Álgebras de Lie asociadas a Configuraciones de Triángulos

Transcripción

1 Álgebras de Lie asociadas a Configuraciones de Triángulos Luis M. Fernández y Laura Martín Martínez (2000 Mathematics Subject Classification: 7B60,0C99). (Palabras Clave: Álgebras de Lie, Configuraciones de Triángulos). Abstract. Cualquier álgebra de Lie de dimensión finita, con una base fijada, se puede asociar con una estructura combinatoria de dimensión, en general, 2. En casos particulares, esta estructura es una configuración plana y conexa de triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas que, dos a dos, sólo comparten un vértice o una arista. En este trabajo, se demuestra una condición necesaria y suficiente para que un álgebra de Lie esté asociada a una configuración abierta de triángulos de la manera descrita y se estudia el caso de configuraciones más complejas. Además, se clasifican las álgebras de Lie asociadas a configuraciones básicas de triángulos. Introducción. Hoy en día está muy extendida la investigación en Teoría de Lie, especialmente en el campo de las álgebras no asociativas, debido, además de su interés puramente teórico, a las múltiples aplicaciones que tiene en campos tan diversos como las Matemáticas Aplicadas, la Ingeniería y la Física. Del mismo modo y por las mismas razones, ocurre algo similar con la Topología Combinatoria Simplicial, la cual, por otra parte, está siendo usada cada vez más como herramienta para estudiar diferentes objetos matemáticos por las muchas interrelaciones que tiene con otras materias. Recientemente, en [] se ha introducido una manera de asociar a cada álgebra de Lie de dimensión finita y con una base fijada una estructura combinatoria, de dimensión 2 en general, formada por triángulos (2-símplices) y aristas (-símplices) sueltas, cuyo -esqueleto (es decir, el conjunto de todas sus aristas) es un multigrafo con todas sus aristas ponderadas y, en algún caso, dirigidas. De manera recíproca, a toda estructura con esta

2 forma se le puede asociar un espacio vectorial de dimensión el número de vértices (0-símplices) de la estructura, dotado de un producto interno y anticonmutativo, por lo que sólo le faltaría, para ser un álgebra de Lie, verificar las identidades de Jacobi. En [] se ha estudiado el caso en el que la estructura combinatoria es una configuración conexa y plana de triángulos con aristas ponderadas y no dirigidas que, dos a dos, sólo comparten un vértice y una arista (configuración cerrada), probando una condición necesaria y suficiente para que tal configuración de triángulos esté asociada a un álgebra de Lie. El objetivo de este trabajo es estudiar bajo qué condiciones una configuración de triángulos conexa, plana y que no sea cerrada, está asociada a un álgebra de Lie. Para ello, en la Sección 2 se recuerdan las definiciones y notaciones básicas sobre álgebras de Lie (para una visión más general de esta teoría puede consultarse el libro de Chow [2]) y cómo se construye la asociación antes mencionada. En la Sección se da una condición necesaria y suficiente para que una configuración abierta (en un sentido que se definirá con precisión) básica de triángulos esté asociada a un álgebra de Lie, obteniéndose algunos ejemplos y se estudia el caso de configuraciones más complejas, que se obtienen a partir de éstas añadiendo triángulos: las configuraciones abiertas. Finalmente, en la Sección se clasifican las álgebras de Lie asociadas a configuraciones cerradas y abiertas básicas de triángulos. 2 Definiciones y notaciones. Un álgebra de Lie L [2] es un espacio vectorial dotado una ley de composición interna bilineal, denotada por [, ] y llamada producto corchete, que verifica las siguientes condiciones:. [X, X] = 0, para todo X L; 2. J(X, Y, Z) = 0, para todos X, Y, Z L, donde se está denotando: J(X, Y, Z) = [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ]. La segunda condición se llama identidad de Jacobi. Por otra parte, la primera condición, junto con la bilinealidad del producto corchete implican que dicho producto es anti-conmutativo, es decir, que [X, Y ] = [Y, X], para todos X, Y L. Considérese un álgebra de Lie de dimensión n y sea {e,..., e n } una base de L. Entonces, se puede escribir n [e i, e j ] = c h i,je h, i, j =,..., n, h= 2

3 donde las c h i,j son las llamadas constantes de estructura o constantes de Maurer-Cartan que, por la bilinealidad del producto, caracterizan el álgebra completa. En [] se asocia el par (L, B) con una estructura combinatorial del siguiente modo: (a) Para cada e i B con i n, se dibuja un punto (vértice) etiquetado con el índice i. (b) Dados dos vértices i = j, entonces: (b) Si c i i,j 0, se dibuja una arista de peso este valor, orientada desde el vértice j al vértice i. (b2) Si c j i,j 0, se dibuja una arista de peso este valor, orientada desde el vértice i al vértice j. (c) Dados tres vértices distintos i, j, k tales que alguna de las constantes de estructura ci,j, h c j i,h, ci j,h es no nula, se dibuja el triángulo de esos vértices relleno, con las aristas sin dirigir y ponderando la que une los vértices i y j con el peso c h i,j, la que une los vértices i y h con el peso c j i,h y la que une los vértices j y h con el peso cj,h i. Además, se tendrán en cuenta los siguientes convenios: (c) Si alguna de las constantes de estructura c h i,j, c j i,h, ci j,h es nula, entonces la arista correspondiente se dibuja con línea discontinua y se llama arista fantasma. (c2) Si existe k h, i, j tal que c k i,j = c h i,j entonces, las aristas correspondientes se dibujan como una sola (que compartirán los dos triángulos de vértices (i, j, k) e (i, j, h), respectivamente) con un único peso igual al dado por la constante de estructura, pudiendo ser una arista fantasma. Por todo lo dicho, es claro que si [e i, e j ] = 0, no se dibuja ninguna arista no fantasma entre los vértices i y j. Además, obsérvese que pueden presentarse dos tipos de ciclos de tres aristas (ver [] para la terminología en Teoría de Grafos): con aristas dirigidas o sin dirigir (en este último caso, posiblemente con alguna arista fantasma y correspondiendo a las fronteras de triángulos rellenos). En consecuencia, cualquier álgebra de Lie de dimensión finita, fijada una base, está asociada a una estructura combinatoria de este tipo, aunque es necesario destacar que esta asociación depende de la base seleccionada. Si

