Iluminando galerías de arte en 3D

Transcripción

1 Iluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio Víctor Neumann-Lara de Teoría de Gráficas, Combinatoria y sus Aplicaciones, 2013

2 Problema de la galería de arte Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?

6 Problema de la galería de arte Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte? n 3

7 Iluminando poliedros Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte, en 3-D?

8 Iluminando poliedros Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte, en 3-D? No siempre se puede con vértices, y a veces son necesarios!! ω(n) puntos

9 Los vértices no son suficientes

15 (lámparas-arista) Mejor lámparas ahorradoras!!

16 (lámparas-arista) Mejor lámparas ahorradoras!!

17 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

18 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? Es fácil probar una cota superior de m O(1) lámparasarista, donde m es el número de aristas.

19 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? Es fácil probar una cota superior de m O(1) lámparasarista, donde m es el número de aristas. En 1998 Jorge se preguntó si era posible iluminar un poliedro usando cm lámparas-arista, con c<1

20 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? Es fácil probar una cota superior de m O(1) lámparasarista, donde m es el número de aristas. En 1998 Jorge se preguntó si era posible iluminar un poliedro usando cm lámparas-arista, con c<1 Por fin, pudimos contestar que sí es posible...

21 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? La estrategia:

22 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? La estrategia: Primero, encontramos un conjunto E 1 de aristas que cubra todos los vértices

23 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? La estrategia: Primero, encontramos un conjunto E 1 de aristas que cubra todos los vértices Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.

24 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? La estrategia: Primero, encontramos un conjunto E 1 de aristas que cubra todos los vértices Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas. Usamos: E (m E 1 ) = 3m + E 1 4 lámparas

25 Cubriendo los vértices

26 Cubriendo los vértices Un cubrimiento mínimo con aristas de los vértices, contiene un emparejamiento maximal M y una arista por cada vértice que no cubre M.

27 Cubriendo los vértices Un cubrimiento mínimo con aristas de los vértices, contiene un emparejamiento maximal M y una arista por cada vértice que no cubre M. (Edmonds-Gallai) Si M es un emparajemiento maximal de G, entonces existe un subconjunto de vértices propiedades siguientes: U con las

28 Cubriendo los vértices Un cubrimiento mínimo con aristas de los vértices, contiene un emparejamiento maximal M y una arista por cada vértice que no cubre M. (Edmonds-Gallai) Si M es un emparajemiento maximal de G, entonces existe un subconjunto de vértices propiedades siguientes: U con las - M tiene un emparejamiento perfecto de la componenetes pares de G[V \ U]. - M tiene un emparejamiento casi perfecto de las componentes impares de G[V \ U]. - M empareja a todos los vértices de U con vértices en componentes impares de G[V \ U].

29 Cubriendo los vértices El 1-esqueleto de un poliedro será una gráfica en la que toda componente es 3-conexa.

30 Cubriendo los vértices El 1-esqueleto de un poliedro será una gráfica en la que toda componente es 3-conexa. Veamos qué podemos hacer para gráficas 3-conexas!

31 Cubriendo los vértices

32 Cubriendo los vértices Si U = entonces M es un emparejamiento casi perfecto de Gcon V aristas, y con una más obtenemos un 2 cubrimiento con V 2 aristas.

33 Cubriendo los vértices Si U = entonces M es un emparejamiento casi perfecto de Gcon V aristas, y con una más obtenemos un 2 cubrimiento con V aristas. Pero queremos hacer las cuentas en términos del número de aristas de G. 2

34 Cubriendo los vértices Si U = entonces M es un emparejamiento casi perfecto de Gcon V aristas, y con una más obtenemos un 2 cubrimiento con V aristas. Pero queremos hacer las cuentas en términos del número de aristas de G. 2 G es 3-conexa así que tiene grado mínimo 3, por lo que tenemos m 3 V /2, así que nuestro cubrimiento tiene a lo más (m + 1)/3 aristas.

35 Cubriendo los vértices U G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

36 Cubriendo los vértices U Sean las aristas con al menos un extremo en G. Ē i G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

37 Cubriendo los vértices U Sean las aristas con al menos un extremo en G. Ē i Tenemos Ēi 3( V i + 1)/2. G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

39 Cubriendo los vértices U Tenemos un emparejamiento perfecto acá G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

40 Cubriendo los vértices U Tenemos un emparejamiento perfecto acá Entonces cubrimos sus vértices con la tercera parte de aristas G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

42 Cubriendo los vértices U Acá tenemos uno casi perfecto G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

43 Cubriendo los vértices U Para el vértice sin emparejar agregamos una arista más ( si es Acá tenemos uno casi perfecto adyacente a uno en U mejor!). G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

44 Cubriendo los vértices U Haciendo cuentas, no usamos más de la tercera parte de las aristas! G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

45 Cubriendo los vértices U Haciendo cuentas, no usamos más de la tercera parte de las aristas! m +1 3 G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

46 Cubriendo los vértices U Si G no es conexa, podemos llegar a que en el peor caso usaríamos 3m/8 aristas. G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

47 Cubriendo los vértices U Ahora tenemos iluminado a cada punto del poliedro que ve algún vértice. Veamos qué hacer con el resto! G 1 G 2 G j G j+1 G k 1 G k Componentes pares Componentes impares

48 Las cuatro clases x z y

49 Las cuatro clases x z y Arista derecha

51 Las cuatro clases x z y Arista izquierda

54 Las cuatro clases x z Interior y Arista techo

56 Las cuatro clases Interior x z y Arista piso

57 Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas) x z y

58 Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas) x y

61 Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas) Q a x y

65 Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso) x z y

66 Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso) Cortina x z y

79 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? La estrategia:

80 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? La estrategia: Primero, encontramos un conjunto E 1 de aristas que cubra todos los vértices

81 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? La estrategia: Primero, encontramos un conjunto E 1 de aristas que cubra todos los vértices Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.

82 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? La estrategia: Primero, encontramos un conjunto E 1 de aristas que cubra todos los vértices Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas. Usamos: E (m E 1 ) = 3m + E 1 4 lámparas

83 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

84 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos 27m/32 lámparas aristas.

85 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos 27m/32 lámparas aristas. Si el 1-esqueleto fuera conexo, con 5m/6 lámparas arista sería suficiente.

86 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos 27m/32 lámparas aristas. Si el 1-esqueleto fuera conexo, con 5m/6 lámparas arista sería suficiente. No hacemos ninguna suposición sobre el género del poliedro...

87 Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro? Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos 27m/32 lámparas aristas. Si el 1-esqueleto fuera conexo, con 5m/6 lámparas arista sería suficiente. No hacemos ninguna suposición sobre el género del poliedro... Sin embargo, la cota sigue bastante holgada, la mejor cota inferior la da un poliedro que necesita m 6 lámparas arista.

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