Algoritmos Elementales de Grafos DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE

Transcripción

1 Análisis álii y Diseño de Algoritmos Algoritmos Elementales de Grafos DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE

2 Introducción Buscar en un grafo significa sistemáticamente seguir las aristas del grafo para visitar los vértices. Representaciones más comunes Lista de adyacencias Matriz de adyacencias Algoritmos de búsqueda en grafos Búsqueda en anchura Búsqueda en profundidad 2

3 Representaciones de grafos Un grafo dirigido o no dirigido G=(V,E) se puede representar como: 3 Lista de adyacencias. Generalmente preferida para representar grafos dispersos. Matriz de adyacencias. Preferida cuando el grafo es denso

4 Lista de adyacencias Para cada u V, la lista de adyacencias Adj(u ) contiene todos los vértices v tal que existe una arista ( u, v) E Representación para un grafo no dirigido 4 Memoria requerida: Θ( V + E) Representación para un grafo dirigido

5 Lista de adyacencias Se pueden adaptar para representar grafos pesados almacenando el peso w ( u, v) de ( u, v) junto con el vértice v en la lista de adyacencia de u Desventaja: no hay forma fácil de encontrar si una determinada arista existe en un grafo que buscarla en la lista de adyacencia. 5

6 Matriz de adyacencias Para un grafo G=(V,E), se asume que los vértices están numerados 1,2,, V de forma arbitraria. La matriz de adyacencias de un grafo G consiste de una matriz A = ( a ij ) de V V elementos, tal que = 1 Memoria si ( i, j) E requerida: a ij 2 0 en caso contrario Θ( V ) Representación para un Representación para un grafo no dirigido grafo dirigido 6

7 Matriz de adyacencias T La matriz transpuesta A = a ) está dada por 7 T T ( ij a ij = a ji La matriz de adyacencia de un grafo no dirigido es la misma T que su transpuesta: A = A En algunas aplicaciones es conveniente almacenar únicamente las entradas en y sobre la diagonal de la matriz. Para grafos pesados, el peso w ( u, v ) de ( u, v ) se puede almacenar como una entrada en la fila u y la columna v de la matriz. Si la arista no existe se puede almacenar un NIL (alternativamente se puede colocar 0 o )

8 Búsqueda en Anchura Dado un grafo dirigido o no dirigido G=(V,E) y un vértice origen s: 8 Explora las aristas de G para descubrir los vértices alcanzables desde s. Se calcula la distancia (menor número de aristas) de s a cada vértice alcanzable. Produce un árbol de anchura con raíz s que contiene todos los vértices alcanzables. Para todos los vértices v alcanzables desde s, el camino en el árbol de s a v corresponde al camino más corto de s a v en G (el camino conteniendo el menor número de aristas).

9 Búsqueda en Anchura El nombre se debe a que expande la frontera entre los vértices descubiertos y los no descubiertos de manera uniforme. Descubre los vértices a distancia k de s antes de descubrir los que están a distancia k+1. 9

10 Ejemplo de Búsqueda en Anchura 10 Colorea los vértices blanco, gris o negro. Todos comienzan blancos y pueden volverse grises o negros. Para (u,v), si u es negro, entonces v es gris o negro (todos los vértices adyacentes a uno negro han sido descubiertos). Vértices grises pueden tener vértices adyacentes blancos. Para (u,v),, u es predecesor o padre de v en el árbol. Si u está en el camino de s a v en el árbol, u es ancestro de v y v descendiente de u

11 Camino más Corto 11 La distancia del camino más corto δ ( s, v ) de s a v es el mínimo número de aristas en cualquier camino de s a v Lema 22.1 Sea G=(V,E) un grafo dirigido o no dirigido, y s un vértice arbitrario. Entonces para una arista ( u, v ) E, δ ( s, v) = δ ( s, u) + 1 Lema Sea G=(V,E) un grafo dirigido o no dirigido, y supongamos que búsqueda en anchura se ejecuta en G desde s. Entonces al terminar, para cada vértice v, el valor d[v] calculado l por búsqueda en anchura satisface d[ v] δ ( s, v)

12 Lema 22.3 Camino más Corto 12 Suponga que durante la ejecución de búsqueda en anchura en un grafo G=(V,E), la cola Q contiene los vértices { v, v, 1 2 K, v r }, donde v es la cabeza de Q y es la cola. Entonces, d v ] d [ v ] v v [ [ vi ] d[ vi+ 1 y ] para d i = 1,2, K, r 1 Corolario 22.4 r Suponga que los vértices vi y v j se almacenan en la cola durante la ejecución de búsqueda en anchura, y que v i se almacena antes que v. Entonces d[ v j i ] d[ v j ] en el momento en que se almacena v j. r

13 Teorema 22.5 Camino más Corto 13 Sea G=(V,E) un grafo dirigido o no, y suponga que se ejecuta búsqueda en anchura en G a partir de un vértice origen s. Entonces, durante su ejecución, búsqueda en anchura descubre cada vértice v accesible desde s, y al terminar, para todo d[ v] = δ ( s, v) v V v s Más aún, para cualquier vértice alcanzable desde s, uno de los caminos más cortos de s a v es un camino más corto de s a π [v] * seguido por la arista ( π[ v], v) * π[v] representa el predecesor de v.