4 dicha estructura es no conexa, el álgebra puede descomponerse en suma directa de subálgebras de Lie, estando asociada cada una de ellas a una componente conexa de la estructura. Más aún, si aparece un vértice aislado, el correspondiente elemento de la base pertenece al centro del álgebra. Recíprocamente, dada una estructura combinatoria como la anteriormente descrita, es decir, formada por triángulos de aristas ponderadas (posiblemente, con alguna de peso cero) y por aristas dirigidas y ponderadas, siempre es posible encontrar un espacio vectorial V, de dimensión el número de vértices de la estructura, asociado a ella, escogiendo {e,..., e n } como una base de V, correspondiendo cada vector e i con el vértice i. Entonces, se puede construir un producto interno en V, definiéndolo sobre los vectores básicos y extendiéndolo a todo V por linealidad, de la siguiente forma: Dados los vectores e i, e j de la base de V (i < j), se define [e i, e j ] = 0 si los vértices i y j no son adyacentes, es decir, si no hay ninguna arista entre ellos. Si lo son, a su vez puede ocurrir que: (i) Exista una arista dirigida desde el vértice i al vértice j con peso a i,j. En este caso, en la expresión de [e i, e j ] debe aparecer el sumando a i,j e j. (ii) Exista una arista dirigida desde el vértice j al vértice i con peso b i,j. En este caso, en la expresión de [e i, e j ] debe aparecer el sumando b i,j e i. (iii) Existan aristas no dirigidas entre ambos vértices, con pesos respectivos ci,j k cada una de ellas, perteneciendo al triángulo formado por los vértices i, j y k, k i, j (posiblemente también perteneciendo a otros triángulos de vértices i, j y k,..., k s, con k,..., k s i, j). En este caso, en la expresión de [e i, e j ] debe aparecer el sumando ci,je k k (posiblemente también los sumandos ci,j(e k k + + e ks )). Además, puede conseguirse que este producto interno sea anti-conmutativo sin más que exigir que [e i, e j ] = [e j, e i ], i < j n. En el caso que es objeto este trabajo, vamos a considerar estructuras conexas, planas y formadas por triángulos con sus aristas no dirigidas y compartidas por, a lo más, dos triángulos. Entonces, entre dos vértices adyacentes i y j de la estructura, sólo existirá una arista de peso a i,j. Si, a su vez, esta arista sólo está en un triángulo de vértices i, j y k, entonces, [e i, e j ] = a i,j e k. Si la mencionada arista está en dos triángulos de vértices i, j y k e i, j y k 2, entonces, [e i, e j ] = a i,j (e k + e k2 ).

5 Álgebras de Lie asociadas a Configuraciones Abiertas de Triángulos. Diremos que una configuración conexa y plana de triángulos que, dos a dos, sólo comparten un vértice o una arista, es una configuración abierta si está formada por triángulos con un vértice en común y no todas las aristas que contengan a ese vértice compartidas dos a dos. Así mismo, diremos que una configuración conexa y plana de triángulos que dos a dos sólo comparten un vértice o una arista es una configuración abierta básica si es una configuración abierta y sólo dos de las aristas que contienen al vértice común pertenecen a un único triángulo. Denominaremos al vértice común de una configuración abierta cualquiera vértice central, mientras que el resto de los vértices se llamarán vértices exteriores. Finalmente, las aristas que contienen al vértice central se denominarán aristas radiales y las que no tienen esta propiedad aristas exteriores. Figura.: Configuración abierta

6 Figura.2: Configuración abierta básica Sea C una configuración abierta básica con n (n ) triángulos de lados ponderados y no dirigidos. Nótese que entonces C tiene n + 2 vértices que se etiquetarán identificando el vértice común con la etiqueta y los demás, en el sentido contrario a las agujas del reloj y de forma que los vértices correspondientes a las dos aristas radiales que están en un sólo triángulo sean el 2 y el n + 2. El peso correspondiente a la arista que une los vértices i y j (en caso de que exista) será denotado por a i,j. Sea V = {e,..., e n+2 } una base del espacio vectorial de dimensión n + 2 que sabemos está asociado a la configuración y que está dotado de un producto interno anti-conmutativo dado por los siguientes productos no nulos de elementos básicos (y sus correspondientes antisimetrías): [e, e 2 ] = a,2 e ; (.) [e, e i ] = a,i (e i + e i+ ), i =,..., n + ; (.2) [e, e n+2 ] = a,n+2 e n+ ; (.) [e i, e i+ ] = a i,i+ e, i = 2,..., n + ; (.) Nótese que, por el etiquetado de la figura, los vértices 2 y n+2 pertenecen a un único triángulo, por lo que las expresiones de los productos corchetes que contienen a los vectores e 2 y e n+2 sólo dependen de un vector de la base. 6

7 Utilizando las fórmulas (.) (.), vamos a estudiar condiciones para que se verifiquen las posibles identidades de Jacobi. En primer lugar, es claro que J(e, e 2, e n+2 ) = 0. Además, distinguiremos entre varias posibilidades en las que aplicaremos las ecuaciones (.) a la (.):. Sean dos vértices exteriores de C y adyacentes. Entonces, se cumple que J(e, e i, e i+ ) = 0, para 2 i n Sean i, j dos vértices de C exteriores y no adyacentes. A su vez, surgen las siguientes posibilidades: 2.. Si entre ellos sólo hay otro vértice exterior, entonces: J(e, e i, e i+2 ) = (a,i a i+,i+2 + a,i+2 a i,i+ )e, 2 i n. (.) 2.2. Si entre i y j hay más de un vértice exterior, se tiene J(e, e i, e j ) = 0, para todos i y j en estas condiciones.. Sean tres vértices exteriores de C. Se pueden presentar las siguientes situaciones:.. Si son consecutivos, entonces: J(e i, e i+, e i+2 ) = a i,i+ a,i+2 (e i+ + e i+ ) +a i+,i+2 a,i (e i+ + e i ), i n. (.6) Además, para las triadas de vértices (2,, ) y (n, n +, n + 2), respectivamente: J(e 2, e, e ) = a 2, a, (e + e ) + a, a,2 e, (.7) J(e n, e n+, e n+2 ) = a n,n+ a,n+2 e n+ + a n+,n+2 a,n (e n+ + e n ). (.8).2. Si dos de ellos son adyacentes y el tercero no lo es a ninguno de los anteriores, entonces se verifica que: J(e i, e i+, e k ) = a i,i+ a,k (e k + e k+ ), (.9) si 2 i k n 2, ó bien, si k i 2 n ; J(e i, e i+, e n+2 ) = a i,i+ a,n+2 e n+, 2 i n ; (.0) J(e 2, e i, e i+ ) = a i,i+ a,2 e, i n +. (.) 7

