NIVEL 17: ESTRUCTURAS NO LINEALES

Transcripción

1 1 NIVEL 17: ESTRUCTURAS NO LINEALES Grafos, definiciones y tipos de problemas

2 2 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

3 3 Qué son? Los grafos: Son estructuras de datos más generales que los árboles. Permiten modelar relaciones no necesariamente jerárquicas entre elementos de un conjunto. Se utilizan para representar mapas de rutas, organización de procesos, espacios de búsqueda para juegos, circuitos lógicos, etc.

4 4 Qué son? Ejemplos de grafos Vértices: elementos del conjunto Arcos: relaciones entre los elementos del conjunto

5 5 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

6 6 Formalismo abstracto de un grafo dirigido G = ( V, A ) V = { v 1,, v n } V: Conjunto de vértices A: Conjunto de arcos Un arco es una tripleta de la forma: ( v i, v k, c ik ) Establece: Una relación entre los vértices v i y v k de V Un sentido de la relación (v i v k ) Un valor o peso asociado (c ik ) Puede tener una información asociada

7 7 Formalismo abstracto de un grafo dirigido Gráficamente, un arco es: V i c ik V k A = { ( x, y, c ) x, y V, x y, x e y están relacionados con un valor c }

8 8 Formalismo abstracto de un grafo dirigido Ejemplo : Camión repartidor Un camión repartidor debe visitar diferentes puntos de la ciudad para dejar su producto. Ciudad = grafo Vértices = puntos de la ciudad Arcos = tiempo que toma ir de un punto a otro 3min 5min 9min 10min 7min 2min 5min 6min 12min 3min 1min

9 9 Conceptos Sucesor y Predecesor: Se dice que un vértice B es sucesor de un vértice A si existe un arco entre A y B talque A es el vértice origen y B el vértice destino. En éste mismo caso se dice que A es un predecesor de B. A c B

10 10 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

11 11 Conceptos Cada vértice V i del grafo tiene asociados dos valores: Identificador: lo distingue como elemento único de V. Información asociada con el elemento

12 12 Conceptos Restricción en un grafo dirigido: No puede haber más de un arco entre cualquier par de vértices en cada uno de los dos sentidos. c ik v i v k c ki c ik v i v k c ki

13 13 Conceptos Orden de un grafo: Número de elementos = Cardinalidad del conjunto de vértices. Grafo vacío: Grafo de orden cero. Fuente: Vértice que no tiene predecesores. Sumidero: Vértice que no tiene sucesores.

14 14 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

15 15 Ejemplo: Red de distribución de agua Modelar una red de distribución de agua entre N ciudades de una región. Cada ciudad tiene: Nombre Capacidad máxima de almacenamiento Estado actual Cada tubo tiene: Capacidad de transporte por minuto

16 16 Ejemplo: Red de distribución de agua Modelo del grafo V = { v 1,, v n v i es una ciudad} A = { ( x, y, c ) hay un tubo entre x e y, con capacidad de transporte por minuto c } v i = [idciudad i, infociudad i ] infociudad i = [nombre i, capacidad i, actual i ]

17 17 Ejemplo: Red de distribución de agua Representación Gráfica: El orden del grafo es 5 No hay fuentes ni sumideros Los sucesores de v 1 son v 2 y v 5 y su único predecesor es v 4. v5 5 ciudad v1 ciudad ciudad v v2 ciudad ciudad v3

18 18 Ejemplo: Red de distribución de agua Información asociada: G = ( V, A ) V = { v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } A = { (v 1, v 2, 50 ), (v 2, v 3, 5 ), (v 3, v 2, 5 ), (v 4, v 2, 10 ), (v 4, v 1, 10 ), (v 5, v 4, 3 ), (v 1, v 5, 5 ) } V 1 = [ idv1, infov1 ] infov1=[ ciudad1, , ] V 2 = [ idv2, infov2 ] infov2=[ ciudad3, 2.000, 2.000]

19 19 Ejemplo: Red de distribución de agua Información asociada: V 3 = [ idv3, infov3 ] infov3=[ ciudad4, 500, 200] V 4 = [ idv4, infov4 ] infov4=[ ciudad2, 5.000, 1.000] V 5 = [ idv5, infov5 ] infov5=[ ciudad5, 3.000, 2.000]

20 20 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

21 21 Caminos y Ciclos Camino entre un vértice v1 y un vértice v2: Secuencia de vértices <x1,, xn>, con las siguientes características: xi V, 1 <= i <= n x1 = v1, xn = v2 xi xi+1, 1 <= i <= n v1 = origen V2 = destino El camino pasa por los vértices x2,, xn-1

