Curso Básico de Computación Preliminares

Transcripción

1 Curso Básico de Computación Preliminares Feliú Sagols Troncoso Matemáticas CINVESTAV-IPN 2010 Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

2 1 Preliminares 1.1 Cadenas, alfabetos y lenguajes Un símbolo es un ente abstracto que no se puede definir formalmente. Letras o dígitos son ejemplos que frecuentemente usan símbolos. Una cadena (o palabra) es una secuencia finita de símbolos. Por ejemplo: a, b y c son símbolos y abcb es una cadena. La longitud de una cadena w, denotada por w, es el número de símbolos que componen la cadena. Por ejemplo: abcb tiene longitud 4. La cadena vacía, denotada porǫ, es la cadena que contiene cero símbolos. Así ǫ = 0. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

3 Un prefijo de una cadenaαes cualquier secuencia con los primeros n símbolos de la cadena (donde 0 n α ), y un sufijo es cualquier secuencia con los últimos n símbolos de la cadena. Por ejemplo: la cadena abc tiene prefijosǫ, a, ab y abc; y los sufijos sonǫ, c, bc y abc. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

4 La concatenación de dos cadenas es una cadena formada por la primera seguida de la segunda, sin espacio. Es decir, si w y x son cadenas, entonces wx es la concatenación de esas dos cadenas. La cadena vacía es la identidad para el operador concatenación. Es decir, ǫw = wǫ = w para cada cadena w. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

5 Un albafeto es un conjunto finito de símbolos. Un lenguaje formal es un conjunto de cadenas de símbolos de algún alfabeto. El conjunto vacío,, y el conjunto que contiene a la cadena vacia{ǫ} son lenguajes. El conjunto de palíndromos (cadenas que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda) sobre el alfabeto {0, 1} es un lenguaje infinito. Otro lenguaje es el conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto fijo Σ. Denotamos a este lenguaje por Σ. Por ejemplo, si Σ ={a}, entonces Σ ={ǫ, a, aa, aaa,...}. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

6 1.2 Gráficas y árboles Una gráfica, denotada por G = (V,E), consiste de un conjunto finito de vértices (o nodos) V y un conjunto de pares de vértices E llamadas aristas. Una gráfica se muestra en la siguiente figura, donde V ={1, 2, 3, 4, 5} E ={(n, m) n + m = 4 o n + m = 7} Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

7 Un camino en una gráfica es una secuencia de vértices v 1, v 2,..., v k, k 1, tal que existe una arista (v i, v i+1 ) para cada i, 1 i< k. La longitud de un camino es k 1. Por ejemplo, 1,3, 4 es un camino para la gráfica anterior, también lo es 5. Si v i = v k, el camino es un ciclo. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

8 Gráficas dirigidas Una gráfica dirigida (o digráfica), denotada por G = (V,E), consiste de un conjunto finito de vértices V y un conjunto de pares ordenados de vértices E llamados arcos. Se denota un arco de v a w por v w. Un ejemplo de una digráfica es: Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

9 Un camino en una digráfica es una secuencia de vértices v 1, v 2,..., v k, k 1, tal que v i v i+1 es un arco para cada i, 1 i< k. Y se dice que el camino es de v i a v k. Así, para la digráfica anterior, es un camino de 1 a 4. Si v w es un arco se dice que v es predecesor de w y w es sucesor de v. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

10 Árboles Un árbol es una digráfica con las siguientes propiedades: 1 Existe un vértice, llamado raíz, que no tiene predecesor y del cual existe un camino para cada vértice. 2 Cada vértice distinto al raíz tiene exactamente un predecesor. 3 Los sucesores de cada vértice son ordenados a partir de la izquierda. Un árbol se dibuja con el nodo raíz en el tope y todos los arcos apuntando hacia abajo. Los sucesores de cada vértice se dibujan ordenados de izquierda a derecha. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11

11 Un sucesor de un vértice es llamado hijo, y el predecesor es llamado padre. Si existe un camino del vértice v 1 al vértice v 2, entonces a v 1 se le llama ancestro de v 2, y v 2 es llamado descendiente de v 1. Un vértice que no tiene hijos es llamado hoja, y los otros vértices son llamados vértices interiores. Tarea: Resolver los ejercicios del Capitulo 1 del libro de Hopcroft. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Preliminares / 11