Variantes del problema de coloreo de grafos

Transcripción

1 Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 4 de diciembre de 005

2 Qué es un grafo? Un grafo está formado por un conjunto de vértices y un conjunto de aristas que unen pares de vértices. Es un objeto matemático abstracto pero se usa para modelar problemas reales.

3 Grafos en la vida real Red de subtes

4 Grafos en la vida real Rutas entre ciudades

5 Grafos en la vida real Moléculas

6 Grafos en la vida real Draw de un torneo de tenis

7 Grafos en la vida real Relaciones sociales

8 Definiciones Pintar mapas

9 Definiciones Pintar mapas

10 Definiciones Pintar mapas

11 Definiciones Teorema Todo mapa puede ser coloreado sin que dos regiones limítrofes tengan el mismo color, y usando 4 o menos colores. 85: De Morgan le plantea por carta (no existía el !) un problema a Hamilton, que habían planteado dos de sus alumnos, los hermanos F & F Guthrie. Entre 879 y 976 se presentaron varias demostraciones que resultaron tener falacias lógicas. 976: demostración computacional de Appel, Haken y Koch. 997: nueva prueba computacional pero mucho más sencilla (Robertson, Sanders, Seymour y Thomas).

12 Definiciones Teorema Todo mapa puede ser coloreado sin que dos regiones limítrofes tengan el mismo color, y usando 4 o menos colores. 85: De Morgan le plantea por carta (no existía el !) un problema a Hamilton, que habían planteado dos de sus alumnos, los hermanos F & F Guthrie. Entre 879 y 976 se presentaron varias demostraciones que resultaron tener falacias lógicas. 976: demostración computacional de Appel, Haken y Koch. 997: nueva prueba computacional pero mucho más sencilla (Robertson, Sanders, Seymour y Thomas).

13 Definiciones Teorema Todo mapa puede ser coloreado sin que dos regiones limítrofes tengan el mismo color, y usando 4 o menos colores. 85: De Morgan le plantea por carta (no existía el !) un problema a Hamilton, que habían planteado dos de sus alumnos, los hermanos F & F Guthrie. Entre 879 y 976 se presentaron varias demostraciones que resultaron tener falacias lógicas. 976: demostración computacional de Appel, Haken y Koch. 997: nueva prueba computacional pero mucho más sencilla (Robertson, Sanders, Seymour y Thomas).

14 Definiciones Teorema Todo mapa puede ser coloreado sin que dos regiones limítrofes tengan el mismo color, y usando 4 o menos colores. 85: De Morgan le plantea por carta (no existía el !) un problema a Hamilton, que habían planteado dos de sus alumnos, los hermanos F & F Guthrie. Entre 879 y 976 se presentaron varias demostraciones que resultaron tener falacias lógicas. 976: demostración computacional de Appel, Haken y Koch. 997: nueva prueba computacional pero mucho más sencilla (Robertson, Sanders, Seymour y Thomas).

15 Definiciones Coloreo de grafos Colorear un grafo consiste en asignar un color (usualmente un número) a cada vértice de manera tal que vértices distintos reciban colores distintos. Formalmente, un coloreo de un grafo G = (V, E) es una función f : V N tal que f (v) f (w) si v es adyacente a w.

16 Definiciones k-coloreo Dado un grafo G = (V, E), un k-coloreo de G es un coloreo f para el cual f (v) k para todo v V (sólo hay k colores disponibles). Un grafo G es k-coloreable si existe un k-coloreo de G. k= k=

17 Definiciones List-coloreo Dado un grafo G = (V, E) y una lista finita L(v) N de colores para cada vértice v V, G es list-coloreable si existe un coloreo f para el cual f (v) L(v) para cada v V (Vizing, 976).,,,,,,,,,,

18 Definiciones µ-coloreo Dado un grafo G = (V, E) y una función µ : V N, un µ-coloreo de G es un coloreo f para el cual f (v) µ(v) para cada vértice v V. Un grafo G es µ-coloreable si existe un µ-coloreo de G.