22 22 Caminos y Ciclos Longitud = n-1 Existe camino de longitud 0: parte de cualquier vértice y termina en él mismo. Existen caminos infinitos: repiten un ciclo indefinidamente

23 23 Caminos y Ciclos Camino simple: Todos los vértices por los cuales pasa son diferentes entre sí y diferentes del origen y del destino. Puede comenzar y terminar en el mismo vértice, pero NO puede pasar dos veces por un mismo vértice. c V Vértice con caminos < v, v > y < v >

24 24 Caminos y Ciclos Costo de un camino C: Suma de los valores asociados con los arcos que lo componen. Si los arcos tienen un valor asociado 1: Costo = Longitud Ciclo simple: Camino simple, de longitud mayor o igual a 1, que comienza y termina en el mismo vértice.

25 25 Caminos y Ciclos Ciclo: Camino de longitud diferente de 0, cuyo origen y destino son iguales Grafo acíclico: No contiene ciclos

26 26 Caminos y Ciclos Ejemplo de caminos: V6 5 4 V1 2 V5 6 3 V2 7 4 V4 2 7 V3 1 Camino Costo Longitud Caminos no simples Caminos simples Ciclos simples Ciclos no simples Camino más corto de v1 a v3 Camino más barato de v1 a v3 Camino simple más largo

27 27 Caminos y Ciclos Conceptos: Camino hamiltoniano: Camino que pasa exactamente una vez por cada uno de los vértices de un grafo. No siempre existe. No siempre es único. Ciclo hamiltoniano: Ciclo que pasa exactamente una vez por cada uno de los vértices de un grafo.

28 28 Caminos y Ciclos Conceptos: Camino de euler: Camino que pasa exactamente una vez por cada uno de los arcos de un grafo. Ciclo de euler: Ciclo que pasa exactamente una vez por cada uno de los arcos de un grafo.

29 29 Caminos y Ciclos Ejemplo de camino Hamiltoniano: < v5, v3, v1, v2, v4> v1 v2 v3 v4 v5

30 30 Caminos y Ciclos Ejemplo de ciclo Hamiltoniano: < v1, v2, v5, v4, v3, v1 > v1 v2 v3 v4 v5

31 31 Caminos y Ciclos Ejemplo de camino de Euler: < v5, v3, v2, v5, v4, v3, v1, v2, v4 > v1 v2 v3 v4 v5

32 32 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

33 33 Cadenas Conceptos: Vértices adyacentes: Existe en el grafo por lo menos un arco entre los dos, sin importar el sentido. Cadena: Secuencia < x1,, xn > de vértices de V, tal que cualesquiera dos vértices consecutivos son adyacentes.

34 34 Cadenas Ejemplo de cadena: < v1, v2, v3, v4, v5 > v1 v2 v3 v4 v5

35 35 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

36 36 Tipos de grafos Grafo completo: Dos vértices diferentes cualesquiera del conjunto V son adyacentes. v1 v2 v3 v4 v5

37 37 Tipos de grafos Grafo conexo: Para cualquier par de vértices v, w del conjunto V, existe una cadena que los une. Grafo fuertemente conexo: Para cualquier par de vértices v, w del conjunto V, existe una camino que vaya de v a w.

38 38 Tipos de grafos Ejemplos v1 v1 v2 v3 v2 v3 v4 v5 v4 v5 Grafo NO conexo Grafo fuertemente conexo

39 39 Tipos de grafos Grafo planar: Es posible dibujarlo en un plano sin que se crucen los arcos. Problema típico: 3 casas y 3 servicios. Se trata de establecer si es posible llevar las tuberías de agua, gas y electricidad, sobre un mismo plano, a 3 casas vecinas. El problema se reduce a determinar si el grafo que representa la solución es planar. Vértices: casas y servicios. Arcos: tuberías.

40 40 Tipos de grafos Ejemplo: GAS AGUA ELECTRICIDAD Se pueden dibujar sin cruces 8 de los arcos, pero está demostrado que es imposible poner los 9

41 41 Tipos de grafos Grafos isomorfos: Tienen la misma estructura, aunque tengan diferentes contenidos y/o identificadores de los vértices. v1 v2 v2 v3 v3 v1 v4 v4

42 42 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

43 43 Del análisis al diseño Diagrama de clases del análisis

44 44 Del análisis al diseño Operaciones críticas: Retornar un vértice dado su id. Retornar un arco dados los ids de los dos vértices. Retornar los arcos que llevan a los sucesores de un vértice, dado su id. Retornar los arcos que llevan a los predecesores de un vértice, dado su id.

