Universidad de Concepción Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Matemáticas. Guía de Trabajo Geometría I

Transcripción

1 Universidad de Concepción Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Matemáticas Guía de Trabajo Geometría I Presentación: Esta guía de trabajo pretende desarrollar el concepto de homotecia y algunas de sus propiedades. Introducción. Actividades de Aprendizaje Haz clic en la siguiente imagen y responde las siguientes preguntas: Con respecto al polígono ABCDE: Qué sucede con el polígono A B C D E cuando mueves el punto O? Qué sucede con el mismo polígono cuando mueves el punto E? Para la situación anterior, diremos que el polígono A B C D E es una HOMOTECIA del polígono ABCDE. En principio, definiremos una homotecia de una figura F como una figura F, semejante con la primera y que tiene la misma orientación. Veamos ahora algunos ejemplos. Haz clic en las siguientes imágenes y sigue las instrucciones:

2 Definición. Volvamos a la primera figura, esta vez un poco modificada. Como habrás notado, para que el polígono A B C D E conserve la forma y orientación del polígono ABCDE, necesita que los lados correspondientes de ambos polígonos se mantengan paralelos. Pero, tal como puedes observar en esta figura, al mover el punto O obtienes distintas homotecias en distintas ubicaciones del plano, y al mover el punto E, obtienes homotecias de distintos tamaños. Haz clic en esta imagen. Esto quiere decir que una homotecia F depende del punto O y del tamaño que queremos que tenga la figura F. Formalmente, se define una homotecia de centro O y razón k a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A, alineado con A y O, tal que: OA = k * OA.

3 La definición anterior (que ya estudiaremos en una figura con Cabri) significa que una homotecia es una transformación que conserva tanto la forma (no modifica sus ángulos) como la orientación (los lados correspondientes resultan paralelos) de la figura, más no necesariamente su tamaño. Ejercicio Construye una homotecia de centro O y talque A sea el vértice correspondiente del punto A para el siguiente triángulo: El punto A de la figura anterior es móvil, y permite que tu construcción genere todas las homotecias de centro O. Observa ahora la siguiente figura y responde las siguientes preguntas: Qué tiene que suceder para que la razón k varíe su valor? Qué sucede si A coincide con A? Qué sucede cuando A coincide con O? Haz clic en la imagen Qué sucede con el orden de los puntos del segmento A D cuando A pasa más allá de O? Cuando A se ubica en la prolongación de OA, más allá de O, se dirá que la homotecia es inversa (observa lo que sucede en esta figura cuando la homotecia se ubica detrás de O). Algunos autores indican esto diciendo que la razón k es negativa, pero en geometría euclidiana esta interpretación es errónea, pues las cantidades negativas no existen en el plano.

4 Homotecia de una circunferencia? Así es. Pero uno podrá preguntarse qué gracia tiene, pues ya todas las circunferencias son semejantes y conservan una misma orientación. Pues bien, es probable que haya sido justamente éste el problema que dio origen a la homotecia, por lo que merece una pequeña mirada. Dado que una circunferencia no es un polígono, la homotecia de una circunferencia debe ser definida de manera algo distinta. Ejercicio Cómo construirías la homotecia de centro O y razón k de una circunferencia dada? En función de tu respuesta, intenta dar una definición de una homotecia para circunferencias. Si te sirve de ayuda, observa el siguiente ejemplo, que consiste en encontrar el centro de homotecia para dos circunferencias dadas. Une A y B mediante una recta. Traza un radio cualquiera en alguna de las dos circunferencias. Traza el diámetro paralelo a este radio en la otra circunferencia. Une mediante segmentos a P con los extremos de este diámetro. Las intersecciones de este segmento con la recta inicial son los centros de homotecia (directo e inverso) buscados. Haz clic en la figura. Formalmente, la homotecia de centro O y razón k de una circunferencia de centro A y radio R se define como la circunferencia cuyo centro A está en el segmento OA y tal que su radio R = k * R. Para finalizar, define la homotecia inversa para circunferencias. Dado que todas las circunferencias son semejantes, tiene sentido práctico una definición de homotecia inversa? Justifica con ejemplos.

5 Ejercicios - La homotecia es un concepto desarrollado por los antiguos geómetras, y tiene su origen en problemas de la vida diaria. Puedes plantear algunas situaciones en los que haya alguna homotecia? - Si F es una homotecia de razón k de un polígono F, cuál es el perímetro de F? Y cuál es su área? - Ya sabemos que la semejanza de figuras define una relación de equivalencia. Sucede lo mismo con las homotecias de razón k cualquiera? - Prueba que la relación A<B ssi A es homotecia de B, con centro O fijo y razón k cualquiera, no menor que 1 define una relación de orden. - Si F es una homotecia de centro O y razón k de un polígono F, existe una homotecia que transforme F en F? Justifica tu respuesta. - Inscribe en el triángulo ABC dado un triángulos P Q R, semejante a uno PQR dado: