UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

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1 UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA LINEAL - GUIÓN DE CLASE - SEMANA 10 - CICLO Estudiante: Grupo: 1. Aplicaciones 1.1. Aplicaciones. Definición, Ejemplos y Tipos. Una aplicación (o función) entre los conjuntos A y B es una correspondencia en la que a todo elemento de A le hacemos corresponder un elemento de B y sólo uno. f : A B indica el hecho de que f es una aplicación entre A y B. Al conjunto A se le llama Conjunto de Partida o Dominio de la Aplicación. Y al conjunto f (A) = {b B : para algún a A, f (a) = b} B se le llama Conjunto Imagen o Rango de la Aplicación. Al conjunto B se le llama Conjunto de Llegada. Por ejemplo, f (x) = x 2 : Z Z es la aplicación (Verifique que es una aplicación) tal que: 2 f 4: f (2) = 4 : a 4 se le llama imagen de 2 a través de f 3 f 9: f ( 3) = 9: a 9 se le llama imagen de 3 a través de f El Conjunto de Partida es Z. El Conjunto Imagen es N {0}. El Conjunto de Llegada es Z. Una aplicación (o función) f : A B se dice: Inyectiva Si elementos diferentes tienen imágenes diferentes, es decir, si a a implica f (a) f (a ), o también, si f (a) = f (a ) implica a = a. Ejemplos: 1) f (x) = x 2 : Z Z no es inyectiva ya que por ejemplo 3 3 pero f (3) = 9 = f ( 3). 2) f (x) = 2x : R R si es inyectiva, ya que elementos distintos tienen imágenes distintas. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 1

2 Sobreyectiva Si f (A) = B, o equivalentemente, si para todo b B existe un a A tal que b = f (a). Ejemplos: 1) f (x) = x 2 : Z Z no es sobreyectiva ya que f (Z) = N {0}; ó dicho de otra manera: hay elementos en el Conjunto de Llegada (Z) que no son imagen de ningún elemento del Conjunto de Partida, por ejemplo, -9,-16,.. 2) f (x) = 2x : R R si es sobreyectiva, ya que todo elemento del Conjunto de Llegada es imagen de algún elemento del Conjunto de Partída, es decir, f (R) = R. Biyectiva Si es Inyectiva y Sobreyectiva. Ejemplo: f (x) = 2x : R R es biyectiva. 2. Operaciones Binarias 2.1. Operaciones Binarias. Definición. Hay aplicaciones (o funciones) que requieren de dos elementos para poder aplicarse ; por ejemplo, en la operación suma: A cada par de números naturales, les hacemos corresponder un único número natural. Por ejemplo, al par (3, 4) le hacemos corresponder el natural 7: (3, 4) + 7 En el caso de la resta, (3, 4) 1 la diferencia es que, el resultado no es un número natural sino un entero. En símbolos: N N + N y N N Z. Definición 1. Sea A un Conjunto no Vacío. Se llama Ley de Composición Interna u Operación Binaria y se representa por a toda operación binaria que a todo par ordenado (a, b) que pertenece a A A le hace corresponder un c A, con c = a b. La suma de números naturales es una operación binaria de N N N. La resta de enteros es una operación binaria de Z Z Z. Observaciones: A A es el Conjunto de todos los Pares Ordenados (a, b) cuyos elementos a y b están en A. a b es el resultado de operar a con b, mediante la operación binaria. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 2

3 Definición 2. Sea una operación binaria sobre un Conjunto S y sea A S. Si a b A para cualquier par ordenado (a, b) de elementos de A, entonces decimos que A es cerrado ante la operación. Por supuesto que, de S S y de que es una operación binaria, se sigue que S es cerrado ante. Ejemplos. La suma es una operación binaria sobre Z. Sea P el sub-conjunto de enteros pares de Z. Si (a, b) P, a + b P (la suma de pares es par). Por tanto, P es cerrado ante la suma. El subconjunto I de números impares de N, no es cerrado ante la suma. Ej. (3, 9) I I pero / I. Operación Unaria. Se llama así a la operación que asigna un resultado a partir de un elemento. Ej. a 2 a 2 es una operación unaria. 3. Propiedades de las Operaciones Binarias. Sea una operación binaria en A: 3.1. Propiedad Conmutativa Se dice que es conmutativa en A siempre y cuando para todo a, b A, a b = b a (con un par que no cumpla ya no es conmutativa). Ejemplos: (2, 5) 10 (5, 2) 10 : N N N es conmutativa. La suma de vectores en R n es conmutativa. u + v = v + u. La diferencia de enteros no es conmutativa Propiedad de Cerradura Se dice que es cerrada en A siempre y cuando para todo a, b A, a b A. Ejemplos: La suma y multiplicación de números reales es cerrada en R. La división de enteros no es cerrada en Z. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 3