8 . Si los tres vértices no son adyacentes entre sí, entonces J(e i, e j, e k ) = 0, para todos i, j y k de esta forma. Por tanto, estamos en condiciones de enunciar el siguiente teorema, cuya demostración se obtiene anulando (.) a (.). Teorema.. Una configuración abierta básica de n triángulos con lados ponderados y no dirigidos tiene asociada un álgebra de Lie si y sólo si se verifica: a i,i+ a,k = 0, 2 i n +, k i, i +. Obsérvese que si una configuración abierta básica tiene una arista exterior no fantasma, todas las aristas radiales no incidentes con ella deben ser fantasmas para que la configuración esté asociada a un álgebra de Lie. Además, si una configuración abierta básica tiene una arista radial no fantasma, todas las aristas exteriores no incidentes con ella deben ser fantasmas para que la configuración esté asociada a un álgebra de Lie. Como ejemplo, del teorema anterior se obtiene que cualquier configuración abierta básica en la que todas las aristas radiales sean fantasmas está asociada a un álgebra de Lie. Análogamente sucede con cualquier configuración abierta básica tal que todas las aristas exteriores sean aristas fantasmas. Corolario.2. Cualquier configuración abierta básica de n triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas y sin aristas fantasmas, no está asociada a un álgebra de Lie. El caso de una configuración abierta básica con únicamente dos triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas (Figura.) debe tratarse aparte, ya que, como se puede comprobar en [], una tal configuración abierta básica está asociada a un álgebra de Lie si y sólo si sus pesos verifican: a 2, a, + a, a,2 = 0. (.2) 8

9 a,2 a, 2 a, a 2, a, Figura. De (.2) se deduce que la situación es distinta a la planteada en el Teorema. y en el Corolario.2. En este caso es posible que la configuración esté asociada a un álgebra de Lie sin tener aristas fantasmas. Es el caso que se obtiene al asignar a todos los pesos el valor salvo al a 2, =. A partir de aquí, vamos a estudiar la posible asociación con álgebras de Lie de configuraciones abiertas no básicas y otras configuraciones que aunque no son abiertas, contienen a una abierta. Diremos que un triángulo se suma a una configuración si, al añadirlo, comparte con ella algún vértice y, a lo más, una única arista, de manera que el resultado siga siendo una configuración plana. Así, dada una configuración de triángulos, diremos que otra configuración la contiene o se obtiene a partir de ella si es el resultado de sumarle sucesivos triángulos. Obsérvese que al sumar triángulos a una configuración, siempre aparecen nuevos vértices. En primer lugar, vamos a considerar configuraciones abiertas obtenidas sumando triángulos a una configuración abierta básica compartiendo el vértice central con ésta. Nótese que cualquier configuración abierta puede obtenerse así. Si la configuración abierta básica está asociada a un álgebra de Lie, ello no garantiza que cualquier configuración abierta obtenida a partir de ella también lo esté. Por ejemplo, sea la configuración de la Figura., en la que todas las aristas no fantasmas se suponen de peso : 9

10 6 7 Figura. En virtud del Teorema., la configuración abierta básica de tres triángulos está asociada a un álgebra de Lie. Sin embargo, J(e 2, e 6, e 7 ) = e 0 por lo que la configuración entera no lo está. Dicho ésto, estamos en condiciones de enunciar el siguiente teorema. Teorema.. Cualquier configuración abierta de triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas obtenida a partir de una configuración abierta básica de n triángulos que no esté asociada a un álgebra de Lie, no está, a su vez, asociada a un álgebra de Lie. Demostración. Denotemos por C a la configuración dada en las hipótesis y por C a la configuración abierta básica de n triángulos, no asociada a un álgebra de Lie, de la que se obtiene C. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que los triángulos que se suman a C para obtener C sólo comparten con C el vértice central. Esto es así porque al sumar a una configuración abierta básica un triángulo que comparta con ella una arista, lo que se obtiene es otra configuración abierta básica. Si la primera no está asociada a un álgebra de Lie, es claro que la segunda tampoco lo está. Etiquetemos los vértices de C de manera que los vértices de C sean, 2,..., n + 2 (siendo el vértice central) y construyamos un espacio vectorial, con la dimensión correspondiente, dotado de un producto interno anticonmutativo tal y como se ha explicado más arriba. Como C, por hipótesis, no está asociada a un álgebra de Lie, existirán al menos tres vértices i, j, k de C tales que J(e i, e j, e k ) 0, es decir, en la expresión de J(e i, e j, e k ) aparece algún sumando del tipo ce h, h n + 2, con c = 0. Al estar 0

11 C construida a partir de C, esto es, sumando triángulos o configuraciones abiertas básicas por el vértice central, sin compartir aristas con C, es claro que J(e i, e j, e k ) 0 también en C, pues sigue apareciendo el sumando ce h. Por tanto, C tampoco está asociada a un álgebra de Lie. Hemos considerado el caso de configuraciones abiertas obtenidas a partir de abiertas básicas con más de dos triángulos. Veamos ahora el caso con n = 2 (recuérdese que una configuración formada por un solo triángulo de aristas ponderadas y no dirigidas está siempre asociada a un álgebra de Lie []). El razonamiento es similar al ya empleado. En efecto, sea C una configuración abierta de triángulos con todas sus aristas ponderadas y no dirigidas, que se ha obtenido a partir de una configuración abierta básica C formada por dos triángulos, sumándole más triángulos que comparten sólo un vértice con C (se puede comprobar sin dificultad que si a una configuración abierta básica de 2 triángulos, que no está asociada a un álgebra de Lie, se le suma un triángulo que comparta una arista con ella, el resultado es una configuración abierta básica de triángulos que no está asociada a un álgebra de Lie y, en pasos sucesivos, estamos en las condiciones del teorema anterior). Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que C no contiene configuraciones abiertas básicas de tres o más triángulos, pues estaríamos otra vez en la situación ya estudiada anteriormente. Etiquetemos los vértices de C de modo que, 2 y (y, quizás, ) pertenezcan a C, siendo el vértice que comparten C y los triángulos sumados y que será el vértice central de C (ver Figuras. y.6). n+2 2 Figura. 7 6

12 n+2 2 Figura Construyamos el espacio vectorial de dimensión correspondiente, dotado de un producto interno y anti-simétrico, asociado a C, como ya se ha descrito. Entonces, la identidad de Jacobi que no se verifica en C tampoco se verifica en C. Por tanto, tenemos la siguiente proposición. Proposición.. Cualquier configuración abierta de triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas obtenida a partir de una configuración abierta básica de n=2 triángulos que no esté asociada a un álgebra de Lie, no está, a su vez, asociada a un álgebra de Lie. Si tenemos una configuración abierta básica de uno o dos triángulos asociada a un álgebra de Lie, es posible encontrar configuraciones abiertas obtenidas a partir de ella que no están asociadas a álgebras de Lie. Por ejemplo la que se recoge en la Figura.7, donde todos los pesos se suponen, excepto a 2, = a,6 = Figura.7 6 En este ejemplo, J(e 2, e, e ) = e 6 0. Sin embargo, usando (.2) se tiene que las configuraciones básicas de dos triángulos están asociadas a álgebras de Lie y, desde luego, lo está la configuración básica de un triángulo. 2

