POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
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- Natalia Poblete Sosa
- hace 7 años
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1 IUJO TÉNIO II. 2º HILLERTO POLÍGONOS. EQUIVLENIS 1 2 a 5 a/2 L4 M 4 b 3 a/2
2 OS POLÍGONOS SON EQUIVLENTES UNO MNTIENEN L MISM ÁRE
3 TRIÁNGULOS EQUIVLENTES ENTRE SÍ altura (h) base El área de un cuadrilátero es base x altura
4 h TRIÁNGULOS EQUIVLENTES ENTRE SÍ Todos los triángulos que tienen la base común y el tercer vértice sobre una recta paralela a esa base son equivalentes, ya que tienen la misma base y la misma altura, y por tanto, la misma área.
5 EQUIVLENI ENTRE TRIÁNGULO Y RETÁNGULO altura (h) altura (h) E base base El área de un cuadrilátero es base x altura, mientras que la del triángulo es base x altura / 2.
6 EQUIVLENI ENTRE TRIÁNGULO Y RETÁNGULO Si tomamos una de las bases del triángulo y hallamos la mediatriz de su altura M
7 EQUIVLENI ENTRE TRIÁNGULO Y RETÁNGULO Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo E M
8 EQUIVLENI ENTRE TRIÁNGULO Y RETÁNGULO Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo E
9 EQUIVLENI ENTRE TRIÁNGULO Y RETÁNGULO Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo E M
10 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN RETÁNGULO O
11 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN RETÁNGULO O b a/2
12 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN RETÁNGULO O b M EITRIZ a/2
13 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN RETÁNGULO O L4 b M EITRIZ a/2
14 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN RETÁNGULO O L4 b M EITRIZ a/2
15 ONSTRUIÓN E UN TRIÁNGULO EQUIVLENTE UN POLÍGONO O E F
16 ONSTRUIÓN E UN TRIÁNGULO EQUIVLENTE UN POLÍGONO O E F
17 ONSTRUIÓN E UN TRIÁNGULO EQUIVLENTE UN POLÍGONO O E
18 ONSTRUIÓN E UN TRIÁNGULO EQUIVLENTE UN POLÍGONO O E
19 ONSTRUIÓN E UN TRIÁNGULO EQUIVLENTE UN POLÍGONO O
20 ONSTRUIÓN E UN TRIÁNGULO EQUIVLENTE UN POLÍGONO O
21 ONSTRUIÓN E UN TRIÁNGULO EQUIVLENTE UN POLÍGONO O
22 ONSTRUIÓN E UN TRIÁNGULO EQUIVLENTE UN POLÍGONO O
23 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN PENTÁGONO REGULR
24 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN PENTÁGONO REGULR Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M- mediante las paralelas 5-M y 2- a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono
25 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN PENTÁGONO REGULR Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M- mediante las paralelas 5-M y 2- a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono
26 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN PENTÁGONO REGULR Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M- mediante las paralelas 5-M y 2- a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono M 4 3
27 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN PENTÁGONO REGULR Teniendo el triángulo, a partir del mismo se obtiene el cuadrado equivalente: L2 = b a/2 1 2 asta construir la MEI PROPORIONL entre la base (b) y la mitad de la altura del triángulo (a/2) a/2 a 5 M 4 b 3
28 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN PENTÁGONO REGULR 1 2 a/2 a 5 M 4 b 3 a/2 Para construir la MEI PROPORIONL entre la base (b) y la mitad de la altura del triángulo (a/2), 1º: sumamos en un segmento b + a/2
29 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN PENTÁGONO REGULR 1 2 a/2 a 5 M 4 b 3 a/2 2º: Trazamos la semicircunferencia de centro O y diámetro b+a/2
30 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN PENTÁGONO REGULR 1 2 a 5 a/2 L4 M 4 b 3 a/2 2º: Levantamos una perpendicular en (la unión de b+a/2), que cortará a la semicircunferencia trazada en el punto = L4, lado del cuadrado resultante
31 ONSTRUIÓN E UN URO EQUIVLENTE UN PENTÁGONO REGULR 1 2 a 5 a/2 L4 M 4 b 3 a/2 3º. Una vez tenemos L4, podemos construir el cuadrado completo
32 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROEIMIENTO O Este problema no es exacto, porque interviene en el área el número inconmesurable. Sin embargo, se puede obtener graficamente con bastante aproximación. El área del círculo es r2 y la del cuadrado buscado es L2. Igualando las dos superficies tenemos que r 2 = L2, o lo que es 2 igual: L = r r. Por tanto el lado del cuadrado es media proporcional entre los segmentos r y r
33 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROEIMIENTO r Q R O P N r Primero, calculamos r, que es la rectificación de la semicircunferencia (suma de PR y PQ)
34 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROEIMIENTO r Q R O M r P N r r le sumamos r para hallar la media proporcional de ambos segmentos. Luego trazamos la semicircunferencia de diámetro r + r (tenemos que trazar la mediatriz de MN para calcular el centro).
