Separadores minimales de vértices de grafos dualmente cordales y caracterizaciones

Transcripción

1 Separadores minimales de vértices de grafos dualmente cordales y caracterizaciones Mar del Plata, septiembre de 2009

2 Definiciones rápidas Un uv-separador de G es un conjunto S V (G) tal que G S es no conexo y u y v quedan en componentes conexas distintas. Es minimal si ningún conjunto menor tiene la misma propiedad. Un clique es un conjunto maximal de vértices adyacentes de a pares. C(G) simboliza la familia de cliques de G. Una familia de conjuntos es Helly si la intersección de todos los elementos de toda subfamilia de conjuntos no disjuntos de a pares es no vacía. G es un grafo Helly cuando C(G) es Helly. T árbol y u, v V (T ), T [u, v] indicará el camino en T de u a v. T (u, v) indicará a los vértices interiores.

7 Una cuerda de un ciclo es una arista entre vértices no consecutivos del ciclo. Un grafo es cordal si no posee ciclos de al menos cuatro vértices sin cuerdas. El grafo de intersección de una familia F de conjuntos, L(F ), tiene a los conjuntos como vértices y como aristas a todo par de conjuntos no disjuntos. L(C(G)) recibe el nombre de grafo clique de G o K(G).

12 Grafos dualmente cordales Definiciones Dado G grafo, w es máximo vecino de v si N 2 [v] N[w]. v 1 v 2...v n es un orden de máximas vecindades de G si v i tiene un máximo vecino en G[{v i,..., v n }]. Se llama dualmente cordal a todo grafo que posee un orden de máximas vecindades.

15 Ejemplo v 1 v 7 v 2 v 3 v 6 v 5 v 4 es un orden de máximas vecindades.

16 Ejemplo v 1 v 7 v 2 v 3 v 6 v 5 v 4 es un orden de máximas vecindades.

17 Otras caracterizaciones Existe T árbol generador tal que todo clique induce un subárbol. Existe T árbol generador tal que, v V (G), N[v] induce un subárbol. Cualquier T con estas características se llama árbol compatible. Propiedad: T es compatible con G sii x, y, z, xy E(G) y z T (x, y) implica que xz, yz E(G).

22 Otras caracterizaciones G es Helly y K(G) es cordal. G es el grafo clique de un grafo cordal.

25 Teorema G es dualmente cordal T generador tal que todo separador minimal induce un subárbol. Demostración = ) Se prueba que si T es un árbol compatible con G todo uv-separador minimal S induce un subárbol. Basta ver que x, y, x, y S y T (x, y) implica T (x, y) S.

30 u = v 1 v 2...v n = v camino cuyo único vértice en S es x. v i vértice tal que u T [v i, v] con mayor índice. uv i+1...v camino sin vértices en S (absurdo).

34 Si T (x, y) S = : T (x, y) está en la misma componente conexa que u. Por el mismo razonamiento está en la misma componente conexa que v (absurdo).

38 =) Sean T con las características mencionadas, x e y adyacentes y z T (x, y). Si x no es adyacente a z, sea S xz-separador minimal. Se deduce que x e y están en la misma componente conexa de G S (absurdo). Conclusión x adyacente a z. También y adyacente a z, T compatible y G dualmente cordal.

44 Teorema G es dualmente cordal Todo separador minimal induce un subgrafo conexo, S(G) es Helly y L(S(G)) es cordal. = ) Tomar T generador tal que todo separador minimal induzca un subárbol.

45 Teorema G es dualmente cordal Todo separador minimal induce un subgrafo conexo, S(G) es Helly y L(S(G)) es cordal. = ) Tomar T generador tal que todo separador minimal induzca un subárbol.

46 =) Como S(G) es Helly y L(S(G)) es cordal existe T tal que: V (T ) = V (G) Todo elemento de S(G) induce un subárbol de T. Elegir ese T de modo que p(t ) := uv E(T ) d(u, v) es mínima. Objetivo Probar que T es generador y por tanto compatible con G.

49 Suponer que uv E(T ) E(G) y que d(u, v) = k, k > 1. S uv : Separadores minimales que contienen a {u, v}. S 1 : uv-separador minimal en N[u]. S 2 : uv-separador minimal en {w : d(w, v) = k 1}. Dos conjuntos cualesquiera de F := S uv {S 1, S 2 } son no disjuntos y S(G) es Helly. Existe w en todos los elementos de F.

53 Se obtiene un nuevo árbol T tal que todo elemento de S(G) induce un subárbol. p(t ) < p(t ). Absurdo. Conclusión T es compatible con G y G es dualmente cordal.

59 Gracias por venir!!