13 Por otra parte, también está claro que una configuración abierta C sin aristas fantasmas, obtenida a partir de una configuración abierta básica C de uno o dos triángulos, no puede estar asociada a un álgebra de Lie. En efecto, sea i un vértice de C que no esté en C. En primer lugar, si C está formada por dos triángulos, de vértices,2, y, se cumple que: [e i, e j ] = 0, j = 2,,. Por tanto, J(e k, e k+, e i ) = 0 si y sólo si a,i a k,k+ = 0, para k = 2,. Además, es fácil comprobar que J(e, e k, e i ) = 0, para k = 2,, y que J(e 2, e, e i ) = 0. En el caso de que C esté formada por un solo triángulo de vértices, 2 y, se tiene que J(e, e, e i ) = J(e, e 2, e i ) = 0 y que J(e 2, e, e i ) = 0 si y sólo si a,i a 2, = 0. El hecho anterior, junto al Corolario.2 y el Teorema. proporciona el siguiente resultado. Teorema.. Cualquier configuración abierta de triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas y sin aristas fantasmas no está asociada a un álgebra de Lie. Vamos ahora a estudiar configuraciones más generales que contienen a configuraciones abiertas y que se obtienen a partir de ellas sumando triángulos. Esto puede hacerse de cinco maneras diferentes, como se describe en las siguientes figuras, donde los triángulos añadidos se dibujan, además, rayados: (i) Compartiendo una única arista, de forma que ésta no contenga al vertice central. n + n + 2 Figura.8

14 (ii) Compartiendo una única arista que contenga al vértice central. n + n Figura.9 (iii) Compartiendo sólo uno de los vértices exteriores. n + n + 2 Figura.0

15 (iv) Compartiendo dos vértices sin compartir arista. n + n + 2 Figura. (v) Compartiendo sólo el vértice central. n Figura.2

16 Obsérvese que si se suma un triángulo a una configuración abierta cualquiera, de la forma descrita en (ii) o en (v), se obtiene una nueva configuración abierta con un triángulo más que la inicial. El resto de las formas posibles de sumar triángulos genera configuraciones que no son abiertas, pero que contienen a una configuración abierta. Teorema.. Cualquier configuración conexa y plana de triángulos con todas sus aristas ponderadas y no dirigidas, tales que dos a dos, sólo compartan un vértice o una arista y que se obtenga a partir de una configuración abierta, de n triángulos sin aristas fantasmas, sumándole triángulos, no está asociada a un álgebra de Lie. Demostración. Consideremos una configuración abierta C sin aristas fantasmas y otra configuración C conexa y plana, que se ha obtenido a partir de C sumando triángulos de las formas descritas en las figuras (.8)-(.2). Etiquetamos los vértices de C del modo que se ha descrito con anterioridad quedando los vértices de C etiquetados por, 2,..., n + 2, con el vértice central y construimos un espacio vectorial, con la dimensión correspondiente, dotado de un producto interno anti-conmutativo tal y como se ha explicado más arriba. Tomemos la triada de vértices de C, (2,, ). Entonces: [e 2, e ] = [e, e ] = 0. Para calcular [e 2, e ], tendremos que considerar las situaciones que se pueden presentar. En primer lugar, si en C hay un triángulo que comparta la arista de vértices 2 y con C y si k denota el tercer vértice de este triángulo, entonces: Ahora, en cualquier otro caso: [e 2, e ] = a 2, (e + e k ). [e 2, e ] = a 2, e. Así, como, en el primer caso, no es posible que existan en C los triángulos de vértices (,, k) ó (, 6, k), ya que sólo estamos añadiendo triángulos de forma que se aporten vértices nuevos a la configuración, obtenemos siempre que J(e 2, e, e ) = 0 si y sólo si a 2, a, = 0 lo cual no es posible sin la existencia de aristas fantasmas en C. El caso de una configuración que contenga a una configuración abierta de n = 2 triángulos sin aristas fantasmas, que, según se observa en la demostración anterior, debe ser tratado aparte, lo estudiamos en el siguiente teorema. 6

17 Teorema.6. Cualquier configuración conexa y plana de triángulos con todas sus aristas ponderadas y no dirigidas, tales que dos a dos sólo compartan un vértice o una arista y que se obtenga a partir de una configuración abierta básica de n = 2 triángulos sin aristas fantasmas, sumándole triángulos, no está asociada a un álgebra de Lie. Demostración. Sea C un configuración abierta básica de n = 2 triángulos sin aristas fantasmas y sea C otra configuración, conexa y plana, que se ha obtenido a partir de C sumando triángulos de las formas descritas en las Figuras Etiquetemos los vértices de C de modo que, 2, y sean los vértices de C, con el vértice central. En estas condiciones, se pueden presentar las siguientes condiciones, no excluyentes entre sí: (a) Se ha sumado un triángulo compartiendo una arista radial con C y con tercer vértice etiquetado por h. Entonces, en la expresión de J(e 2, e, e ) aparece el sumando a, a 2, e h ó el sumando a,2 a, e h, según que la arista compartida sea la de vértices (, ) ó la de vértices (, 2), respectivamente. Como C no tiene aristas fantasmas, J(e 2, e, e ) 0. (b) Se ha sumado un triángulo compartiendo una arista exterior con C y con tercer vértice etiquetado por h. Entonces, en la expresión de J(e, e 2, e ) aparece el sumando a,2 a, e h ó el sumando a, a 2, e h, según que la arista compartida sea la de vértices (, ) ó la de vértices (2, ), respectivamente. Como C no tiene aristas fantasmas, J(e, e 2, e ) 0. (c) Se ha sumado un triángulo compartiendo con C un vértice de valencia en C que, podemos suponer, sin pérdida de generalidad que es el vértice central (si no, basta hacer una nueva etiquetación de los vértices de C ). Entonces, si h y h + son las etiquetas de los otros dos vértices de dicho triángulo, se tiene que J(e 2, e h, e h+ ) = a,2 a h,h+ e, J(e 2, e, e h ) = a,h a 2, e h+, J(e 2, e, e h+ ) = a,h+ a 2, e h, no pueden ser simultáneamente nulos, pues C no tiene aristas fantasmas. (d) Se ha sumado un triángulo compartiendo con C un vértice de valencia 2 en C que, podemos suponer, sin pérdida de generalidad que es el vértice 2 (si no, basta hacer una nueva etiquetación de los vértices de C ). Entonces, si h y h + son las etiquetas de los otros dos vértices de dicho triángulo, se tiene que J(e, e h, e h+ ) = a,2 a h,h+ e, J(e, e, e h ) = a 2,h a, e h+, 7

