Teoría de grafos. Coloración de vértices

Transcripción

1 Teoría de grafos Coloración de vértices

2 Problema: cuántas jaulas son necesarias para transportar a estos cinco animales de forma que lleguen sanos y salvos a un mismo destino? León Hámster Si dos animales están unidos por una arista deben ir en jaulas distintas. Cada jaula la pintamos de diferente color. Conejo Hurón Tigre

3 Problema: cuántas jaulas son necesarias para transportar a estos cinco animales de forma que lleguen sanos y salvos a un mismo destino? León Hámster Si dos animales están unidos por una arista deben ir en jaulas distintas. Cada jaula la pintamos de diferente color. Conejo Hurón Posible solución, pero es la mejor? Tigre

4 Dado un grafo G=(V,A), se llama vértice-coloración de G a toda función c: V N, que verifique c(u) c(v) si {u,v} A. León Conejo Hámster Hurón El menor valor de k de forma que existe una k- vértice-coloración del grafo G se llama número cromático de G, χ(g). Tigre χ(g)=3

5 Propiedades del Número cromático: χ(g) =1 si y sólo si el grafo es trivial (no tiene aristas) χ(g) =2 si y sólo si es bipartito 1 χ(g) n, con n el número de vértices de G Si G es un subgrafo de G, χ(g ) χ(g). Si G 1, G 2,..., G c son las componentes conexas del grafo G: χ(g) = max {χ(g 1 ), χ(g 2 ),..., χ(g c ) }. Teorema: Sea G un grafo conexo con grado máximo Δ. Entonces χ(g) 1+ χ(g) si y solo si G no es ni completo ni tiene un ciclo impar.(brooke)

6 Buscando otras cotas para el número cromático χ(g) n=15 χ(g) =14 el número de aristas?

7 Teorema: Sea G un grafo con m aristas. Entonces

8 Un conjunto de vértices de un grafo G se dice independiente si no existen adyacencias entre ellos (el subgrafo inducido por ellos es vacío). Numéro de independencia Dado un grafo G=(V,A), se llama número de independencia de G, α(g), al mayor cardinal de un conjunto independiente de vértices de G. α(g)=4

9 Una k-coloración de un grafo G es una partición del grafo en k conjuntos independientes. Relación entre número cromático y número de independencia Si G tiene n vértices,

10 Grafos críticos para el color Un grafo G se dice que es crítico para el color si para cada subgrafo propio (con algún vértice o arista menos que G), H, se verifica: Puede un grafo crítico ser no conexo?

11 Si un grafo es crítico y su número cromático es k, diremos que es k-crítico Quienes son los grafos 1-críticos, 2-críticos, 3- críticos? En el caso de un grafo conexo, la definición de grafo crítico es equivalente a : para toda e arista de G

12 Teorema: Si un grafo G es k-crítico entonces la valencia de sus vértices es mayor o igual que k-1. Dem. Reducción al absurdo Sup. Si G k-crítico w tiene a lo más k-2 vecinos coloreo G-w con k-1 colores sobra un color para w tengo una coloración de G con k-1 colores.!!! Observación. Todo grafo k-cromático contiene un grafo k- crítico. Corolario. Todo grafo con número cromático k debe contener al menos k vértices de valencia mayor o igual que k-1.

13 Si G es k-cromático contiene al completo de k vértices ( )? K k (5,4,4,4,3,3,3,3,3)

14 Si G es k-cromático contiene al completo de k vértices? Ejercicio: Comprobar que es 4-crítico

15 Grafos 4-críticos Quiénes son los grafos 4-críticos? Proposición: La rueda con un número impar de radios es 4-crítico. Lema: Si G es 4-crítico entonces o G es una rueda impar o no contiene ninguna rueda.

16 Suma de grafos disjuntos: G = (V,A), G = (V,A ), (V V = φ) Vértices: V V G+G Aristas: A A {{v,v } / v V, v V } G G G+G

17 Construcción de Dirac Teorema: Sea G un grafo k-crítico y H un grafo m-crítico, entonces el grafo G+H es un grafo (k+m)-crítico. Algunos 4-críticos K2+K2 K1+C5

18 Construcción de Hajós Dados dos grafos G y H. Sean uu una arista de G y vv una arista de H. El grafo G H se obtiene identificando los vértices u y v, borrando las aristas uu y vv, y añadiendo la arista u v. u v G u v H

19 Construcción de Hajós Dados dos grafos G y H. Sean uu una arista de G y vv una arista de H. El grafo G H se obtiene identificando los vértices u y v, borrando las aristas uu y vv, y añadiendo la arista u v. u v G = u v H G H Teorema: Si ambos grafos, G y H, son k-críticos con k 3 entonces G H es k-crítico.