19 Definiciones Estamos organizando un congreso de matemáticos, y cualquier hotel de la ciudad tiene capacidad para alojar a todos los matemáticos, pero hay algunos que están peleados a tal punto que no pueden alojarse en el mismo hotel.

20 Definiciones Si hay k hoteles en la ciudad, una distribución válida es equivalente a un k-coloreo válido del grafo de enemistades, donde cada color representa un hotel. k=cant. hoteles

21 Definiciones Si además de peleadores son muy caprichosos, y cada uno tiene una lista de hoteles preferidos, una distribución válida es equivalente a un list-coloreo válido en el grafo de enemistades, donde cada color representa un hotel.,4,5,,,5,,5,4

22 Definiciones Si no son taaan caprichosos, pero cada uno tiene una pretensión mínima de cantidad de estrellas, una distribución válida es equivalente a un µ-coloreo válido en el grafo de enemistades, donde cada color representa un hotel, ordenados por categoría, y el µ es el máximo de los hoteles dentro de la categoría pretendida. 5, 4,5 5

23 Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Relación entre k-coloreo, list-coloreo, µ-coloreo El problema de µ-coloreo es un problema intermedio entre k-coloreo y list-coloreo. Una reducción trivial de k-coloreo a µ-coloreo se obtiene definiendo µ(v) = k para todo v. Una reducción de µ-coloreo a list-coloreo se obtiene definiendo L(v) = {,..., min{µ(v), V (G) }}. k=

24 Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Relación entre k-coloreo, list-coloreo, µ-coloreo El problema de µ-coloreo es un problema intermedio entre k-coloreo y list-coloreo. Una reducción trivial de k-coloreo a µ-coloreo se obtiene definiendo µ(v) = k para todo v. Una reducción de µ-coloreo a list-coloreo se obtiene definiendo L(v) = {,..., min{µ(v), V (G) }}.,,,,,,, k=,,

25 Algoritmo para -coloreo Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Un algoritmo para decidir si un grafo es -coloreable o no, usando una pila, es el siguiente: Mientras queden vértices sin pintar: Tomar un vértice sin pintar del grafo, pintarlo de y ponerlo en la pila. Repetir el siguiente procedimiento, mientras la pila no quede vacía: Sacar un vértice v de la pila. Para cada vecino, si está pintado del mismo color que v, devolver no se puede. Si está pintado del color contrario que v, nada. Si no está pintado, pintarlo del color contrario que v y ponerlo en la pila. no se puede

26 Algoritmo para -coloreo Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Cuántos pasos realiza el algoritmo? A cada vértice lo mira una vez cuando lo pinta y apila, una vez cuando lo desapila, y una vez por cada vecino suyo. Si hay n vértices, cada vértice tiene a lo sumo n vecinos, y el algoritmo realiza a lo sumo n pasos. Se die que el algoritmo es O(n ), y cuadrático en el tamaño de la entrada. Un grafo -coloreable se llama bipartito.

27 Algoritmo para -coloreo Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Cuántos pasos realiza el algoritmo? A cada vértice lo mira una vez cuando lo pinta y apila, una vez cuando lo desapila, y una vez por cada vecino suyo. Si hay n vértices, cada vértice tiene a lo sumo n vecinos, y el algoritmo realiza a lo sumo n pasos. Se die que el algoritmo es O(n ), y cuadrático en el tamaño de la entrada. Un grafo -coloreable se llama bipartito.

28 Algoritmo para -coloreo Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Cuántos pasos realiza el algoritmo? A cada vértice lo mira una vez cuando lo pinta y apila, una vez cuando lo desapila, y una vez por cada vecino suyo. Si hay n vértices, cada vértice tiene a lo sumo n vecinos, y el algoritmo realiza a lo sumo n pasos. Se die que el algoritmo es O(n ), y cuadrático en el tamaño de la entrada. Un grafo -coloreable se llama bipartito.

29 Algoritmo para -coloreo Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Cuántos pasos realiza el algoritmo? A cada vértice lo mira una vez cuando lo pinta y apila, una vez cuando lo desapila, y una vez por cada vecino suyo. Si hay n vértices, cada vértice tiene a lo sumo n vecinos, y el algoritmo realiza a lo sumo n pasos. Se die que el algoritmo es O(n ), y cuadrático en el tamaño de la entrada. Un grafo -coloreable se llama bipartito.