18 J(e, e, e h+ ) = a 2,h+ a, e h, no pueden ser simultáneamente nulos, pues C no tiene aristas fantasmas. Teorema.7. Cualquier configuración conexa y plana de triángulos con todos sus lados ponderados y no dirigidos, tales que dos a dos, sólo compartan un vértice o una arista y que contenga a una configuración abierta de n 2 triángulos no asociada a un álgebra de Lie, a su vez, no está asociada a un álgebra de Lie. Demostración. Denotemos por C a la configuración dada en las hipótesis y por C a la configuración abierta de n 2 triángulos de la que se obtiene C. Etiquetemos los vértices de C de modo que los vértices de C sean, 2,..., hasta n + 2, con el vértice central y construyamos un espacio vectorial, con la dimensión correspondiente, dotado de un producto interno anti-conmutativo tal y como se ha explicado más arriba. Considerando tres vértices cualesquiera i < j < k de C y estudiando, de forma análoga a como se ha hecho en casos anteriores, las diferentes situaciones que aparecen en función de las adyacencias de i, j, k y los posibles triángulos sumados, se obtiene que las condiciones para que J(e i, e j, e k ) sea cero en C son las mismas que para que lo sea en C. Por tanto, como C, por hipótesis, no está asociada a un álgebra de Lie, existirán al menos tres vértices i 0, j 0, k 0 de C tales que J(e i0, e j0, e k0 ) 0 en C y, en consecuencia, en C. Por la definición de suma de triángulos debe hacerse notar que los Teoremas.,.6 y.7 se refieren a configuraciones obtenidas añadiendo triángulos de forma que siempre se aporten vértices nuevos a la configuración. Es posible, no obstante, añadir triángulos sin que aparezcan nuevos vértices, como se muestra en la siguiente figura, en la que a una configuración abierta se le añade un triángulo, compartiendo el vértice central y dos aristas. 8

19 n + n + 2 Figura. Esta forma de añadir triángulos a una configuración no ha sido considerada en los teormas anteriores, ni en la definición del concepto suma de triángulos, debido a que provoca situaciones diversas en cuanto a la asociación o no con álgebras de Lie de las configuraciones resultantes, como se muestra en los ejemplos siguientes. Las configuraciones de las Figuras.6 y.7 (realmente son configuraciones planas, aunque se presenten, para facilitar los dibujos, inmersiones no planas) han sido obtenidas a partir de una configuración abierta de n = 6 triángulos no asociada a un álgebra de Lie, sin embargo, la configuración de la Figura.6 está asociada a un álgebra de Lie, no ocurriéndole lo mismo a la de la Figura.7, ya que J(e, e, e 7 ) = e 6 = 0, teniendo en cuenta que los pesos correspondientes a aristas no fantasmas, que no aparecen explícitamente, se consideran. 9

20 k Figura.6 k Figura.7 20

21 Clasificación de las Álgebras de Lie asociadas a configuraciones de Triángulos. En esta sección vamos a estudiar de qué tipo son las álgebras de Lie asociadas a configuraciones cerradas o abiertas básicas de triángulos, atendiendo a la clasificación general y clásica que puede encontrarse en distintos libros (ver, por ejemplo, [2,]). Empezaremos probando un resultado que precisa cómo son las configuraciones cerradas o abiertas básicas de triángulos, con un número suficientemente grande de éstos, asociadas a álgebras de Lie, basado en el Teorema. de [] y en el Teorema., respectivamente. Teorema.. Sea C una configuración cerrada con n > triángulos o una configuración abierta básica con n > triángulos, asociada a un álgebra de Lie. Entonces se verifica: (i) Si una arista exterior de C no es fantasma, todas las demás aristas exteriores tampoco lo son y las aristas radiales son todas fantasmas. (ii) Si una arista radial de C no es fantasma, todas las aristas exteriores son fantasmas y no puede haber dos aristas radiales fantasmas consecutivas. Demostración. La haremos, en primer lugar, para configuraciones cerradas. Debe recordarse que, en virtud del Teorema. de [], una configuración cerrada C de n > triángulos con aristas ponderadas y no dirigidas está asociada a un álgebra de Lie si y sólo si: a i,i+ a,k = 0, 2 i n, k = i, i +, a 2,n+ a,k = 0, k n. (.) Supongamos que C tiene una arista exterior e no fantasma. Sin pérdida de generalidad, podemos etiquetar sus vértices por 2 y n +. Por tanto, a 2,n+ = 0, lo que, por (.), implica que a,k = 0, para todo k entre y n. Esto quiere decir que todas las aristas radiales no incidentes con e son fantasmas. Si consideramos el triángulo de vértices, y, al ser a, = a, = 0 es claro que a, 0 (caso contrario no se habría dibujado el triángulo), esto es, la arista radial de vértices y no es fantasma. Por (.), a,2 = a,n+ = 0 y, entonces, todas las aristas radiales son fantasmas. Además, todas las aristas exteriores no lo son, ya que se están dibujando todos los triángulos de C. Ahora, si C tiene una arista radial no fantasma, supongamos que la de vértices y 2, entonces, por (.), todas las aristas exteriores no incidentes con ella son fantasmas. En consecuencia, en el triángulo de vértices, y 2

22 (obsérvese que, por hipótesis, n + > ) una de las aristas radiales, de pesos a, y a,, tiene que ser no fantasma. En ambos casos, de (.) se deduce que a 2,n+ = a 2, = 0, por lo que todas las aristas exteriores son fantasmas. Es claro que no puede haber dos aristas radiales consecutivas, es decir, de vértices (, i) y (, i + ), que sean fantasmas, pues se están dibujando todos los triángulos de C. Finalmente, si C es una configuración abierta básica, la demostración se hace de manera similar, teniendo en cuenta el Teorema.. El teorema anterior puede ser utilizado para averiguar el tipo de las álgebras de Lie que están asociadas a configuraciones de triángulos. Teorema.2. Un álgebra de Lie asociada a una configuración cerrada de n > triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas es resoluble de índice de resolubilidad. Además, es nilpotente de índice de nilpotencia si y sólo si no existen dos aristas radiales consecutivas no fantasmas. Demostración. Sea L un álgebra de Lie asociada a una configuración cerrada C de n > triángulos con todas sus aristas ponderadas y no dirigidas. Etiquetemos los vértices de C de la manera ya descrita, denotemos el peso de la arista de vértices i y j por a i,j y consideremos una base de L, {e,..., e n+ }, donde cada vector e i corresponde al vértice i. En primer lugar, si existe una arista exterior no fantasma, entonces, en virtud de (i) del Teorema., todas las aristas radiales son fantasmas, es decir, a,k = 0 para todo k, con 2 k n + y todas las demás arista exteriores son no fantasmas, esto es, a i,i+ 0, para todo i con 2 i n y a 2,n+ 0. Así, los corchetes no nulos de la ley del álgebra L vienen dados por: [e i, e i+ ] = a i,i+ e, i = 2,..., n; [e 2, e n+ ] = a 2,n+ e. Ahora, si estudiamos la sucesión de resolubilidad de L, obtenemos que L 2 = [L, L] =< e >; L = [L 2, L 2 ] = {0}, por lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Para la sucesión de nilpotencia se tiene que L 2 = L 2 ; L = [L 2, L] = {0}, por lo que L es nilpotente de índice de nilpotencia igual a. Si por el contrario, existiera una arista radial no fantasma, entonces, por (ii) del Teorema. todas las aristas exteriores son fantasmas y no puede haber dos aristas radiales consecutivas fantasmas. Así, al construir 22

