Tema 4: Redes y flujos

Transcripción

1 Fundamentos de la teoría de grafos. 3º I.T.I. de Sistemas Mª Teresa Cáceres Sansaloni Tema 4: Redes flujos Redes. Flujos cortes. Teorema del flujo máimo corte mínimo. Algoritmo para calcular el máimo flujo determinar un corte mínimo en una red. Complejidad del algoritmo.

2 Ejemplos: Un partido de futbol de gran interés tendrá lugar en una isla canaria. Los aficionados del equipo visitante quieren ver el partido animar a su equipo. Ha varias rutas vuelos para llegar a la isla, el número máimo de plazas de las mismas es conocido. Cómo determinar el máimo número de aficionados que pueden ir las rutas que deben tomar? Un producto se fabrica en A se distribue a varios destinos para la venta D,D 2,,D n. Suponiendo demanda ilimitada, conocidas las rutas desde A a cada destino el máimo número de unidades del producto que pueden ser transportadas. Cuál es el máimo número de unidades que pueden servirse? Las redes son buenos modelos para sistemas de distribución de oleoductos, tuberias, tráfico, etc. En las conducciones ha estaciones de bombeo. Cuál es el máimo flujo de una estación a otra, dado que las tuberías tienen capacidad finita?. Cuál es el flujo máimo de vehículos por una carretera? 2

3 Redes Una red N es un digrafo D con dos vértices destacados s fuente, t sumidero, con una función capacidad c, asociada a los arcos, que toma valores enteros no negativos, o el valor D es el digrafo subacente de la red N Si a = u,v œ ED, entonces ca=cu,v es la capacidad de a s tiene grado de entrada d + s = 0 t tiene grado de salida d - s = 0 Para determinar el máimo número de personas que pueden volar de s hasta t usando distintas rutas aeropuertos. El modelo de red considera: Vértices: Fuente = origen s; Sumidero = destino t; los demás vértices son los aeropuertos intermedios. Arcos:, representa un vuelo directo de hasta c, = máimo número de asientos disponibles en un vuelo de a 3

4 Cuál es el máimo número de unidades que pueden servirse? Vértices: Fuente = A; Introducimos el sumidero = t; cada vértice D i es adacente a t. Arcos: D i, t con capacidad ilimitada para i n. a los otros arcos, se les asigna la capacidad igual al máimo número de unidades de producto que pueden transportarse directamente desde hasta en un día. 4

5 Sea N una red con digrafo asociado D, vértices fuente s sumidero t, sea c la función capacidad asociada a los arcos. Para e VD definimos los vecinos de : de salida N + = { e VD /, e ED } de entrada N - = { e VD /, e ED } Flujos cortes Un flujo f en N es una función entera f : ED ö Z + que verifica: Restricción de capacidad: el flujo nunca ecede a la capacidad 0 fa ca para todo a e ED Principio de conservación: N + f, = f, N V D { s, t} 5

6 6 Flujo neto de salida de un vértice es : +,, N N f f +,, N N f f Flujo neto de entrada de un vértice es : Flujo en un arco a =, es denotado por f a = f, puede ser interpretado como la cantidad de material o personas, coches, etc... transportado a lo largo del arco, El principio de conservación establece que si s t entonces su flujo neto de entrada su flujo neto de salida son ambos igual a 0

7 El valor f N del flujo en la red N, es el flujo neto de salida del vértice fuente s f N = N + s f s, N s f, s Ejemplo 3,3 3,2 z En cada arco figura capacidad, flujo fn =?3+2- s 5,3 4,2 4, u, 5,3 3, w v 4,4 3,2 6,2 t f,z = 2 c,z = 3 7

8 Definición: Sean D un digrafo, X e Y subconjuntos no vacíos de vértices. X,Y es el conjunto de todos los arcos dirigidos desde algún vértice de X a algún vértice de Y X,Y = {, e ED / e X, e Y} su flujo capacidad correspondientes son: f X, Y =, X, Y f, ; c X, Y =, X, Y c, donde f X, Y = c X, Y = 0 si X, Y = φ En el ejemplo anterior, si X = {,,u} e Y = {u,v,z,} X,Y = {,,,u,,z,u,v} 3,3 3,2 5,3, s 4,2 v u 5,3 3, 4, 4,4 z 3,2 6, 2 t w 8

