 35. Red Fuertemente Conexa: si cualesquiera de dos nodos de esa red se encuentran conectados por algún CAMINO, y viceversa en el caso de redes dirigidas. 36. Subgrafo conexo: cualquier Subgrafo en donde cualesquiera de dos nodos pertenecientes al Subgrafo, se encuentren conectados por algún camino formado por nodos de ese mismo Subgrafo. 37. Componente: cada uno de los distintos subgrafos conexos maximales de una red. 38. Arboles: red conexa que no tiene ciclos. A cada nodo se le denomina hoja, un árbol tiene como mínimo 2 hojas. Un bosque es una red donde cada componente es un árbol. 39. Estrella: es una red donde un nodo i al cual se unen todos los demás nodos de la red. El nodo i se denomina centro de la estrella. Una estrella es un tipo de árbol. 4. Circulo: es una red que tiene un único ciclo y donde cada nodo de la red tiene exactamente 2 vecinos. 4. Red completa: es aquella en donde aparecen presentes todos los posibles enlaces. 42. Diámetro: es la mayor de las distancias geodésicas de la red. Nos explica cómo de grande es una red, en el sentido del número de pasos, enlaces, para ir de un lado a otro de la misma. Además, proporciona información sobre la conectividad de la red. Si un nodo está aislado, su distancia geodésica es infinita, se eliminará del cómputo del diámetro. 43. Excentricidad de un nodo: es la mayor distancia geodésica con respecto al resto de nodos de la red. Si un nodo está aislado su distancia geodésica es infinita pero su excentricidad es. Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página 6

7 44. Longitud media de camino: se obtiene realizando la media de las distancias geodésicas entre todos los nodos de la red conexa. Problema 5. Del siguiente grafo calcular: i. Calcular la matriz de adyacencia ii. Calcular la matriz geodésica. iii. Calcular P(3), P(26), P(43) iv. Calcular P 4 (3), P 5 (3), P (25) vi. Forma un paseo del nodo al 6. Cuál es la longitud de ese paseo? vii. Cuál es la distancia del nodo al 3. Problema 6. De los siguientes grafos: a) b) i. Calcular la matriz de Adyacencia y la matriz geodésica. ii. Calcular, en ambos grafos, 2 paseos que vayan del nodo 2 al 5. Qué longitud tiene cada paseo. iii. Calcular, si es posible, un camino que vaya del nodo 2 al 5 en ambos grafos. Que longitud tiene ese camino. iv. Calcular para ambos grafos los paseos de orden 2 y 3. v. La excentricidad de cada nodo. 45. Homofilia: Es la tendencia de las distintas clases de nodo a asociarse con otros que son similares a ellos. Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página 7

8 46. Centralidad de un nodo en una red, es una medida de su importancia estructural. Describe la posición de los nodos en función de cómo de cerca están a lo que sería el centro de poder. Para medir la importancia (centralidad) hay cuatro alternativas: i. Centralidad de Grado: a mayor grado nodal mayor importancia, es decir, cuantos más enlaces tiene un nodo se puede suponer una mayor importancia en la red. Indica cómo de conectado se encuentra un nodo. Cuantos más enlaces tenga un nodo más probable es que tenga una posición ventajosa en la red. Para medir esta centralidad se utiliza usa el grado nodal. Se critica que sólo tiene en cuenta los enlaces inmediatos al nodo analizado. ii. Centralidad de Cercanía o cercanía con decaimiento: supone que aquellos nodos que pueden conectar con otros a través de caminos cortos, están en una posición más favorable. Indica la facilidad con la que un nodo puede llegar a otros. Se consideran todas las distancias del nodo al resto de nodos de la red. Se mide la inversa de la distancia media entre un nodo y otro. Si la red es dirigida y altamente no conectada se le llama Centralidad Armónica. iii. Centralidad de Intermediación: indica el número de veces que un nodo aparece en el camino más corto entre 2 nodos. Indica la importancia que tiene un nodo en términos de conexión con otros. Mide la idoneidad de la posición de un nodo con respecto a los caminos dentro de una red. iv. Centralidad de Vector Propio: no qué conoces, si no a quién conoces. Indica cómo de importantes o influyentes son los vecinos de un nodo. Se parte de la premisa de establecer la importancia de un nodo en función de la importancia de sus nodos vecinos. Se debe utilizar el MAYOR valor propio NO NEGATIVO para elegir su vector propio. 47. Redes Dinámicas: todo lo anterior supone que las redes no evolucionan con el tiempo. En consecuencia, las medidas de centralidad apenas sirven para una red dinámica. Por lo cual en este tipo de redes la influencia de un nodo es la probabilidad asociada a ese nodo para permitir o impedir que sus enlaces participen en un instante determinado en la estructura de la red. Se utilizarán conceptos como propagación y transformación. 48. Agrupamiento o clustering : es la tendencia a que dos nodos conectados a través de un tercero, se conecten directamente entre sí. El agrupamiento permite representar una red como un conjunto de grupos o clusters unidos mediante unos pocos nodos, que se denominaran puentes locales. Se utilizarán 3 coeficientes de agrupamiento: coeficiente de agrupamiento de un nodo Cl i (g), coeficiente de agrupamiento medio Cl Avg (g) y coeficiente de agrupamiento global Cl(g). 49. Redes muy agrupadas: Cl Avg (g) densidad (g) Problema 7. Para el siguiente grafo calcular: i. La matriz de adyacencia y la matriz geodésica. Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página 8

9 ii. La centralidad de grado para cada nodo. Interpretar. iii. La centralidad de cercanía para cada nodo. Interpretar. iv. La centralidad de intermediación para cada nodo. Interpretar. v. Calcular el coeficiente de agrupamiento de cada nodo. vi. Calcular el coeficiente medio de agrupamiento. vii. Es una red agrupada. Problema 8. Para el siguiente grafo calcular: i. La matriz de adyacencia y la matriz geodésica. ii. La centralidad de grado para cada nodo. Interpretar. iii. La centralidad de cercanía para cada nodo. Interpretar. iv. La centralidad de intermediación para cada nodo. Interpretar. v. Calcular el coeficiente de agrupamiento de cada nodo. vi. Calcular el coeficiente medio de agrupamiento. vii. Es una red agrupada. 5. Fenómeno Mundo pequeño (small world): son redes dinámicas cuyas características principales son: i. Distancias geodésicas pequeñas entre nodos. ii. Alto valor de coeficiente de agrupamiento. El fenómeno de mundo pequeño indica que dos nodos se comunican por un camino de nodos intermedios relativamente pequeño y que, si dos nodos no están conectados directamente entre ellos, existe una alta probabilidad de que conecten a través de la intervención de otros nodos (conectores o puentes). Expresado matemáticamente: l ln(n), donde N es el numero d nodos, y d el diámetro medio y l la ln(d) longitud de camino media. 5. Redes económicas: i. Los nodos representan a las distintas partes que realizan intercambios (empresas, individuos, países, etc.) Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página 9

10 ii. La presencia de un enlace entre 2 nodos indica que el intercambio entre ellos está permitido. iii. La ausencia de enlace significa que el intercambio está prohibido. 52. Modelo de intercambio bilateral: Mauricio Marnich G./ Academia Mecarapid Página