23 la sucesión de resolubilidad de L se observa que L 2 no contiene al vector e y, por tanto, L = {0}, es decir, también en estas condiciones, L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad igual a. Si, finalmente, planteamos la sucesión de nilpotencia de L en este caso, se tiene que L 2 =< a,2 (e + e n+ ); a,i (e i + e i+ ), i n; a,n+ (e 2 + e n ) >, L =< a,2 a,n+ (e 2 + e n ) + a,2 a, (e 2 + e ); a,i a,i (e i 2 + e i ) + a,i a,i+ (e i + e i+2 ), i n ; a,2 a, (e + e n+ ) + a, a, (e + e ); a,n a,n (e n 2 + e n ) + a,n a,n+ (e 2 + e n ); a,2 a,n+ (e + e n+ ) + a,n a,n+ (e n + e n+ ) >, donde a 2,i + a 2,i+ 0, para cualquier i con 2 i n y a 2,2 + a 2,n+ = 0. Entonces, L = 0 (esto es, L es nilpotente de índice de nilpotencia ) si y sólo si a,i a,i+ = 0, 2 i n; a,2 a,n+ = 0 o, lo que es lo mismo, si y sólo si no hay dos aristas radiales consecutivas no fantasmas. Sea L el álgebra de Lie de dimensión 6 y base {e,..., e 6 }, cuya ley del álgebra viene dada por los siguientes corchetes no nulos: [e, e i ] = e i + e i+, i ; [e, e 2 ] = e + e 6 ; [e, e 6 ] = e 2 + e. Este álgebra de Lie esta asociada a una configuración cerrada de triángulos con todas sus aristas exteriores fantasmas y todas sus aristas radiales de peso. En virtud del teorema anterior, sabemos que L no es nilpotente de índice de nilpotencia. Además, puede comprobarse que, realmente, no es nilpotente. Teniendo en cuenta el Teorema. y con una demostración similar a la anterior, se puede probar el siguiente teorema relativo a las configuraciones abiertas básicas de triángulos. Teorema.. Un álgebra de Lie asociada a una configuración abierta básica de n > triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas es resoluble de índice de resolubilidad igual a y, además, es nilpotente de índice de nilpotencia si y sólo si no existen dos aristas radiales consecutivas no fantasmas. 2

24 Es obvio que cualquier álgebra de Lie asociada a una configuración cerrada (respectivamente, abierta básica), conexa y plana de n > (respectivamente, n > ) triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas, que dos a dos sólo comparten un vértice o una arista y que sea nilpotente de índice de nilpotencia, no es filiforme, ya que su índice de nilpotencia no coincide con su dimensión. Conjetura. Cualquier álgebra de Lie asociada a una configuración cerrada (respectivamente, abierta básica), conexa y plana de n > (respectivamente, n > ) triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas, que dos a dos sólo comparten un vértice o una arista y que no sea nilpotente de índice de nilpotencia, no es nilpotente. Las configuraciones cerradas de n = y n = triángulos y las configuraciones abiertas básicas de n =, n = 2 y n = triángulos no verifican el teorema. y, por tanto, requieren un estudio independiente que pasamos a hacer a continuación. Sea C una configuración cerrada de lados ponderados y no dirigidos con n = triángulos como muestra la figura siguiente: a 2, a, a, a,2 a, 2 a 2, Figura. Sabemos ([]) que C está asociada a un álgebra de Lie si y sólo si se verifican las siguientes ecuaciones relativas a los pesos de sus aristas: a 2, a, = 0, a 2, a, = 0, a, a,2 = 0. (.2) 2

25 En virtud de (.2), las configuraciones que se muestran en las Figuras.2 a la. son las únicas configuraciones cerradas con n = triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas, salvo reordenación de vértices, que están asociadas a un álgebra de Lie: 2 Figura.2 2 Figura. 2 Figura. 2 Figura. Para obtener la clasificación deseada, en cada caso llamaremos L al álgebra de Lie asociada a la configuración de la figura correspondiente, denotaremos por {e, e 2, e, e } a la base de L determinada por los vértices y escribiremos los corchetes no nulos de los elementos básicos. Configuración de la Figura.2: [e 2, e ] = a 2, e, [e, e ] = a, e, [e 2, e ] = a 2, e. Así, L 2 = [L, L] está generada por e y L = [L 2, L 2 ] = {0}, con lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad igual a. Estudiando la sucesión de nilpotencia se observa que L 2 = L 2 y L = [L 2, L] = {0}. Por tanto, L es un álgebra de Lie nilpotente de índice de nilpotencia. Además, no es filiforme, pues dim{l} =. Configuración de la Figura.: [e, e 2 ] = a,2 (e + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e 2, e ] = a 2, e. Por tanto, L 2 =< e, e 2 + e, e + e >, L = L 2 y L no es un álgebra de Lie resoluble. Además, e genera un ideal conmutativo no trivial de L, por lo que L no es tampoco un álgebra de Lie semisimple. 2

26 Configuración de la Figura.: [e, e 2 ] = a,2 (e + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ). Entonces, se obtiene que L 2 está generada por {e 2 +e, e +e, e 2 +e } y L = {0}, con lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Además, L no es nilpotente, pues L = L 2. Configuración de la Figura.: [e, e 2 ] = a,2 (e + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ). Entonces, L 2 está generada por {e + e, e 2 + e } y L = {0}, luego L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Además, L 2 = L 2 y L = L 2, por lo que L no es nilpotente. Sea ahora C una configuración cerrada de n = triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas, como muestra la siguiente figura. a, a, a, a 2, a,2 a, a, a 2, Figura.6 Sabemos ([]) que C está asociada a un álgebra de Lie si y sólo si se verifican las siguientes ecuaciones relativas a los pesos de las aristas. a 2, a, + a, a,2 = 0, (.) a 2, a, a 2, a, = 0, (.) a, a,2 a 2, a, = 0, (.) a, a, + a, a, = 0. (.6) 26