9 9 Definición: Un corte en N es un subconjunto de arcos P, P en D, tal que s e P pero t P P = VD P cp, P es la capacidad del corte. fp, P es flujo desde P hasta P fp, P es flujo desde P hasta P En el ejemplo: Calcularlo para P = {s,, w} Teorema : Sea la red N, f un flujo en N. Si P, P es un corte de N, entonces el flujo en N es,,,,,,,, P P f P P f f f N f P P P P = =

10 Corolario : Sea N un red f un flujo en N, entonces f N min { c P, P} donde el mínimo se toma para todos los cortes en N Corolario 2: 2 Sea N un red f un flujo en N, entonces el valor del flujo en N es igual al flujo neto en el sumidero t. f N = f, t + N t N f t t, 0

11 Teorema del flujo máimo corte mínimo Un flujo f en una red N es un flujo máimo si f N f ' N para tod o flujo f ' en N Un corte P,P es un corte mínimo de N si c P, P c X, X para to do corte X, X en N Teorema Ford Fulkerson En cualquier red, el valor de un flujo máimo es igual a la capacidad de un corte mínimo.

12 Ejemplo: En la figura, el dato de cada arco es su capacidad f f 2 son flujos máimos s w 3 u 3 v 4 5 t arco a s,u s,v s,w u, u,v v, w, w,s f a f 2 a El valor del flujo f f 2 para N es 6 igual al flujo neto en t. f,t +f,t = + 5 Ningún flujo puede eceder a 6.,v,t,t Sea P={s,u,v,w,}, entonces cp, P = cu, + c,t= + 5 = 6 Por tanto, es un corte mínimo 2

13 Demostración del Teorema : Sea N un red f un flujo en N, por el Corolario f N min { c P, P} El valor del máimo flujo no puede eceder de la capacidad de un corte mínimo. Para demostrar la igualdad, la estrategia es comprobar que el valor de algún flujo máimo en N tiene al menos la capacidad de algún corte mínimo en N Vamos a considerar algunas definiciones procedimientos que se utilizan en la demostración del teorema para establecer posteriormente el algoritmo. Un u 0 u n semicamino en un digrafo D es una secuencia Q alternada finita de vértices arcos, Q : u 0, a, u, a 2, u 2,..., u n-, a n, u n de modo que no se repiten vértices a i = u i, u i- o a i = u i-, u i 3

14 3,3 3,2 z 5,3, 6,2 s 4,2 4, u 5,3 3, v 4,4 3,2 t w u,,u,,,z, z, z,t, t es un u t semicamino Sea f un flujo en la red N, con digrafo subacente D capacidad c, un semicamino u 0, a, u, a 2, u 2,..., u n-, a n, u n en D se dice que es f-insaturado si, para cada i, i n a a i = u i-, u i fa i < ca i, o b a i = u i, u i- fa i > 0 a Establece que se puede aumentar el flujo desde u i- hasta u i b Establece que se puede disminuir el flujo de retroceso desde u i hacia u i- 4

15 Si Q es un s-t semicamino f -insaturado, donde s t son los vértices fuente sumidero de N, entonces Q es llamado un f-semicamino aumentante s 5,3 4,2 4, 3,3 3,2 u, 5,3 3, w Q : s,s,u,,u,,,z,z,z,t,t es un f-semicamino aumentante v 4,4 z 3,2 6,2 t Condición a a = s,u fa < ca = ca -fa = 4-2 =2 a 3 =,z fa 3 < ca 3 3 = ca 3 -fa 3 = 3-2 = a 4 = z,t fa 4 < ca 4 4 = ca 4 -fa 4 = 6-2 =4 Condición b a 2 =,u fa 2 > 0 2 = fa 2 = = min { i, i 4 } = 5

16 Definición: n: Sean s t los vértices fuente sumidero de N. Si D contiene un f-semicamino aumentante, se define el flujo f * sobre el conjunto de arcos de D del siguiente modo: f * f a + si a = ui, ui para algun a = f a si a = ui, ui para algun f a si a E Q i, i, i n i n, Resulta 5,3 3,3 3,3,0 z 6,3 s 4,3 4, u 5,3 3, v 4,4 3,2 t w f * es un flujo para la red N que verifica f * N = f N + > f N 6