4 3.3 Propiedad Asociativa Propiedad Asociativa. Se dice que es asociativa en A siempre y cuando para todo a, b, c A, (a b) c = a (b c) (con una terna que no cumpla ya no es asociativa). Ejemplos: R R + R es asociativa. La suma de vectores en R n es asociativa. La división en Q no es asociativa: (80 4) 2 80 (4 2) Elemento Identidad. Un elemento e A se llama elemento identidad para siempre y cuando, para todo a A, a e = e a = a. Ejemplos: El elemento e de R para R R + R es 0 : a + 0 = 0 + a = a, a R. El elemento e de R para R R R es 1 : a 1 = 1 a = a, a R. El elemento 0 de R no es el e para R R R es: a 0 0 a a 0 R Inversos Supongamos que A tiene un elemento identidad e A. Entonces, el elemento b se llama inverso de a, siempre y cuando a b = b a = e, a, b A. Ejemplos. Sea x Q, con Q Q Q una op. binaria. Entonces 1 x es el inverso de x (x 0). Ej = = 1; 2 y 1 2 son inversos mutuamente. Sea a Z y Z Z + Z una op. binaria. Entonces a es el inverso de a. Ej. 5 + ( 5) = ( 5) +5 = 0, 5 y 5 son inversos mutuamente Distributividad Sea también una operación binaria en A. Si para cualesquiera a, b, c A, a (b c) = (a b) (a c) se dice que la op. es distributiva sobre la op.. Por ejemplo, la multiplicación usual en R es distributiva sobre la suma, pues a (b + c) = a b + a c a, b, c C. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 4

5 3.7 Propiedades de Cancelación Propiedades de Cancelación. Para cualesquiera a, b, c A y a 0 si a b = a c = b = c y si b a = c a = b = c Esta propiedad se cumple en la suma y multiplicación en R Elemento Idempotente Un elemento a A recibe el nombre de elemento idempotente con respecto a la operación, si a a = a. Ejemplos. 0 es un elemento idempotente bajo la suma ya que = 0. 0 y 1 son elementos idempotentes bajo la multiplicación, ya que 0 0 = 0 y 1 1 = Homomorfismos 4.1. Homomorfismos. Definición y Ejemplos. Sean (A, ) y (B, ) dos conjuntos dotados con las operaciones binarias y respectivamente, entonces la función f : A B se dice que es un homomorfismo entre (A, ) y (B, ) si para cualesquiera x, y A f (x y) = f (x) f (y) B. Ejemplos. 1. Sea f : (R, +) (R, +) dado por f (x) = 2x. Es f un homomorfismo? es decir, f (x + y) = f (x) + f (y) x, y Z?. En efecto, f (x + y) = 2 (x + y) = 2x + 2y... (1) y f (x) = 2xyf (y) = 2y = f (x) + f (y) = 2x + 2y... (2) De (1) y (2) se tiene que f (x + y) = f (x) + f (y) x, y Z. Por tanto, f : (R, +) (R, +) dado por f (x) = 2x es un homomorfismo. 2. La aplicación f dada por f (x) = exp (x) es un homomorfismo de (R, +) en (R, ) ya que: f (x + y) = exp (x + y) = exp (x) exp (y) = f (x) f (y) x, y R. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 5

6 3. La aplicación f : (M 2, ) (R, ) dada por f ([ a c ]) b = ad bc d es un homomorfismo. Ya que si A, B son matrices de orden 2: f (A B) = det (A B) = det (A) det (B) = f (A) f (B). 4. f : (Z, +) (Z, +) dada por f (x) = x + 2 no es un homomorfismo ya que: f (x + y) = (x + y) + 2 = x + y (1) y f (x) + f (y) = (x + 2) + (y + 2) = x + y (2) De (1) y (2) tenemos que f (x + y) f (x) + f (y), por tanto, f no es un homomorfismo. * Ver otros ejemplos en el Libro de Texto. Un homomorfismo es una función, así que puede ser inyectivo, sobreyectivo o biyectivo, o ninguno. Un homomorfismo inyectivo se llama monomorfismo. Un homomorfismo sobreyectivo se llama epimorfismo. Un homomorfismo biyectivo se llama isomorfismo. Si los Conjuntos de Partída y Llegada del homomorfismo son iguales, al homomorfismo se le llama endomorfismo. Un endomorfismo que además es biyectivo se llama automorfismo. Ejemplo. f : (R, +) (R, +) dado por f (x) = 2x es un automorfismo. 5. Estructuras Algebraicas Un conjunto A con una o más operaciones internas (operaciones binarias) se llama Estructura Algebraica, y se denota (A,,,...). Se clasifican según las propiedades que cumpla la operación binaria, de la siguiente manera: Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 6