27 Así, las únicas configuraciones cerradas de de cuatro triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas, salvo reordenación de vértices, que pueden estar asociadas a un álgebra de Lie son las que se muestran en las Figuras.7 a. y que clasificaremos a continuación. Figura.7 Figura.8 Figura.9 Figura.0 Figura. Figura.2 Figura. Figura. Como se hizo antes, en cada caso consideraremos que L es un álgebra de Lie asociada a la configuración correspondiente, que {e, e 2, e, e, e } es la base de L dada por los vértices y escribiremos los corchetes no nulos de elementos básicos. Además, deberemos tener en cuenta que los pesos de las aristas de cada configuración verifican las ecuaciones (.) a (.6). Configuración de la Figura.7: [e, e 2 ] = a,2 (e + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, (e + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ), 27

28 [e 2, e ] = a 2, e, [e, e ] = a, e, [e, e ] = a, e, [e 2, e ] = a 2, e. Así, L 2 =< e, e 2 + e, e + e > y: L =< (a, a 2, a 2, a, )e, (a,2 +a, )(e +e ), (a, +a, )(e 2 +e ) >. Por tanto, se hace necesario distinguir los siguientes subcasos: Si a,2 = a,, de las ecuaciones (.) y (.) se deduce que a 2, = a, y a, = a 2,, luego L =< (a, + a, )(e 2 + e ) >, por lo que vuelve a ser necesario hacer más distinciones: Si a, + a, = 0, L = {0} y L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Además, L =< (e 2 + e ), (e + e ) > y L = {0}, por lo que, L es un álgebra de Lie nilpotente de índice de nilpotencia y no es filiforme porque la dimensión de L no es. Si a, + a, 0, entonces L =< e 2 + e > y L = {0}, con lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad igual a. Además, L no es nilpotente porque L 2 = L. Si a,2 a,, entonces: Si a, + a, = 0, de las ecuaciones (.) y (.6) se deduce que a, = a, y a 2, = a 2,, por lo que, L =< e + e > y L = {0}. Por tanto, L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Por otro lado, L 2 = L, luego L no es un álgebra de Lie nilpotente. Si a, + a, 0 y a, a 2, a 2, a, = 0, entonces L =< e 2 + e, e + e > y L = {0}, por lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Además, no es nilpotente, ya que, o bien L 2 = L si a 2, + a 2, 0 ó a, a 2, 0, o bien L = L si a 2, + a 2, = 0 y a, a 2, = 0. Si, finalmente, a, + a, 0 y a, a 2, a 2, a, 0, L coincide con L 2 y L no es un álgebra de Lie resoluble. Por otro lado, L tampoco es un álgebra de Lie semisimple, ya que L [L, L]. Configuración de la Figura.8: [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e 2, e ] = a 2, e, [e, e ] = a, e, [e, e ] = a, e, [e 2, e ] = a 2, e. Así, L 2 está generada por {e, e 2 + e } y L = {0}, con lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Además: 28

29 Si a, = a 2, y a 2, = a,, entonces L está generada por e 2 + e y L = {0}, es decir, L es un álgebra de Lie nilpotente de índice de nilpotencia y no es filiforme porque su dimensión es. Si a, = a 2, ó a 2, a,, entonces L = L 2 y L no es nilpotente. Configuración de la Figura.9: [e 2, e ] = a 2, e, [e, e ] = a, e, [e, e ] = a, e, [e 2, e ] = a 2, e. Por tanto, L 2 está generada por e y L = {0}, luego L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. En este caso, L 2 = L 2 y L = {0}, con lo que L es nilpotente de índice de nilpotencia. Por otra parte, como dim(l), no es un álgebra de Lie filiforme. Configuración de la Figura.0: [e, e 2 ] = a,2 (e + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, (e + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ), Entonces, L 2 está generada por {e 2 + e, e + e } y L = {0}, con lo cual L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Además, L =< (a,2 + a, )(e + e ), (a, + a, )(e 2 + e ) >, por lo que hay que distinguir los siguientes subcasos: Si a,2 + a, 0 y a, + a, 0, entonces L = L 2, es decir, L no es nilpotente. Si a,2 + a, = 0 ó a, + a, = 0, entonces L = {0}, por lo que L es un álgebra de Lie nilpotente de índice de nilpotencia y no es filiforme pues su dimensión es. Configuración de la Figura.: [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, e, [e, e ] = a, e. Así, L 2 está generada por {e, e 2 + e } y L = {0}. Por tanto, L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad y, además, como L k = L 2, para todo k, no es nilpotente. 29

30 Configuración de la Figura.2: [e, e 2 ] = a,2 (e + e ), [e, e ] = a, (e + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, e, [e 2, e ] = a 2, e. Entonces, L 2 =< e + e, e 2 + e, e > y L está generada por: {(a 2, + a, )e, a, (e 2 + e ), (a,2 + a, )(e + e )}. En consecuencia, hay que distinguir dos subcasos: Si a 2, = a,, en virtud de (.) se tiene que a,2 = a, y recíprocamente. Por tanto, L =< e 2 + e > y L = [L, L ] = {0}, por lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad igual a. Además, L k = L 2, para todo k y L no es un álgebra de Lie nilpotente. Si a 2, a,, entonces L k = L 2, para todo k, con lo que L no es resoluble. Por otra parte, e genera un ideal conmutativo no trivial en L, por lo que L tampoco es un álgebra de Lie semisimple. Configuración de la Figura.: [e, e 2 ] = a,2 (e + e ), [e, e ] = a, (e + e ), [e, e ] = a, (e 2 + e ). Así, L 2 está generada por {e +e, e 2 +e } y L = {0} con lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Además, L 2 = L 2 y L =< a, (e 2 + e ), (a,2 + a, )(e + e ) >, por lo que tenemos que distinguir dos subcasos: Si a,2 a,, L = L 2 y L no es nilpotente. Si a,2 = a, entonces L =< e 2 + e > y L = {0}. Por tanto, L es un álgebra de Lie nilpotente de índice de nilpotencia igual a y no es filiforme, ya que la dimensión del álgebra de Lie no coincide con el índice de nilpotencia. Configuración de la Figura.: [e, e 2 ] = a,2 (e + e ), [e, e ] = a, (e + e ). Entonces, L 2 está generada por {e + e } y L = {0}, con lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Por otro lado, L 2 = L 2 y L = {0}, lo que implica que L es también nilpotente de índice de nilpotencia igual a. Finalmente, L no es filiforme ya que dim L =. 0