14 Árboles de Anchura 14 El subgrafo predecesor de un grafo G se define cómo G π = ( Vπ, Eπ ) V y E π donde = { v V π [ v ] NIL } { s } π = π {( π[ v], v) v V { s}} El grafo predecesor G π es un árbol de anchura si V π consiste de los vértices alcanzables desde s ypara todo v V π, existe un único camino simple de s a v en que es también un camino más corto de s a v en G Gπ

15 Lema 22.6 Árboles de Anchura 15 Cuando se aplica a a un grafo dirigido o no dirigido G=(V,E), búsqueda en anchura crea π de forma que el subgrafo predecesor G = ( V, E ) es un árbol de anchura. π ( π π

16 Búsqueda en Profundidad 16 La estrategia seguida es buscar lo más profundo siempre que sea posible. Las aristas se exploran a partir del vértice v más recientemente descubierto yque aún tiene aristas sin explorar. Cuando todas las aristas de v se han explorado, la búsqueda retrocede para explorar aristas que parten del vértice a partir del que se descubrió v. El proceso continúa hasta que se han descubierto todos los vértices alcanzables desde el origen. Si quedan vértices sin descubrir, uno de ellos se selecciona como nuevo origen y se repite la búsqueda.

17 Búsqueda en Profundidad 17 A diferencia de búsqueda en anchura donde el subgrafo predecesor forma un árbol, el subgrafo predecesor producido puede estar compuesto por varios árboles, formando un bosque de profundidad. d El subgrafo predecesor es G = V, E ), donde E π = {( π [ v ], v ) v V y π [ v ] NIL } π ( π El resultado de la búsqueda puede depender del orden en que se examinan los vértices y en que se visitan los vecinos de un vértice.

18 Ejemplo de Búsqueda en Profundidad 18 Conforme se exploran las aristas, son sombreadas (si pertenecen a un árbol) o punteadas (en caso contrario). Las aristas que no pertenecen a un árbol se etiquetan como B, C o F (back, cross o forward) Se utilizan estampas de tiempo en los vértices: DT/FT

19 Propiedades de Búsqueda en Profundidad La principal p propiedad p es que el subgrafo predecesor G π forma un bosque de árboles. 19 Adicionalmente, el vértice v es descendiente del vértice u en el bosque de profundidad si y sólo si v es descubierto al momento en que u es gris. El tiempo de descubrimiento y finalización tienen estructura de paréntesis. Si se asigna un paréntesis izquierdo (u para el descubrimiento i de u, y uno derecho u) para su finalización, ió los paréntesis están propiamente anidados.

20 Propiedades de Búsqueda en Profundidad 20 (a) Resultado en un grafo dirigido: Los vértices se estampan y se indican los tipos de aristas. (b) Los intervalos para el tiempo de descubrimiento y finalización corresponden con la parentización mostrada. (c) EL grafo de (a) redibujado con las aristas de árbol y Forward descendiendo en el árbol de profundidad y las aristas Back subiendo de descendientes a ancestros

21 Propiedades de Búsqueda en Profundidad Teorema En una búsqueda en profundidad, para un grafo dirigido o no dirigido G=(V,E), para cualquier par de vértices u y v, exactamente una de las siguientes condiciones sucede: Los intervalos [d[u],f[u]] y [d[v],f[v]] son completamente disjuntos, y ningún u o v es descendiente del otro en el bosque de profundidad, El intervalo [d[u],f[u]] está contenido completamente en [d[v],f[v]], y u es descendiente de v en un árbol de profundidad, o El intervalo [d[v] f[v]] está contenido completamente en El intervalo [d[v],f[v]] está contenido completamente en [d[u],f[u]], y v es descendiente de u en un árbol de profundidad.

22 Propiedades de Búsqueda en Profundidad Corolario Un vértice v es descendiente propio de u en el bosque de profundidad para un grafo dirigido o no dirigido G si y sólo si d [ u ] < d [ v ] < f [ v ] < f [ u ] Teorema 22.9 En un bosque de profundidad de un grafo G=(V (V,E), el vértice v es descendiente del vértice u si y sólo si al momento d[u], el vértice v puede ser alcanzado desde u a través de un camino consistente únicamente de vértices blancos.

23 Clasificación de las Aristas Se pueden definir cuatro tipos de aristas en términos del bosque de profundidad 1. Aristas de árbol. Aristas en el bosque de profundidad G π 2. Aristas back (hacia atrás). Aristas que conectan un vértice u con un ancestro v en un árbol de profundidad. 3. Aristas forward (hacia adelante). Aristas no pertenecientes al árbol conectando un vértice u con un descendiente v en un árbol de profundidad. d Aristas cross (cruzadas). Pueden ser entre vértices del mismo árbol de profundidad siempre que uno no sea ancestro del otro, o pueden ser entre vértices en diferentes árboles de profundidad. Teorema En una búsqueda a profundidad en un grafo no dirigido G, todas las aristas de G son de árbol o hacia atrás G π