Teoría de Grafos y Árboles.

Transcripción

1 Estructuras Discretas Teoría de Grafos y Árboles. Prof. Miguel Fagúndez 1

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4 Grafos: Definición Un grafo no es mas que una estructura algebraica G=(V,A) de forma tal que cumple que: V es un conjunto no vació de elementos, que se denominan vértices. A es un conjunto de elementos que se denominan arcos o aristas, estos pueden ser vacíos. Otra manera de definir un grafo es como: V, es un conjunto de elementos, que se denominan vértices. A es un conjunto de elementos que se denominan arcos o aristas, y que asocian los elementos de V en pares ordenados (A VxV). Q es una función tal que Q:A E, donde E es un conjunto de etiquetas o nombres que se le quieren poner a los arcos o aristas. 4

5 Ejemplo: Sea V= {,V,V 3,V 4 } y A={(,V ),(,V 3 ),(V,V 4 )}, el grafo asociado a esta representación algebraica es: V V 3 V 4 {ESTO ES UN GRAFO} {ESTO NO ES GRAFO} Multiplicidad de los arcos Para cualquier par ( (,V ),,V ) con,v V, se define la multiplicidad de ( (,V ),,V ) como: 1. Multiplicidad (,V ) = Card {a / a A a = (,V )}. Multiplicidad,V = Card {a / a A a =,V } Lo que se quiere decir es que la multiplicidad de (,V ) y,v se define como la cardinalidad del conjunto de arcos (,V ) y,v que se repiten tantas veces como aparece en el grafo. 5

6 y No poseen bucles, es decir, Multiplicidad (W,W) = 0, para W V. Grafos Dirigidos. Generalmente se usan paréntesis para representar los arcos o aristas A VxV, aquí el orden de los pares ordenados importa, donde (,V ) (V, ). Grafos NO Dirigidos. No importa el orden de los pares ordenados y (,V ) = (V, ), generalmente se representan de esta manera,v = V,, pero por simplicidad usaremos los paréntesis. Grafos Libres. Un grafo G = (V,A) se dice libre si A =, es decir, si no tiene arcos. Grafos Regulares. Un grafo G = (V,A) es regular de grado k o k-regular si cada vértice tiene grado k; es decir, un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado. Grafos -Regulares 6

7 Subgrafo de un Grafo NO Dirigido. El Grafo G 1 = (,A 1 ) es subgrafo de si: G = (V,A) si: 7

8 y V. A 1 A. Si = V entonces el subgrafo se llama subgrafo Expandido o Cobertor de G. Ejemplo: Sea el grafo G = (V,A), tal que V={,V,V 3,V 4 } y A={(,V ),(V 3,V 4 ), (V,V 4 )}, ahora tenemos que G 1 es un grafo tal que ={,V 3,} y A 1 ={(V 3,V 4 )}, por lo tanto G 1 es subgrafo de G. Ejemplo : Sea el grafo G = (V,A), tal que V={,V,V 3,V 4 } y A={(,V ), (V 3,V 4 ), (V,V 4 )}, ahora tenemos que G 1 es un grafo tal que ={,V,V 3,V 4 } y A 1 =, por lo tanto G 1 es subgrafo expandido de G. Definición: Sea G = (V,A) un grafo y sea U V, donde U, el subgrafo generado por U se define como G U = (V U,A U ), donde: (,V ) A U si,v A U (,V ) A,V A U,V A Definición: Un Grafo G es Completo, si para cada vértice incide sobre el n-1 arcos y no posee bucles, esto se denota como: G = K n n = V A = VxV n( n 1) K n A =, Lema!! Demostrando el Lema por Inducción Completa. Caso Base. N=1 L 1 : K 1 posee A 1 = 0, si el grafo tiene un solo vértice, este no puede tener arcos. Demostrado el Caso Base!!! Caso General. k( k 1) Hipótesis Inductiva (P(k)): K k posee A k = arcos. (Se asume como verdad) De cada vértice sale k-1 arcos. ( k + 1)(( k + 1) 1) ( k + 1)( k) Tesis Inductiva (P(k+1)): K k+1 posee A k+1 = = Partiendo de la Hipótesis para llegar a la Tesis, tenemos: 8

9 Agregamos un nuevo arco para demostrar su validad: A k + K = = k ( k 1) + k = k k + k k + k = = ( k + 1)( k) l.q.q.d. k( k 1) + k Gráficamente: V V k k V k+1 k+1 Definición: El Complemento o Grafo Complementario G c de un Grafo G, es un Grafo cuyo Conjunto de vértices es el mismo que el de G y si dos vértices cualesquiera están relacionados en G c es porque no lo están en G, es decir, el conjunto de vértices V = V c y ( RV ) en G c sii ( RV ) no se da en G. Corolario: Si G c es el grafo complementario de G, entonces: V c = V = p p( p 1) A c = - A Ejemplo: Sea G = (V,A), tal que: V = {,V,V 3 } y A = {(,V ), (V,V 3 )}, gráficamente: V V 3 9