35 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROEIMIENTO r Q R L O M r P N r La media proporcional de r y r (calculada en este caso por el teorema de la altura), es L, lado del cuadrado equivalente a la circunferencia dada.
36 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROEIMIENTO r Q R L O M r P N r Teniendo L4, podemos trazar el cuadrado, solución del problema
37 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROEIMIENTO O
38 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROEIMIENTO O eterminamos el diámetro y trazamos una perpendicular en
39 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROEIMIENTO O 1 ividimos el radio O en 6 partes iguales
40 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROEIMIENTO N O 1 2 on centro en la división 1 y radio igual al doble del diámetro de la circunferencia, describimos un arco que corta a la perpendicular por en el punto N
41 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROEIMIENTO N O 1 2 Unimos N y con una recta que corta a la circunferencia en el punto
42 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROEIMIENTO N O 1 2 El segmento es el lado del cuadrado equivalente a al círculo dado
43 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROEIMIENTO N O 1 2 El segmento es el lado del cuadrado equivalente a al círculo dado
44 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado r r PROEIMIENTO P H 1.ividimos el diámetro en 7 partes iguales, sacamos tres partes hacia afuera (arco 3 = ). Haciendo centro en la 4ª división, trazamos una semicircunferencia radio 4 que corta a r en P
45 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado r r PROEIMIENTO P 2. Si trazamos una perpendicular a r en, al cortar la semicircunferencia obtenemos el punto. La distancia es el lado del cuadrado equivalente.
46 URTUR EL ÍRULO onstruir el cuadrado equivalente al círculo dado r r PROEIMIENTO E P F M 3. Trazamos el cuadrado equivalente FE
47 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. 1. Trazamos el triángulo de 50 mm de lado
48 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. 1. Trazamos el triángulo de 50 mm de lado
49 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. 2. El primer paso es calcular el URO equivalente al triángulo dado. Para ello, calcularemos primero el rectángulo equivalente. Primero, empezamos por hallar la altura del triángulo h
50 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. 3. Hallamos la mediatriz de la altura h M
51 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. 4. Trazamos el rectángulo equivalente FE, que tendrá de base y de altura la mediatriz de la altura del triángulo h E M F
52 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. 5. Trazamos un arco F sobre la prolongación de y obtenemos el punto G h E F G
53 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. 6. Hallamos la mediatriz de G y trazamos una semicircunferencia cuyo centro sea dicha mediatriz, y su radio M o MG h E F M G
54 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. 7. Prolongamos el lado F del rectángulo hasta tocar la semicircunferencia en el punto H. H será el lado del cuadrado que buscamos H h E F M G
55 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. K 8. Trazamos el cuadrado JHK, equivalente al triángulo dado H E F J G
56 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. K 9. Trazamos, coincidiendo con uno de los vértices inferiores del cuadrado, un rectángulo cualquiera que tenga sus lados en relación 1:2 H E F M N 1 J L 2 G
57 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. K 10. continuación, hallamos el cuadrado equivalente a dicho rectángulo. Para ello, empezamos por abatir el lado M sobre la prolongación de L. sí obtenemos el punto P H E F M N J L P G
58 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. K 11. Hallamos la mediatriz de LP y trazamos una semicircunferencia con centro en O y radio OL o OP H E F M N J L O P G
59 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. K 12. Trazamos el cuadrado RQS, equivalente al rectángulo LMN H E F Q S M J N T L R O P G
60 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. K 13. hora, mediante una semejanza, vamos a determinar un rectángulo semejante a LMN que será la solución. Empezamos por trazar la recta T (T es la intersección del cuadrado con el rectángulo) que cortará al cuadrado JHK en el punto U H U E F Q S M J N T L R O P G
61 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. K H U E 14. Trazamos una paralela a la recta por el punto U, que cortará al lado H del cuadrado en el punto V V F Q S M J N T L R O P G
62 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. K E H U X 15. Trazamos la recta N que cortará a la recta anteriormente trazada en el punto X V F Q S M J N T L R O P G
63 alcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. K E H U X 16. Teniendo los puntos VX, tres vértices del rectángulo, ya podemos completar el rectángulo buscado VXY V F Q S M Y J N T L R O P G
64 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E F G 1. Se dibuja un triángulo GHE equivalente al hexágono EF dado. Para ello, primero bajamos el punto F en perpendicular a la prolongación del lado, y obtenemos el punto G.. Trazamos un arco de centro y radio G, con el que obtenemos el punto H H
65 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E V 2. H será la base del triángulo. El vértice V lo podemos colocar en cualquier punto de la recta que pasa por E y F G H
66 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E V 3. Se dibuja un triángulo GHV equivalente al hexágono EF dado F G H
67 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E V 4. Hallamos la mitad de la altura del triángulo trazado con anterioridad h F M G H