20 Critical graphs Vertic es chi=3 chi=4 chi=5 chi=6 chi=7 chi=8 chi=9 chi=10 chi=11 chi=12 Total

21 Vértice-coloración de grafos planos

22 Conjetura de los 4 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 4-colores Teorema de los 4 colores Más de 100 años para encontrar una demostración hecha con ordenador Todo grafo plano simple se puede colorear con 4-colores

23 Ejercicio para pensar Todo grafo plano tiene un vértice con valencia menor o igual que 5.

24 G = (V,A) y S V G(S): subgrafo inducido por S S G G(S)

25 Teorema de los 6 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 6-colores Dem. Inducción en el número de vértices. Podemos suponer G conexo. Sup cierto para todo grafo con menos de n vértices. Sea G un grafo plano con n vértices. G plano G-v es 6 coloreable por hipótesis induc. los adyac. a v como mucho usan 5 colores me queda uno libre para v G es 6 coloreable

26 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. Podemos suponer G conexo. Sup cierto para todo grafo con menos de n vértices. Sea G un grafo plano con n vértices. G plano G-v es 5 coloreable por hipótesis induc. v3 Peor caso: v4 v2 Nombramos los vértices en orden cíclico alrededor de v. v5 v1

27 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. G i,j subgrafo inducido por vértices de colores los de vi y vj G 1,3 subgrafo inducido por vértices rojos y verdes v4 v5 v3 v2 v1 G 1,3 v1 v3 v1 y v3 en distintas componente conexa Intercambio colores en una de ellas

28 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. G 1,3 subgrafo inducido por vértices rojos y verdes v3 v2 v4 v1 v5 G 1,3 v1 v3 v1 y v3 en distintas componente conexa Intercambio colores en una de ellas El verde queda libre para v

29 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. G 1,3 subgrafo inducido por vértices rojos y verdes v3 v2 v4 v1 v5 G 1,3 v1 v3 v1 y v3 en distintas componente conexa Intercambio colores en una de ellas El verde queda libre para v

30 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. G 1,3 subgrafo inducido por vértices rojos y verdes v3 v2 v4 G 1,3 v3 v1 y v3 en misma componente conexa v5 v1 v1

31 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. v4 v5 v3 v2 v1 v3 v1 v1 y v3 en misma componente conexa Existe un camino alternado de v1 a v3 que junto con v3vv1 separa v2 y v4 eng

32 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. v4 v5 v3 v2 v1 v4 v3 v1 v2 v1 y v3 en misma componente conexa Existe un camino alternado de v1 a v3 que junto con v3vv1 separa v2 y v4.

33 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. G 2,4 subgrafo inducido por vértices azules y amarillos v1 y v3 en misma componente conexa v4 v5 v3 v2 v1 v4 v3 v1 v2 Existe un camino alternado de v1 a v3 que junto con v3vv1 separa v2 y v4. v2 y v4 están en distintas comp. conexas de G 2,4

34 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. G 2,4 subgrafo inducido por vértices azules y amarillos v1 y v3 en misma componente conexa v4 v5 v3 Intercambiamos los colores de una de ellas v2 v1 v4 G 2,4 v2 Existe un camino alternado de v1 a v3 que junto con v3vv1 separa v2 y v4. v2 y v4 están en distintas comp. conexas de G 2,4

35 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. G 2,4 subgrafo inducido por vértices azules y amarillos v1 y v3 en misma componente conexa v4 v5 v3 Intercambiamos los colores de una de ellas v2 v1 v4 G 2,4 v2 Existe un camino alternado de v1 a v3 que junto con v3vv1 separa v2 y v4. v2 y v4 están en distintas comp. conexas de G 2,4

36 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. G 2,4 subgrafo inducido por vértices azules y amarillos v1 y v3 en misma componente conexa v4 v5 v3 Intercambiamos los colores de una de ellas v2 v1 v4 G 2,4 v2 Existe un camino alternado de v1 a v3 que junto con v3vv1 separa v2 y v4. v2 y v4 están en distintas comp. conexas de G 2,4

37 Teorema de los 5 colores Todo grafo plano simple se puede colorear con 5-colores Dem. Inducción en el número de vértices. v4 v5 v3 v2 v1 Hemos conseguido colorear G con 5 colores

38 Ejercicio: Intentar hacer la misma demostración con 5 en lugar de con 4 colores, por qué no funciona?