7 5.1 Semigrupo 5.1. Semigrupo Si A es un Conjunto no Vacío y es una Operación Binaria sobre A, entonces la Estructura Algebraica (A, ) recibe el nombre de semigrupo, si la operación es cerrada y asociativa. Ejemplo. Si P es el conjunto de enteros pares positivos, entonces (P, +) y (P, ) son semigrupos Monoide Se llema monoide a una Estructura Algebraica (A, ) donde es una operación binaria cerrada, asociativa y con un elemento neutro e. Ejemplo. Las siguientes estructuras algebraicas son monoides: (R, +) (Z, ) (P (A), ), donde P (A) es el conjunto potencia de A φ y es la operación Unión de Conjuntos. Ejemplo. Si P es el conjunto de enteros pares positivos, entonces (P, +) y (P, ) no son monoides. Por qué? Grupo La estructura algebraica (G, ) recibe el nombre de Grupo si satisface las siguientes propiedades: 1. Cerradura: a, b G, a b G. 2. Asociatividad: a, b, c G, (a b) c = a (b c). 3. Existencia de elemento identidad: e G tal que a A, a e = e a = a. 4. Existencia de inversos: a G, a 1 G tal que a a 1 = a 1 a = e. Ejemplo. (Z, +) es un grupo. Cuando es la suma, el elemento neutro recibe también el nombre de elemento cero o elemento nulo. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 7

8 5.3 Grupo Observaciones La e. a. (A, ) es un semigrupo si es asociativa. Si además existe un elemento identidad es un monoide. Si además existe un inverso para cada elemento de A, entonces es un grupo. Otros ejemplos. 1. (Q, ) no es un grupo porque el elemento 0 Q y no posee inverso. 2. Si Q = Q {0},(Q, ) es un grupo. 3. Si I = {2a + 1, a Z}, es decir, el conjunto de los números impares, (I, +) no es un grupo, porque la suma no es una op. binaria (no cumple cerradura), es decir, ni siquiera es e. a. 4. (M 2, +) es un grupo. Definición. Un grupo (G, ) donde es una op. binaria conmutativa, se denomina grupo conmutativo o grupo abeliano. Lo de abeliano es en honor al matemático noruego Niels H. Abel ( ) que contribuyo de manera decisiva a la teoría de grupos. Propiedades de un Grupo (G, ) 1. El elemento identidad es único. 2. El inverso de cada elemento es único. 3. Las leyes cancelativas (por la izquierda y por la derecha) se cumplen. Es decir, si a b = b a = b = c y si b a = c a = b = c. 4. (a b) 1 = b 1 a 1 a, b G. Ejemplo: En el grupo (Z, +), (2 + 5) 1 = = 5 + ( 2) = 2 + ( 5) ya que el grupo es abeliano y (2 + 5) + ( 5 + ( 2)) = ( 5 + ( 2)) = Si a, b G, la ecuación a x = b tiene la única solución x = a 1 b. Similarmente la ecuación y a = b tiene la sol. única y = b a 1. Ejemplo. Sea el grupo (Z, +), la ecuación 5+x = 2 tiene la única solución x = a 1 b = 5+2 = El único elemento idempotente es e (e e = e). * Ver demostraciones en el Libro de Texto de Álgebra Lineal, págs Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 8

9 5.4 Grupos Finitos 5.4. Grupos Finitos Se llaman así a los grupos con un número finito de elementos. Y se llama orden de G y se denota G a la cantidad de elementos de G Tablas de Grupos Finitos Los grupos finitos pueden definirse totalmente mediante tablas, de manera que el resultado de operar los elementos a y b del grupo se coloca en la intersección de la fila de a con la columna de b, como muestra la figura: e b e. a a b. La ley de cancelación por la derecha se interpreta en la tabla de la op. como que los elementos no se repiten en ninguna de las columnas y la ley de cancelación por la izquierda como que los elementos no se repiten en ninguna de las filas de la tabla de la operación. Teniendo esto en cuenta y que el neutro siempre debe aparecer en la tabla de un grupo, se deduce que todos los grupos de dos elementos poseen una tabla de operación similar a la siguiente: Sea G = {e, a} y (G, ) un grupo: e a e e a a a e Puede observarse que este grupo es conmutativo; la prop. conmutativa se observa en la tabla de la op. viendo si la tabla es simétrica con respecto a la diagonal principal. *Todo grupo de dos elementos es abeliano. Ejemplo. La tabla del grupo ({ 1, 1}, ) con la multiplicación usual en R es : (Verificar que es un grupo) Notar que es un grupo abeliano. Si G posee tres elementos, G = {e, a, b}, inmediatamente podemos escribir Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 9