31 Con esto se completaría el estudio y clasificación de las álgebras de Lie asociadas a configuraciones cerradas de triángulos. A continuación, estudiaremos las álgebras de Lie asociadas a las configuraciones abiertas básicas con menos de cuatro triángulos. Sabemos ([]) que una configuración abierta formada por un triángulo de aristas ponderadas y no dirigidas está siempre asociada a un álgebra de Lie. Los casos que pueden darse, se recogen en las siguientes figuras, donde el peso asociado a la arista de vértices i y j se denota por a i,j. Figura. Figura.6 Figura.7 De nuevo, para obtener la clasificación, llamaremos L al álgebra de Lie asociada a la configuración de la figura conrrespondiente, denotaremos por {e, e 2, e } a una base de L dada por los vértices y escribiremos los corchetes no nulos de elementos básicos. Configuración de la Figura.: [e, e 2 ] = a,2 e, [e, e ] = a, e 2, [e 2, e ] = a 2, e. Así, L 2 = L, con lo cual, L k = L, para todo k 2 y, por tanto, L no es un álgebra de Lie resoluble. Sin embargo, los únicos ideales de L son los triviales y L no es el álgebra conmutativa, por lo que L es un álgebra de Lie simple. Configuración de la Figura.6: [e, e 2 ] = a,2 e, [e 2, e ] = a 2, e. Así, L 2 está generada por {e, e } y L = {0}. Además, L 2 = L 2 y L = L 2, luego L k = {0} y L k = L 2, para todo k 2. En consecuencia, L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad y no nilpotente. Configuración de la Figura.7: [e 2, e ] = a 2, e.

32 Por tanto, L 2 está generada por {e } y L = {0}, es decir, L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Por otra parte, L 2 = L 2 y L = {0}, así que L es un álgebra de Lie nilpotente de índice de nilpotencia. Además, dim(l 2 ) = 2 = y dim(l ) = = 0, con lo que L es también filiforme(la única existente en dimensión ) Consideremos ahora una configuración abierta básica de aristas ponderadas y no dirigidas con n = 2 triángulos como muestra la Figura.8: a,2 a, 2 a, a 2, a, Figura.8 Según se probó en [], una configuración con las características de la de la Figura.8 está asociada a un álgebra de Lie si y sólo si los pesos de sus aristas verifican la siguiente ecuación: a,2 a, + a, a 2, = 0. (.7) Teniendo en cuenta (.7) y salvo reordenación en los vértices, las configuraciones abiertas básicas de n = 2 triángulos asociadas a un álgebra de Lie son las siguientes: Figura.9 Figura.20 Figura.2 2

33 2 2 2 Figura.22 Figura.2 Figura.2 2 Figura.2 Para clasificarlas, seguiremos el mismo esquema que en situaciones anteriores, es decir, en cada caso llamaremos L al álgebra de Lie asociada a la configuración correspondiente, denotaremos por {e, e 2, e, e } a la base dada por los vértices y escribiremos los corchetes no nulos de elementos básicos. Además, deberemos tener en cuenta que los pesos de las aristas de cada configuración verifican la ecuación (.7). Configuración de la Figura.9: [e, e 2 ] = a,2 e, [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, e, [e 2, e ] = a 2, e, [e, e ] = a, e. Entonces, L 2 =< e, e, e 2 + e > y L =< a, (e 2 + e ), (a,2 + a, )e, (a, a 2, )e >, por lo que tenemos que distinguir los siguientes subcasos: Si a,2 a,, por (.7), a 2, a,. De aquí que L = L 2 y L no es un álgebra de Lie resoluble. Por otra parte, los únicos ideales que L contiene son los triviales y L no es el álgebra conmutativa, ya que por ejemplo [e, e 2 ] = e 0. Por tanto, L es un álgebra de Lie simple.

34 Si a,2 = a,, por (.7), a 2, = a,. De aquí que L =< e 2 + e > y L = {0}, por lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Además, L 2 = L 2 y L k = L 2, para todo k 2, con lo que L no es un álgebra de Lie nilpotente. Configuración de la Figura.20: [e, e 2 ] = a,2 e, [e, e ] = a, e, [e 2, e ] = a 2, e, [e, e ] = a, e. Así, L 2 está generada por {e, e } y L = {0}. Por otro lado, L 2 = L 2 y L = L 2, con lo que L k = L 2, para todo k 2. En conclusión, L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad y no nilpotente. Configuración de la Figura.2: [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, e, [e, e ] = a, e. Entonces, L 2 está generada por {e, e, e 2 +e } y L = L 2. Por tanto, L k = L 2, para todo k 2 y L no es un álgebra de Lie resoluble. Además, no se verifica que [L, L] = L, con lo cual L tampoco es un álgebra de Lie semisimple. Configuración de la Figura.22: [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e 2, e ] = a 2, e, [e, e ] = a, e. Así, L 2 está generada por {e, e 2 + e } y L = {0}, es decir, L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad igual a. Por otro lado, L está generado por {a, (e 2 + e ), (a, a 2, )e }, por lo que se hace necesario distinguir los siguientes subcasos: Si a 2, = a,, entonces L =< e 2 + e > y L = {0}, con lo que L es un álgebra de Lie nilpotente de índice de nilpotencia. Además, L es un álgebra de Lie filiforme, ya que dim L 2 = 2, dim L = y dim L = (la única existente en dimensión ). Si a 2, a,, entonces, L = L 2 y L no es un álgebra de Lie nilpotente. Configuración de la Figura.2: [e 2, e ] = a 2, e, [e, e ] = a, e.

35 Entonces, L 2 = L 2 está generada por e, con lo que L = {0} y L = [L 2, L] = {0}. Por tanto, L es un álgebra de Lie nilpotente de índice de nilpotencia igual a. Además, el índice de nilpotencia no coincide con la dimensión de L por lo que L no es filiforme. Configuración de la Figura.2: [e, e ] = a, (e 2 + e ), [e, e ] = a, e. Así, L 2 está generada por {e, e 2 + e } y L = {0}. Además, L 2 = L 2 y L k = L 2, para todo k 2. Por tanto, L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad y no nilpotente. Configuración de la Figura.2: [e, e ] = a, (e 2 + e ). Entonces, L 2 está generada por {e 2 + e } y L = {0}, por lo que L es un álgebra de Lie resoluble de índice de resolubilidad. Por otro lado, L 2 = L 2 y L = {0}, luego L es un álgebra de Lie nilpotente de índice de nilpotencia igual a y no filiforme, ya que la dimensión del álgebra no coincide con el índice de nilpotencia. Finalmente, por el Teorema. sabemos que una configuración abierta básica con n = triángulos de aristas ponderadas y no dirigidas está asociada a un álgebra de Lie si y sólo si los pesos de sus aristas verifican la siguiente ecuación: a i,i+ a,k = 0, 2 i, k i, i +. Teniendo en cuenta esta condición, las configuraciones así consideradas que están asociadas a un álgebra de Lie son las que se muestran en las siguientes figuras: Figura.26 Figura.27 Figura.28