Camiones, encomiendas, y teoría de grafos

Transcripción

1 Flavia Bonomo Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires Semana de la Matemática 2010

2 Qué es un grafo? Un grafo está formado por un conjunto de vértices y un conjunto de aristas que unen pares de vértices. Es un objeto matemático abstracto pero se usa para modelar problemas reales.

3 Grafos en la vida real Red de subtes

4 Grafos en la vida real Rutas entre ciudades

5 Grafos en la vida real Moléculas

6 Grafos en la vida real Draw de un torneo de tenis (los grafos de este tipo se llaman árboles)

7 Grafos en la vida real Relaciones sociales o redes tipo facebook

8 Pintando mapas Todos alguna vez pintamos un mapa. La regla es que provincias que limitan en más de un punto tienen que tener colores distintos.

9 Pintando mapas

10 Pintando mapas Si ponemos un vértice por cada provincia y unimos dos vértices si la respectivas provincias limitan, nos queda definido un grafo. Vamos a decir entonces que un coloreo de un grafo es una asignación de colores a los vértices de manera tal que vértices adyacentes reciban colores distintos.

11 Pintando mapas

12 Pintando mapas El grafo que queda no es cualquier grafo. Se puede dibujar sin que las aristas se crucen (salvo en los vértices). Ese tipo de grafos se llaman planares. Algunos grafos que no son planares son estos: Una cosa que podemos preguntarnos es, Cuántos colores necesitamos para pintar un mapa?

13 Pintando mapas

14 El Teorema de los 4 colores Teorema Todo mapa puede ser coloreado sin que dos regiones limtrofes tengan el mismo color, y usando 4 o menos colores. Teorema Todo grafo planar puede ser coloreado usando 4 o menos colores.

15 Cómo se trabaja en matemática aplicada?

16 Cómo se trabaja en matemática aplicada?

17 Cómo se trabaja en matemática aplicada?

18 Cómo se trabaja en matemática aplicada?

19 Cómo se trabaja en matemática aplicada?

20 Cómo se trabaja en matemática aplicada?

21 Otra clase de grafos particular: grafos de permutación Tenemos dos rectas paralelas, sobre una de ellas los números de 1 a n y en la otra una permutación de ellos. Unimos cada par de números iguales con un segmento. El grafo de permutación correspondiente tiene n vértices numerados de 1 a n, y dos vértices i y j son adyacentes si los segmentos correspondientes se cruzan.

22 El problema de las encomiendas Tenemos un cambio n que tiene que buscar encomiendas en una ciudad en un cierto orden prefijado y entregarlas en otra ciudad en otro orden prefijado tambie n. Flavia Bonomo Semana de la Matema tica 2010, FCEyN, UBA Camiones, encomiendas, y teorı a de grafos

23 El problema de las encomiendas k stacks (típicamente k = 3) máximo t cajas por stack (típicamente t = 11) no se pueden reacomodar las cajas durante la entrega en qué stack debo poner cada caja?

24 El problema de las encomiendas Restricción: Si dos cajas se retiran en el mismo orden en que se reparten, no pueden ir en el mismo stack.

25 Modelo matemático: coloreo de grafos! Dos vértices son adyacentes si sus correspondientes cajas se retiran en el mismo orden en que se reparten.

26 Modelo matemático: coloreo de grafos! Dos vértices son adyacentes si sus correspondientes cajas se retiran en el mismo orden en que se reparten. Cada stack es un color. Tenemos k colores disponibles...

27 Modelo matemático: coloreo de grafos! Dos vértices son adyacentes si sus correspondientes cajas se retiran en el mismo orden en que se reparten. Cada stack es un color. Tenemos k colores disponibles...

28 Modelo matemático: coloreo de grafos! Dos vértices son adyacentes si sus correspondientes cajas se retiran en el mismo orden en que se reparten. Cada stack es un color. Tenemos k colores disponibles...

29 Modelo matemático El grafo que se genera, es un grafo cualquiera?

30 Modelo matemático El grafo que se genera, es un grafo cualquiera?

31 Modelo matemático El grafo que se genera, es un grafo cualquiera? Por suerte, sabemos resolver coloreo de grafos de permutación! (gracias a M. Golumbic)

32 Modelo matemático y las capacidades?

33 Modelo matemático y las capacidades? Hay que introducir la variante de coloreo capacitado, donde hay una cantidad máxima de vértices de cada color.

34 Modelo matemático y las capacidades? Hay que introducir la variante de coloreo capacitado, donde hay una cantidad máxima de vértices de cada color. Resultó que ya estaba estudiado porque surge de otros problemas aplicados también.

35 Modelo matemático y las capacidades? Hay que introducir la variante de coloreo capacitado, donde hay una cantidad máxima de vértices de cada color. Resultó que ya estaba estudiado porque surge de otros problemas aplicados también. Se sabía que si la capacidad es chiquita pero la cantidad de colores puede ser arbitrariamente grande, el problema es difícil aún en grafos de permutación.

36 Modelo matemático y las capacidades? Hay que introducir la variante de coloreo capacitado, donde hay una cantidad máxima de vértices de cada color. Resultó que ya estaba estudiado porque surge de otros problemas aplicados también. Se sabía que si la capacidad es chiquita pero la cantidad de colores puede ser arbitrariamente grande, el problema es difícil aún en grafos de permutación. Junto con un grupo de colegas italianos (S. Mattia y G. Oriolo), encontramos un algoritmo eficiente para coloreo capacitado en grafos de permutación para cuando la cantidad de colores es chiquita pero la capacidad puede ser arbitrariamente grande. Y el problema de las encomiendas cuadra en ese caso.