10 e a b e e a b a a b b El resultado de operar a con a puede ser b o e; el resultado de operar a con b debe ser e (si fuera b, se tendría a = e); por tanto a a = b, se puede entonces completar la tabla de este grupo: e a b e e a b a a b e b b e a Obsérvese que este grupo también es abeliano. Es decir, todo grupo de tres elementos es abeliano. Ejercicio. Sea S = {1, i, 1, i} con i 2 = 1 y la multiplicación usual. Comprobar que(s, )es un grupo. Luego, construya la tabla del grupo y verifique si es abeliano. 6. Aritmética Modular 6.1. Congruencias Si m es un entero positivo, decimos que dos números enteros a, b son congruentes módulo m si existe un k Z tal que a b = km, es decir a b es divisible entre m. Equivalentemente podemos decir que a y b son congruentes módulo m si al dividir cada uno entre m dejan el mismo residuo. Usaremos la notación a b (m) para indicar que a y b son congruentes módulo m. Si no lo son, diremos que son incongruentes módulo m y escribiremos a b (m). Ejemplos 28 3 (5) ya que 28 3 = 25 = (11) ya que = 121 = (5) ya que 28 4 = 24 no es un múltiplo de 5. El lenguaje de congruencias fue inventado por Karl F. Gauss y es usado constantemente en la vida diaria. Un reloj funciona con congruencias módulo 12, los cuentakilómetros de los coches lo hacen módulo 100,000 y los meses se representan módulo 12. La congruencia módulo m divide a Z en m clases de equivalencia que denotaremos como [0], [1], [2],..., [m 1]. Por ejemplo, en la clase de equivalencia [1] módulo m están todos los enteros que al ser divididos entre m dejan residuo 1. De igual manera se definen los elementos de las otras clases de equivalencia. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 10

11 6.2 Suma y Multiplicación Modular. Observación. Notar que al dividir un número entero entre m, el residuo se encuentra en el conjunto {0, 1, 2,..., m 1}. Ejemplo. Las clases de equivalencia en Z módulo 3 son [0], [1], [2]. Cada una de estas clases contiene los siguientes elementos: [0] = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} [1] = {..., 5, 2, 1, 4, 7,...} [2] = {..., 4, 1, 2, 5, 8,...} Y escribimos Z 3 = {[0], [1], [2]}. En general, Z m = {[0], [1], [2],..., [m 1]}. Ejemplo. Calcular a que clase de equivalencia pertenecen 53 y 101 en Z 13. *Al hacer obtenemos cociente 4 y residuo 1, así que 53 [1] en Z 13. *Al hacer obtenemos cociente 7 y residuo 10, así que 101 = ( 10) con un residuo negativo, pero también 101 = con un residuo positivo, así que 101 [ 10] = [3] en Z 13. Notar que 10 3 (13), por lo que [ 10] = [3] en Z 13. Además, dado a Z y m un entero positivo al hacer a m obtenemos un cociente(c) y un residuo(r), luego a = c m + r con 0 r m 1. Así que, a [r] en Z m. Que es lo mismo decir [a] = [r] en Z m Suma y Multiplicación Modular. Teorema 1. Si m es un entero positivo y [a], [b] Z m se pueden definir las operaciones de suma y multiplicación en Z m mediante [a] + [b] = [a + b] y [a] [b] = [a b]. 2. Ambas operaciones tienen las propiedades asociativa y conmutativa y se relacionan mediante la propiedad distributiva. La clase [0] es el elemento neutro para la suma y la clase [1] lo es para el producto. 3. Todo elemento [a] Z m tiene su opuesto respecto a la suma, a saber [m a], y si a es primo relativo con m, y [a] [0], entonces [a] tiene inverso multiplicativo y es único. Afirmación 1. De acuerdo con el teorema anterior, (Z m, +) es un grupo. Y si definimos, Z m = Z m {0}, entonces (Z m, ) es grupo sólo cuando m es primo. Ejemplo. Encontrar el opuesto de [7] en (Z 16, +), y el inverso de [8] en (Z 15, ). Según la parte 3 del teorema el opuesto de [7] es [16 7] = [9]. En efecto, [7] + [9] = [9] + [7] = [0] en Z 16. Y como 8 y 15 son primos relativos, ya que m.c.m. (8, 15) = 1, entonces [8] tiene inverso en (Z 15, ). En efecto, ya que [8] [2] = [2] [8] = [1] se tiene que [2] es la clase inversa del [8] en (Z 15, ) Sustracción Modular Sea m un entero positivo y [a], [b] Z m. Se define [a] [b] como la única [x] en Z m tal que [a] = [b] + [x]. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 11