30 Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Algoritmo goloso para k-coloreo o µ-coloreo El algoritmo goloso de coloreo consiste en ordenar de alguna forma los vértices y para cada vértice v, colorearlo del menor color disponible (que no haya sido usado ya para alguno de sus vecinos). Si ese color es mayor que k o que µ(v), devolver no se puede.

31 Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Algoritmo goloso para k-coloreo o µ-coloreo No siempre resuelve el problema. Puede llegar a no conseguir un k-coloreo, y sin embargo éste existe. Ejemplo: Sin embargo, para cografos (grafos sin un camino de 4 vértices inducido), funciona tanto para k-coloreo como para µ-coloreo, ordenando los vértices en forma creciente respecto de µ. Pero para grafos en general, no se conoce un algoritmo eficiente para k-coloreo.

32 Clases de complejidad Algoritmos para coloreo Clases de complejidad P: problemas de decisión que se pueden resolver en tiempo acotado por un polinomio en el tamaño de la entrada. Ejemplo: -coloreo, µ-coloreo de cografos. NP: problemas de decisión tales que toda instancia de respuesta SI, tiene un certificado verificable en tiempo polinomial. Ejemplo: k-coloreo, µ-coloreo o list-coloreo de grafos. Me dan un coloreo y puedo chequear facilmente si es válido. NP-completos: problemas en NP tales que todo problema en NP se puede reducir polinomialmente a ellos. Ejemplo: -coloreo, µ-coloreo de grafos bipartitos, list-coloreo de cografos y de grafos bipartitos.

33 Clases de complejidad Algoritmos para coloreo Clases de complejidad P: problemas de decisión que se pueden resolver en tiempo acotado por un polinomio en el tamaño de la entrada. Ejemplo: -coloreo, µ-coloreo de cografos. NP: problemas de decisión tales que toda instancia de respuesta SI, tiene un certificado verificable en tiempo polinomial. Ejemplo: k-coloreo, µ-coloreo o list-coloreo de grafos. Me dan un coloreo y puedo chequear facilmente si es válido. NP-completos: problemas en NP tales que todo problema en NP se puede reducir polinomialmente a ellos. Ejemplo: -coloreo, µ-coloreo de grafos bipartitos, list-coloreo de cografos y de grafos bipartitos.

34 Clases de complejidad Algoritmos para coloreo Clases de complejidad P: problemas de decisión que se pueden resolver en tiempo acotado por un polinomio en el tamaño de la entrada. Ejemplo: -coloreo, µ-coloreo de cografos. NP: problemas de decisión tales que toda instancia de respuesta SI, tiene un certificado verificable en tiempo polinomial. Ejemplo: k-coloreo, µ-coloreo o list-coloreo de grafos. Me dan un coloreo y puedo chequear facilmente si es válido. NP-completos: problemas en NP tales que todo problema en NP se puede reducir polinomialmente a ellos. Ejemplo: -coloreo, µ-coloreo de grafos bipartitos, list-coloreo de cografos y de grafos bipartitos.

35 P NP? La pregunta del millón... Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Si existe un problema en NP-c P, entonces P=NP. No se conoce ninguno, así como tampoco se conoce un problema en NP \ P. NP-c NP NP-c NP P P si P=NP... si P=NP...

36 Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Complejidades Problema Grafos Cografos Grafos Grafos completos Cografos bipartitos en general k-coloreo P P [] P NP-c [] µ-coloreo P P [5] NP-c [5] NP-c list-coloreo P NP-c [4] NP-c [] NP-c [] Karp, 976. [] Chvátal, 984. [] Hujter y Tuza, 99. [4] Jansen y Scheffler, 997. [5] B. y Cecowski, 005.

37 Algoritmos para coloreo Clases de complejidad Cómo se prueba que un problema es NP-completo? Queremos probar que µ-coloreo es NP-completo para grafos bipartitos. Ya estaba demostrado que list-coloreo es NP-completo para grafos bipartitos. Entonces buscamos una reducción polinomial de ese problema al nuestro.,,,,,