Teorema Isoperimétrico
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- Lorenzo García Santos
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1 Teorema Isoperimétrico Geometría plana Efraín Soto Apolinar aprendematematicas.org.mx 23 de Diciembre de 2009 Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
2 Teorema Isoperimétrico Teorema 1 (Teorema Isoperimétrico) De todos los triángulos que se pueden dibujar con un área fija, el equilátero es el que tiene el menor perímetro. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
3 Demostración Empezamos dibujando un triángulo con área fija. Para eso consideramos un segmento AB fijo que servirá de base para el triángulo de área fija y una recta l paralela al segmento AB: l A B Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
4 Ahora vamos a ubicar el tercer vértice del triángulo en un punto sobre la recta l: C 1 l A B Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
5 Ahora vamos a ubicar el tercer vértice del triángulo en un punto sobre la recta l: C 1 l A B Este vértice puede moverse a lo largo de la recta l y el área del triángulo permanece fija, pues su base y su altura son constantes. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
6 Nosotros queremos encontrar el punto sobre la recta l donde debemos ubicar el tercer vértice del triángulo para que el perímetro de este triángulo sea mínimo. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
7 Nosotros queremos encontrar el punto sobre la recta l donde debemos ubicar el tercer vértice del triángulo para que el perímetro de este triángulo sea mínimo. C 2 C 1 l A B Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
8 Nosotros queremos encontrar el punto sobre la recta l donde debemos ubicar el tercer vértice del triángulo para que el perímetro de este triángulo sea mínimo. C 2 C 1 l A B Dónde crees que debe estar ese punto? Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
9 Exacto, Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
10 Exacto, el punto de intersección de la mediatriz del segmento AB y la recta l: C l A B Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
11 Exacto, el punto de intersección de la mediatriz del segmento AB y la recta l: C l A B Hasta aquí hemos visto que de todos los triángulos con una base fija y un área dada, el isósceles es el que tiene el mínimo perímetro. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
12 Ahora vamos a tomar otro lado como base y vamos a hacer lo mismo: trazamos su mediatriz y la intersectamos con la recta que pase por el vértice opuesto y que sea paralela al lado considerado: Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
13 Ahora vamos a tomar otro lado como base y vamos a hacer lo mismo: trazamos su mediatriz y la intersectamos con la recta que pase por el vértice opuesto y que sea paralela al lado considerado: C A B Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
14 Ahora vamos a tomar el siguiente lado como base y hacemos de nuevo lo mismo: trazamos su mediatriz y la intersectamos con la recta que pase por el vértice opuesto y que sea paralela al lado considerado: Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
15 Ahora vamos a tomar el siguiente lado como base y hacemos de nuevo lo mismo: trazamos su mediatriz y la intersectamos con la recta que pase por el vértice opuesto y que sea paralela al lado considerado: C A B Ad infinitum... Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
16 Sabes a dónde vamos a ir a parar realizando este procedimiento un número infinito de veces? Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
17 Sabes a dónde vamos a ir a parar realizando este procedimiento un número infinito de veces? Correcto! Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
18 Sabes a dónde vamos a ir a parar realizando este procedimiento un número infinito de veces? Correcto! Obtenemos un triángulo equilátero: Pues el triángulo equilátero es isósceles respecto de todos sus lados. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
19 Siguiente Teorema Isoperimétrico Ahora consideramos un cuadrilátero. Teorema 2 (Teorema Isoperimétrico) De todos los cuadriláteros que se pueden dibujar con un área fija, el cuadrado es el que tiene el menor perímetro. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
20 De nuevo, empezamos considerando un cuadrilátero cualquiera: Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
21 De nuevo, empezamos considerando un cuadrilátero cualquiera: A este cuadrilátero podemos trazarle una de sus diagonales, y aplicar el procedimiento del triángulo dos veces una para cada triángulo formado con los lados del cuadrilátero, cada vez que obtengamos uno nuevo. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
22 Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la intersección de la mediatriz con cada una de las paralelas. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
23 Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la intersección de la mediatriz con cada una de las paralelas. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
24 Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la intersección de la mediatriz con cada una de las paralelas. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
25 Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la intersección de la mediatriz con cada una de las paralelas. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
26 Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la intersección de la mediatriz con cada una de las paralelas. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
27 Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la intersección de la mediatriz con cada una de las paralelas. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
28 Trazamos dos paralelas a la diagonal y encontramos la intersección de la mediatriz con cada una de las paralelas. Estos puntos nos ayudan a encontrar un cuadrilátero con la misma área, pero con un perímetro menor. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
29 Si continuamos con el mismo procedimiento un número infinito de veces, qué figura vamos a obtener? Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
30 Si continuamos con el mismo procedimiento un número infinito de veces, qué figura vamos a obtener? Correcto!, Vamos a obtener un cuadrilátero que es isósceles respecto de ambas diagonales, es decir, vamos a obtener un cuadrado. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
31 Teorema Isoperimétrico Teorema 3 (Caso general) En general, de todos los poĺıgonos de n lados con un área fija, el de mínimo perímetro es el poĺıgono regular. Otra manera de establecer el mismo resultado es: Teorema 4 (Segunda versión) En general, de todos los poĺıgonos de n lados con un perímetro fijo, el de máxima área es el poĺıgono regular. Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
32 Final Quién NO tiene preguntas? Efraín Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx) Teorema Isoperimétrico 23 de Diciembre de / 15
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