17 Teorema 2: Sea N una red con dígrafo subacente D. Un flujo f en N es un flujo máimo si solo si no ha ningún f-semicamino aumentante en D. Este resultado establecerá la regla de salida fin del algoritmo. 7

18 Algoritmo para calcular el máimo flujo determinar un corte mínimo en una red. Edmonds Proporciona un método sistemático para encontrar un f-semicamino aumentante en la red N, con flujo dado f. Teorema 3: Sea N una red con digrafo subacente D, fuente s, sumidero t, capacidad c flujo f. Sea D el digrafo con VD =VD conjunto de arcos ED = {, /, œed c,>f, o,œ ED f,>0} Entonces, D contiene un s-t camino dirigido si solo si D contiene un semicamino aumentante. Además, un s-t camino más corto en D tiene la misma longitud que un f-semicamino aumentante mas corto en D. 8

19 Sea N una red con digrafo subacente D, capacidad c flujo f. Si f no es un flujo máimo de N, entonces D tiene un f-semicamino aumentante. Q : s=u 0, a, u, a 2, u 2,..., u n-, a n, u n =t Sea a i = ca i - fa i si a i = u i-, u i fa i si a i = u i, u i- Sea = min { a i : i n} Incrementar el flujo f Ø f * f a + si a = u i-, u i para algún i, i n f * a = f a si a = u i, u i- para algún i, i n f a si a EQ 9

20 Algoritmo para determinar un flujo máimo un corte mínimo en una red N con dígrafo subacente D, fuente s, sumidero t, capacidad c flujo inicial f puede ser flujo cero. P.- Construir D con VD = VD ED = {, /, œed c,>f, o,œ ED f,>0 } P2.- Determina si D tiene un s-t camino por tanto si D tiene un f- semicamino aumentante Aplicar el algoritmo BFS de Moore a D para determinar un s-t camino más corto. Si D no contiene ningún s-t camino, entonces ir al paso P5 en otro caso, sea Q : s = u 0, u, u 2,..., u n = t un s-t camino más corto en D continuar. 20

21 P3.- Se realiza un incremento del flujo por el semicamino aumentante Sea Q : s=u 0, a, u, a 2, u 2,..., u n-, a n, u n =t donde a i œ ED tal que a i = u i-, u i fa i < ca i, o a i = u i, u i- fa i > 0 Para i=,2,,n ca i - fa i si a i = u i-, u i i = fa i si a i = u i, u i- = min { a i : i n} Para i=,2,,n, si a i = u i-, u i, entonces f a i f a i + si a i = u i, u i-, entonces f a i f a i - P4.- Ir al paso P 2

22 P5.- Devuelve un máimo flujo determina un mínimo corte para N Retorna fa para todos los arcos a de D. Retorna P conjunto de vértices de D con etiqueta finita obtenida en el paso P2 después de aplicar el algoritmo de moore a D P,P es un corte mínimo. Complejidad del algoritmo Opq 2 22

23 Ejemplo: Ha tres proveedores A,B,C de un determinado producto, un agente D que actúa de intermediario para los minoristas L M. El intermediario tiene limitado el número de pedidos que puede servir por día a 70. L consigue que el proveedor A le sirva directamente hasta un máimo de 30 unidades, M lo consigue del proveedor C, que le sirva directamente hasta un máimo de 20 unidades. Calcular el máimo número de pedidos que llegan a L M, si para el agente D, la oferta de A es de 40 unidades, la de C es de 80 la de B es de 30; si las demandas son, en L de 60 unidades en M de 50 unidades. Solución: Lo planteamos como un problema de flujo máimo con el siguiente digrafo B A C D L M 23

24 Como el agente intermediario tiene limitado el número de pedidos por día, para limitar el paso de pedidos debemos crear un arco de la forma D, D2 con capacidad máima 70. Para resolver el problema como flujo máimo, además debemos considerar los vértices ficticios S, T, los arcos S,A, S,B, S,C, L,T M,T con las capacidades correspondientes. S B A C D 2 7 D2 5 6 L M 5 6 T Al aplicar el algoritmo el resultado es : S 4,4 3,3 8, 4 B A C 4, 3, 3 D 8, 2 3, 3 7, D2 6 2, 2 L 6, 3 5, 3 M 6,6 5,5 T 24