12 6.4 División Modular Ejemplo. Calcular [3] [5] en Z 12. Por definición de resta, buscamos [x] tal que: [3] = [5]+[x] = [5 + x] = x = 10 ya que [5 + 10] = [15] = [3]. Por tanto, [3] [5] = [10] en Z División Modular Sea m un entero positivo y [a], [b] Z m, con [b] un elemento invertible en Z m. Se define [a] [b] = [a] [b] 1. Ejemplo. Calcular [2] [7] en Z 10. Por definición, [2] [7] = [2] [7] 1, entonces necesitamos calcular [7] 1 : Ya que [7] [3] = [3] [7] = [1] en Z 10 tenemos que [3] es la clase inversa de [7] en (Z 10, ). Así que, [2] [7] = [2] [7] 1 = [2] [3] = [2 3] = [6]. Por tanto, [2] [7] = [6] en Z 10. Ejercicio. Construir las tablas de (Z 3, +), (Z 3, ), (Z 4, +) y (Z 4, ). Verificar que son grupos abelianos (los que son grupos). Verificar por que (Z 4, ) no es grupo. Seguimos estudiando Estructuras Algebraicas que puedan describir sarisfactoriamente a R: 7. ANILLOS Y CAMPOS ANILLO Un conjunto A dotado de dos operaciones binarias cerradas que escribiremos + (suma) y (producto) se llama Anillo si se cumplen las siguientes propiedades: 1. (A, +) es un grupo abeliano. 2. El producto es asociativo. 3. Si se cumplen las propiedades distributivas, es decir a (b + c) = a b + a c y (b + c) a = b a + c a para cualesquiera a, b, c que pertenezcan a A. Observaciones: Como al producto no se le imponer ser conmutativo, es por ello que se especifican las dos propiedades distributivas. Si el producto es conmutativo, A se dice que es un Anillo Conmutativo. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 12

13 REFERENCIAS Si existe elemento identidad para el producto, diremos que A es un Anillo con Unidad. Este elemento lo simbolizaremos con 1 y es único. EJEMPLO A (Z, +, ) es un anillo conmutativo con unidad con las operaciones usuales de suma y multiplicación. (Z m, +, ) con las operaciones de suma y multiplicación módulo m es un anillo. (M n, +, ) con las operaciones de suma y multiplicación de matrices son anillos con unidad. El elemento identidad son las respectivas matrices identidad. Pero no son anillos conmutativos ya que el producto de matrices no tiene esta propiedad. El conjunto de los enteros pares, con las operaciones de suma y multiplicación es también un anillo; este anillo no tiene elemento unidad. EJEMPLO B También son anillos conmutativos con unidad (Q, +, ), (R, +, ) y (C, +, ); además (Q, ), (R, ) y (C, ) son grupos ( el indica que se ha extraído el elemento neutro de la suma). Es decir, el conjunto con la segunda operación puede también ser un grupo. Esto sugiere la siguiente definición: CAMPOS O CUERPOS Un Anillo Conmutativo con Unidad (A, +, ) se dice que es un Cuerpo o Campo si el conjunto A formado por todos los elementos de A excepto el neutro para la suma, es un grupo con respecto a la segunda operación. EJEMPLOS: (Q, +, ), (R, +, ) y (C, +, ) son Cuerpos o Campos. También lo es (Z m, +, ) siempre que m sea un número primo. Referencias [1] Álgebra Lineal, Cuadernos de Cátedra, Departamento de Ciencias Básicas, Universidad Don Bosco, Luis Alonso Arenivar (2012). [2] Números, Grupos y Anillos, Universidad Autónoma de Madrid, José Dorronsoro Eugenio Hernández (1996). Estructuras Algebraicas - Mayra Morales 13