45 45 Del análisis al diseño Operaciones críticas: Agregar un vértice al grafo, dado un id y la información relacionada con el vértice. Eliminar un vértice del grafo, dado su id. Agregar arco, dados los ids de los vértices y la información relacionada con el arco. Eliminar arco, dado los ids de los vértices. Dar el orden del grafo.

46 46 Del análisis al diseño Identificación de la genericidad K

47 47 Del análisis al diseño Identificación de la genericidad

48 48 Del análisis al diseño Identificación de la genericidad

49 49 Del análisis al diseño Identificación de la genericidad

50 50 Del análisis al diseño Cálculo de complejidades: Retornar un vértice dado su id. Retornar un arco dados los ids de los dos vértices. Retornar los arcos que llevan a los sucesores de un vértice, dado su id. Retornar los arcos que llevan a los predecesores de un vértice, dado su id.

51 51 Del análisis al diseño Cálculo de complejidades: Agregar un vértice al grafo, dado un id y la información relacionada con el vértice. Eliminar un vértice del grafo, dado su id. Agregar arco, dados los ids de los vértices y la información relacionada con el arco. Eliminar arco, dado los ids de los vértices. Dar el orden del grafo.

52 52 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

53 53 Trabajo sobre un caso Enunciado del problema: Se desea realizar una aplicación para el calcular los movimientos de las tropas de soldados de un ejército. El ejército tiene divididas las tropas en diferentes ciudades estratégicas, y en caso de guerra o problema interno, es necesario transportar las tropas hacia una ciudad específica, en un número de días dados. Para poder realizar esto, es necesario tener en cuenta que las ciudades tienen una capacidad máxima de soldados que no puede ser sobrepasada, y que los medios de conexión entre ciudades son únicamente vías férreas dirigidas (solo hacia una dirección), con una capacidad máxima de pasajeros diarios. Se puede asumir que la ciudad destino de todo el movimiento tiene capacidad infinita. La aplicación debe recibir por medio de un archivo XML (especificado en la sección Archivo XML de éste documento), la información de las ciudades con sus capacidades y cantidad de soldados inicial y las vías férreas entre las ciudades con su capacidad diaria de transporte, y luego debe preguntar al usuario la ciudad destino y los días que se tienen para llevar las tropas. Al finalizar los cálculos, la aplicación debe mostrar en pantalla el resultado del movimiento de las tropas, informando en datos consolidados la cantidad de soldados que se pudo llevar a la ciudad, y un resumen detallado con el estado de cada una de las ciudades para cada día de la simulación.

54 54 Trabajo sobre un caso Clases empleadas en la solución

55 55 Agenda Qué son? Formalismo abstracto de los grafos dirigido Conceptos Ejemplo: Red de distribución de agua Caminos y Ciclos Cadenas Tipos de grafos Del análisis al diseño Trabajo sobre un caso Implementación en Cupi2Collections

56 56 Clase Grafo Llave de tipo K Valor de tipo Vertice

57 57 Clase Vértice La información del vértice es un objeto de tipo V

58 58 Clase Vértice Los predecesores son un ArrayList de objetos de tipo Arco

59 59 Clase Vértice Los sucesores son un ArrayList de objetos de tipo Arco

60 60 Clase Vértice Se declara un atributo para verificar si el vértice está marcado

61 61 Clase Vértice Métodos empleados: public K darid( ) public V darinfovertice( ) public ArrayList<Arco<K, V, A>> darsucesores( ) public ArrayList<Arco<K, V, A>> darpredecesores( ) public Arco<K, V, A> dararco( K iddestino ) Clase Vértice - Métodos public void eliminararco( K iddestino ) private void eliminararcopredecesor( Arco<K, V, A> arco ) public void agregararco( Arco<K, V, A> arco ) private void agregararcopredecesor( Arco<K, V, A> arco ) public void eliminararcos( ) public boolean essucesor( K iddestino ) public int darnumerosucesores( ) public int darnumeropredecesores( )

62 62 Clase Arco El vértice origen es de tipo Vertice

63 63 Clase Arco El vértice destino es de tipo Vertice

64 64 Clase Arco La información del arco es de tipo A

65 65 Clase Arco Métodos empleados: public A darinfoarco( ) public Vertice<K, V, A> darverticedestino( ) public Vertice<K, V, A> darverticeorigen( ) public int darpeso( )