EQUIVALENCIA Concepto

Transcripción

1 QUIVLI oncepto os figuras planas se denominan quivalentes cuando siendo de distinta forma tienen la misma supficie. n la izquida se han dibujado un cuadrado y un triángulo isósceles equivalentes. l proceso seguido se plantea en la parte supior del gráfico. l cuadrado es equivalente al triángulo isósceles. Transformación de un polígono de en otro equivalente de ( ) lados n- n lados Paralela a Sea el pentágono, que remos transformarlo en un cuadriláto equivalente, para ello:.- Trazamos una diagonal del polígono en nuestro caso hemos trazado.triángulo..- Por el vértice intmedio,. trazamos una paralela a la diagonal que corta a la prolongación del lado en el punto., unimos con y obtenemos el triángulo ; vamos a estudiar las áreas de los triángulos y : h mbos triángulos tienen un lado común el lado, vamos a utilizar este lado como base del triángulo. - Área del sá base x altura /, x h/, siendo h, la altura sobre, esto es, el segmento de ppendicular desde. h Paralelas Paralelas - Área del sá base x altura /, x h/, siendo h, la altura sobre, esto es, el segmento de ppendicular desde. stas dos alturas, h, son iguales dado que hemos trazado paralelas luego ambos triángulos tienen el mismo área, son equivalentes. ediante este procedimiento hemos pasado de un pentágono a un cuadriláto, equivalente. Paralela a epartamento de.pp. I..S. Las Salinas de Laguna de uo IUJO TÉIO quivalencia -0- diciembre 0

2 Transformación de un cuadriláto en un triángulo equivalente. QUIVLI plicando el método genal explicado en la página antior podemos reducir un cuadriláto a un triángulo equivalente, reduciendo un lado. Transformación de un polígono, hexágono, en un triángulo equivalente. n la parte infior hemos pasado, reduciendo lados a p l i c a n d o e l p r o c e s o suc esivamente, de un hexágono a un triángulo e q u i v a l e n t e s, m í n i m o polígono posible. I I Transformación de un triángulo en un rectángulo equivalente. n la parte infior se transforma un triángulo, cualquia,, en un rectángulo equivalente,. Se ha indicado el proceso gráficamente: - Trazamos la altura sobre la base y la dividimos en dos partes iguales, h/. - onstruimos el rectángulo de base la del triángulo y altura h/. Transformación de un rectángulo en un cuadrado equivalente. Para hallar el cuadrado equivalente a un rectángulo necesitamos hallar la media proporcional de los ladosdel rectángulo, esto es, l = axb. n nuestro ejemplo hemos aplicado el teorema de la altura. Obtenido l, construimos el cuadrado. b l a a b l epartamento de.pp. I..S. Las Salinas de Laguna de uo IUJO TÉIO quivalencia -0- diciembre 0

3 Transformación de un polígono regular en un rectángulo equivalente. QUIVLI Recordando que el área de un polígono regular a: Semipímetro x potema, construimos un rectángulo de lados el semipímetro y el apotema del polígono. n nuestro ejemplo hemos transformado un hexágono regular en rectángulo. Q potema semipímetro Transformación de un círculo en un cuadrado equivalente..- allamos el rectángulo equivalente al circulo, para ello rectificamos la semicircunfencia r = l + l, suma de los lados del triángulo y del cuadrado inscritos. l rectángulo equivalente tiene como lados r y r..- allamos la media proporcional a los lados r y r, y obtenemos el lado l, del cuadrado equivalente. Q l l r omposición del rectángulo en el cuadrado equivalente. Vamos a descompon el rectángulo en tres partes para luego compon el cuadrado equivalente..- Supponemos el cuadrado y el rectángulo y unimos los vértices extremos, y, cortando al rectángulo y al cuadrado en y, respectivamente. studiamos las figuras que se forman: -Pentágono común a las dos figuras. - Triángulo igual en ambas figuras. -Triángulo elmismo para las dos figuras. omponiendo de una u ptra mana construimos un rectángulo oun cuadrado. epartamento de.pp. I..S. Las Salinas de Laguna de uo IUJO TÉIO quivalencia -0- diciembre 0

4 Transformación de un triángulo equiláto en un cuadrado equivalente. QUIVLI n prim lugar, figuras, y, se ha transformado el triángulo en un rectángulo equivalente de base y altura h/. l procedimiento, ya conocido, se indica en las figuras. figura figura figura Lado I figura 5 figura Una vez hallado el rectángulo, buscamos, fig., el lado del cuadrado equivalente al rectángulo hallando la media proporcinal de sus lados. Supponemos las dos figuras y uniendo los vértices y descomponemos en las partes, y 5, que pmiten compon una u otra figura, fig. 5. n las partes y 5 recortamos los triángulos y del rectángulo y 5, con losque podemos compon el cuadrado o el triángulo equivalentes, fig. 6, 7 y 8. figura 6 figura 7 figura 8 l/ l/ l/ l/ figura I figura Un procedimiento para transformar el triángulo equiláto en un cuadrado equivalente es el ideado por udeney. n las figuras a se visualiza el proceso. ste método no es exacto, el resultado es un rectángulo de lados muy parecidos, po no iguales. l segmento es menor que la suma de los segmentos y I. I figura figura epartamento de.pp. I..S. Las Salinas de Laguna de uo IUJO TÉIO quivalencia -0- diciembre 0

5 onstrucción de un cuadrado equivalente a la suma de otros dos. QUIVLI QUIOPOSIIÓ POLÍOOS a étodo figura c b a +b =c allar un cuadrado equivalente a la suma de otros dos es sencillo si recordamos el teorema de Pitágoras: (Suma de los cuadrados de los catetos igual al cuadrado de la hipotenusa) Si obsvamos el triángulo rectángulo de lados a, b y c, de la izquida vemos que el cuadrado de lado c es igual a la suma de los de lado a y b, También nos puede svir para hallar la difencia de dos cuadrados. figura étodo Sean los cuadrados de la figura, unimos los vértices y se obtiene el lado buscado. Trasladamos, fig., ese lado hasta y lo giramos 90º por, vemos que convgen en y se forman dos triángulos, y, iguales. Trasladamos, fig., esos triángulos y obtenemos el cuadrado suma de los antiores. º étodo º étodo figura figura figura ste método sólo descompone el cuadrado grande en partes iguales que se adosan al cuadrado pequeño. Para obten las partes trasladamos los lados del cuadrado que buscamos a los puntos y, que se obtienen con la semidifencia y la semisuma de los lados de los cuadrados de partida. Se cortan, fig., ortogonalmente y en su punto medio. n la fig. vemos que se han formado trapezoides iguales de dos ángulos rectos,,, y. Los situamos alrededor del cuadrado pequeño, fig. y obtenemos el cuadrado suma. étodo étodo ste método es sustractivo, i n s c r i b i m o s n u e s t r o s cuadrados, fig., dentro de un tc cuadrado, I, de forma que la difencia entre éste y los primitivos son rectángulos. ividimos éstos rectángulos, fig., en triángulos iguales,,, y, de hipotenusa el lado buscado. Los situamos en las esquinas I I I del cuadrado y dentro nos figura figura figura queda el cuadrado buscado. epartamento de.pp. I..S. Las Salinas de Laguna de uo IUJO TÉIO quivalencia -05- diciembre 0