10 Entonces, el grafo complemento lo podemos escribir como: G c = (V c,a c ), tal que: V c = {,V,V 3 } y A c = {(,V 3 )}, gráficamente: V V 3 Definición: Un Grafo G es Bipartito o Partible en Dos si se puede definir una partición en V, tal que V v,v w, y V v V w =, y V v V w = V, siendo: V v V y V w V, (A v,a w ) A entonces A v V v y A w V w, gráficamente: V v V w V1 V... Vn Vn+1 Vn+... Vm Aquí se ve claramente que los vértices de V v y V w están conectados entre si pero no entre los del mismo conjunto, cumpliendo con todas las reglas de un grafo bipartito. Definición: para que un grafo bipartito sea completo los elementos de V v tienen que relacionarse con todos y cada uno de los elementos de V w. Se define como, G = (V,A) es bipartito completo sii G es bipartito y v V v, w V w, el arco (v,w) pertenece a A. Si V v =n y V w =m, el grafo bipartito completo se denota como K n,m y A = nxm.v Ejemplo: K 3,3 V v V w. V 4 V V 5 V 3 V

11 V v = {,V,V 3 } V w = {V 4,V 5,V 6 }, y para todo par de vértices de V v y V w están relacionados. El grado del vértice se puede denotar como δ(v i ). Matriz de Adyacencia: Para que dos vértices sean adyacentes tienen que estar conectados entre si mediante un arco. En una matriz de Adyacencia sus triangulares son iguales, es decir, la matriz es simétrica. Se puede definir como: Sea G = (V,A) un grafo, donde V =n. Se define la matriz de adyacencia Ad(G) como la matriz cuadrada de nxn, cuyas entradas son: 1 sii (V i,v j ) A Ad(G) [i,j] = 0 en caso contrario. 11

12 Ejemplo: Para el grafo G = (V,A), tal que: V = {,V,V 3 } y A = {(,V ), (V,V 3 )}, gráficamente: V V 3 y la matriz de adyacencia asociada a este grafo es: V V V V Matriz de Adyacencia Pesada: Se emplea para representar grafos pesados, es decir, grafos que tienen sus arcos etiquetados con números que significan medidas en las conexiones de los vértices. Una matriz de adyacencia pesada es una matriz tal que: x R sii (V i,v j ) A Adp(G) [i,j] = 0 en caso contrario. Ejemplo: para el grafo G = (V, A, E), tal que: V = {,V,V 3 }, A = {(,V ), (V,V 3 )} y E={a 1,a }, gráficamente a 1 V a V 3 Grafo 1 y la matriz de adyacencia pesada asociada a este grafo es: V V 3 0 a 1 0 V a 1 0 a V 3 0 a 0 1

13 Matriz de Incidencia: Es una matriz de incidencia de arcos etiquetados. Para el Grafo 1 la matriz de incidencia asociada a dicho Grafo es: Formalmente se puede definir como: a 1 a 1 0 V 1 1 V Sea G = (V,A) un grafo con n vértices y m aristas, entonces le corresponde una matriz n m denominada la matriz de incidencia de G. Si denotamos los vértices de G por v 1, v,..., v n y las aristas por a 1, a,..., a m. Entonces la matriz de incidencia de G es la matriz M(G) = [x ij ] donde x ij es el número de veces que la arista a j incide en el vértice v i ; los valores son 0,1 ó ( en el caso que la arista sea un bucle). Lema: Sea G = (V,A) un grafo no dirigido. Se verifica que v V ( δ ( v) ) = A Es decir, la suma de los grados de los vértices es igual a dos veces la cantidad de los arcos de ese grafo. Teorema: En cualquier grafo, el número de vértices de grado impar es par. Se puede denotar como: V p = {v/v V δ(v) es par} V i = {v/v V δ(v) es impar} Por tanto, V i = k, k Z. Demostrar este teorema!!! Demostración: Partiendo del lema ( δ ( v) ) = A v V par y otros de grado impar. Por lo que:, tenemos que un grupo de vértices son de grado 13

14 v Vp ( δ ( v) ) ( δ ( v) ) = A, por lo que ( ( v )) = A ( δ ( v) ) + v Vi v Vp que cuenta que ( (v)) v Vi δ, aquí nos damos v Vp δ debe ser un número par ya que la suma de puros números pares me da un número par. Finalmente nos da: v Vi ( δ ( v) ) = r, r Z, no hemos terminado, debemos partiendo del grado buscar su cardinalidad, y esto es que si el grado es impar es por es de la forma k i +1, V i sustituimos ( k + 1) = r i= 1i i, por propiedades de las sumatorias: V i i= 1i ( k + 1) = r i Vi V i V i ki + 1 = r Vi = r k i i= 1i i= 1i i= 1i V i = k, k = r r l.q.q.d V i = r r 14