GRAFOS BIPARTITOS SOBRE CURVAS CONVEXAS PARALELAS MIGUEL GÓMEZ DOMÍNGUEZ JOSÉ LUIS ROSADO OLMO

Transcripción

1 GRAFOS BIPARTITOS SOBRE CURVAS CONVEXAS PARALELAS MIGUEL GÓMEZ DOMÍNGUEZ JOSÉ LUIS ROSADO OLMO

2 Introducción Un grafo bipartito es biplanar si admite en un conjunto partito una recta dibujada de tal forma que es paralela a la recta dibujada con los vértices del otro conjunto partito. Este trabajo estudia los dibujos de grafos bipartitos donde los vértices están obligados a estar en dos curvas paralelas convexas, es decir, los vértices de un conjunto partito van a ser los vértices de una curva convexa y los vértices del otro conjunto partito van a ser de la otra curva paralela convexa, por ejemplo, siendo G un grafo bipartito y e y l dos curvas paralelas convexa, queremos responder a la pregunta de si G admite una línea recta dibujada de modo que los vértices de un conjunto partito de G se encuentran en e y los vértices del otro conjunto partito se encuentran en l. El interés en estudiar esto viene en parte motivado porque se observa que los grafos bipartitos admiten que admiten una recta sobre dos líneas horizontales que pasan por sus puntos es bastante restringido y una forma de ampliar el número de grafos es permitir una cierta curvatura. En definitiva, en este artículo se intenta explicar que es necesario dar una curvatura a las dos líneas rectas que pasan por un conjunto bipartito de modo que sean paralelas porque el número de grafos que admiten una línea recta que cruza los dos conjuntos partitos partitos de maneras que no se crucen es muy pequeño y dándole cierta curvatura conseguimos ampliar el número de grafos.

3 Definiciones previas: Definiremos dos curvas convexas como paralelas si cada normal a una curva también es una normal a la otra curva y la distancia entre los puntos donde se cruzan dichas normales es constante. Dicho esto definiremos que estas dos curvas como curvas emparejadas si existen dos puntos dentro de la curva interior tal que el segmento de línea recta que los une corta a la recta exterior en otro punto. Por el contrario diremos que dos curvas son no emparejadas si son paralelas, convexas pero no cumplen la condición anterior para ser emparejadas. Dos curvas emparejadas Dos curvas no emparejadas Sea dos curvas convexas paralelas un grafo bipartito es una curva biplanar si todos los vértices de un conjunto partito del grafo bipartito son representados como puntos de una de las curvas y el resto de los vértices lo están en la otra curva. Un grafo se denomina oruga o ciempiés si al borrar todos los vértices de grado uno produce un camino (posiblemente vacío). Una 2 garra es un grafo que tiene un vértice de grado 3 (llamado centro) que es adyacente a tres vértices de grado 2, cada uno de los cuáles es adyacente al centro y a un hoja (un hoja es un vértice con grado 1).

4 Un grafo G es un bosque de ciempiés si y sólo si G es acíclico y no contiene 2 garra. Teorema 1 Un grafo bipartito permite dibujar una curva biplanar en dos curvas no emparejadas si y sólo si se trata de un bosque de ciempiés. Gracias a este teorema podemos estudiar la familia de grafos bipartitos que admiten una curva biplanar en dos curvas que además estan emparejadas. Pasaremos ahora a mostrar como dibujar una familia específica de grafos bipartitos llamados abanicos bipartitos. Como dibujar un abanico bipartito Un grafo bipartito es un abanico si tiene un vértice u, llamado ápice, que está compartido por todos los vértices que forman los palillos del abanico. Las aristas que inciden en U son las aristas radiales del abanico. Si entre cada dos vértices de los palillos del abanico existe otro vértice unido a estos dos con dos aristas lo llamaremos triplete del abanico. Para dibujar este abanico ubicaremos los vértices en dos curvas emparejadas de tal manera que el dibujo esté contenido en una región adecuada del plano llamado cuña. Lema 1 Sea G un abanico bipartito con n vértices y ápice u. Sea A y B dos curvas emparejadas y W (p,q,r) una cuña de A. El abanico G admite dibujar una curva biplanar contenida en A. B en el interior de la cuña tal que: 1. La primera y la ultima arista de G están representadas por los segmentos qr y pq. 2. Por cada triplete del abanico, los tres puntos que definen el triplete, definen una cuña de A,B Por otra parte si A y B son los círculos, el dibujo se puede calcular en tiempo de complejidad lineal O (n).

5 Bibliografía Drawing Bipartite Graphs on Two Parallel Convex Curves por Emilio Di Giacomo, Luca Grilli y Giuseppe Liotta. Journal of Graph Algorithms and Applications También está relacionado con el estudio de las pruebas planaridad radial iniciado por Bachmaier, Brandeburgo y Forster