68 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E V h F 5. Si trazamos un rectángulo de igual base que el triángulo anterior y altura la media altura del triángulo, obtendremos un rectángulo equivalente al triángulo, y por tanto, equivalente al hexágono EF I M G H
69 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E V h F 6. hora comenzamos a trazar el cuadrado equivalente al rectángulo, que será la solución del problema. Primero abatimos el lado menor del rectángulo sobre la prolongación de la base GH, y obtenemos el punto J I M G H J
70 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E V h F 7. hora trazamos la mediatriz de GJ para hallar el centro de la semicircunferencia que nos permitirá sacar la media proporcional entre GH y HJ I M H M G J
71 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E V 8. Trazamos la semicircunferencia de centro M y radio MG o MJ h F I M G M H J
72 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E V h F K I M H 9. Levantamos el segmento HK, que es la media proporcional entre GH y HJ y a su vez, el lado del cuadrado que buscamos M G J
73 ibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm E V K L h F I M H 10. ibujamos el cuadrado HKLN, solución del problema M G N J
74 ibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm. r H P 1. omenzamos a calcular el cuadrado equivalente a la circunferencia. Para ello dividimos el diámetro en 7 partes iguales, sacamos tres partes hacia afuera (arco 3 = ). Haciendo centro en la 4ª división, trazamos una semicircunferencia radio 4 que corta a r en P
75 ibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm. 2. Si trazamos una perpendicular a r en, al cortar la semicircunferencia obtenemos el punto. La distancia es el lado del cuadrado equivalente. r P
76 ibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm. 3. Trazamos el cuadrado equivalente FE r E 7 P M F
77 ibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm. r H 5 6 E 7 P M F 4. Para transformar el cuadrado en triángulo, hallamos la mitad del lado del cuadrado y trazamos una semicircunferencia con centro en la mediatriz M y radio M. sí obtenemos los puntos G y H G
78 ibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm. 5. Trazamos el arco FG, que corta al cuadrado en el punto I E I r H P M F G
79 ibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm. J E 6. Trazamos el arco IF, y obtenemos el punto J en la prolongación del lado FE I r H P M F G
80 ibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm. 7. Trazamos por el punto J una paralela a r J E I r H P M F G
81 ibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm. K J E 8. ualquier triángulo que hagamos con base HF y altura FJ será equivalente a la circunferencia dada I r H P M F G
82 ados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos. L 25 L 30
83 ados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos. L 20 L 25 L 30
84 ados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos. L 20 L 25 L 30
85 ados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos. L 15 L 20 L 25 L 30
86 ados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos. L 46,6 L 15 L 20 L 25 L 30
87 ibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm R R 20 m m 15 mm
88 ibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm M R 15 mm
89 ibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm R 10 M R 15 mm
90 ibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm M M
91 ibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROEIMIENTO O R 25 mm
92 ibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROEIMIENTO O
93 ibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROEIMIENTO O
94 ibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROEIMIENTO O M E
95 ibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROEIMIENTO F O O M E
96 ibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 2º PROEIMIENTO O
97 ibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 2º PROEIMIENTO O
98 ibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 2º PROEIMIENTO O
99 ibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 2º PROEIMIENTO O
100 onstruir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado
101 Si igualamos las áreas del rectángulo que se busca y del cuadrado de lado 45 mm resulta: x = mm onstruir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado x 2 = x e ahí deducimos que el lado desconocido del rectángulo, el lado x, es tercera proporcional entre los segmentos y 45mm m 45 m
102 Teniendo la medida del lado mayor del rectángulo, ya lo podemos trazar 45 mm onstruir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado x m 45 m x
103 ONSTRUIÓN E UN ÍRULO EQUIVLENTE UN ELIPSE O Tenemos que igualar las áreas de las dos figuras r 2 = ab, por tanto r 2= a b.
104 ONSTRUIÓN E UN ÍRULO EQUIVLENTE UN ELIPSE b O a Hay que hallar la media proporcional entre los semiejes a y b de la elipse para obtener el radio r del círculo equivalente.
105 ONSTRUIÓN E UN ÍRULO EQUIVLENTE UN ELIPSE b N O b a Para ello, podemos abatir b sobre el eje mayor 2a, haciendo centro en O. sí obtenemos el punto N
106 ONSTRUIÓN E UN ÍRULO EQUIVLENTE UN ELIPSE b N O O1 b a Trazamos la circunferencia de radio N (onsultar tercer procedimiento para hacer la media proporcional)
107 ONSTRUIÓN E UN ÍRULO EQUIVLENTE UN ELIPSE b O r N O1 b a Hallamos la tangente de O a la circunferencia trazada de O1. La tangente r es el radio de la circunferencia equivalente al óvalo dado
108 ONSTRUIÓN E UN ÍRULO EQUIVLENTE UN ELIPSE b O r N O1 b a Hallamos la tangente de O a la circunferencia trazada de O1. La tangente r es el radio de la circunferencia equivalente a la elipse dada
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