Gramáticas tipo 0 o Estructura de frase En este tipo de gramáticas no hay restricción en su producciones y tienen la forma siguiente.

Transcripción

1 Gramáticas Libres de Contexto 1. Gramáticas. Como vimos en el capítulo anterior una gramática es un conjunto finito de reglas que describen todas las secuencias de símbolos que pertenecen a un lenguaje Clasificación de las gramáticas. Chomsky clasificó las gramáticas en cuatro grandes grupos(g 0, G 1, G 2, G 3 ), cada uno de los cuales incluye a los siguientes de acuerdo a la siguiente regla G 3 G 2 G 1 G Gramáticas tipo 0 o Estructura de frase En este tipo de gramáticas no hay restricción en su producciones y tienen la forma siguiente. Donde: α (Σ N) + β (Σ N)* α β Es decir, que la parte izquierda de una regla pude ser una cadena de símbolos cualesquiera de N y Σ, y la parte derecha lo mismo y además puede ser nula Gramáticas tipo 1 o Dependientes del contexto Las reglas de este tipo de gramática presentan la siguiente forma: Donde: α y β (Σ N) A N γ (Σ N) + αaβ αγβ El contexto de la gramática esta definido por α y β Gramáticas del tipo 2 o Libres de contexto. La forma de las producciones para este tipo de gramática es: Donde: A N α (Σ )N A α Es decir, el conjunto P es un subconjunto del producto cartesiano N x (N Σ) 1

2 Gramáticas del Tipo 3 o Regulares. Este tipo de gramáticas son las mas sencillas y sus reglas de producción solo pueden tener una de las dos siguientes formas. Donde: A y B N a Σ A ab A a Gramáticas Libres de Contexto(GLC) A través de las Gramáticas Libres de Contexto podemos describir la sintaxis de los lenguajes de programación, por ello es importante comprender en que consiste y como podemos usarla, teniendo claros los conceptos básicos será más fácil comprender el desarrollo de analizadores sintácticos. Formalmente una gramática libre de contexto (GLC) es una cuadrupla Donde: G = (N, Σ, P, S) N es un conjunto finito de símbolos no terminales. Σ es un conjunto de símbolos terminales; es decir N Σ= Φ. P es un subconjunto finito de Nx(N Σ). Las reglas de producción de la gramática. S es el símbolo inicial de la gramática y pertenece a N. En general se usan letras mayúsculas para representar los símbolos no terminales, letras minúsculas para los símbolos terminales y las letras griegas minúsculas describen secuencias de terminales y no terminales. 2. Producciones de una gramática Una producción de una GLC la escribimos como A α Utilizamos una barra vertical para indicar una abreviación en las producciones de la gramática, por ejemplo podemos reescribirlas como: A α 1 A α 2 A α 3 A α 1 α 2 α 3 2

3 2.1. Partes de una producción Llamamos encabezado a la parte que se encuentra del lado izquierdo de la flecha, y cuerpo de la producción a todo lo que se encuentra del lado derecho, la flecha la leemos como produce. Ejemplo: Gramática libre de contexto (GLC). Sea G una gramática libre de contexto representada como sigue Las partes de la gramática son: N = {E,T,F} Σ = {+,-,*,/,(,),i} E E + T E T T T T F T/F F F (E) i P = { E E + T, E E T, E T, T T F, T T/F, T F, F (E), F i } S = S 3. Derivaciones Antes de definir lo que es una derivación necesitamos dos conceptos importantes: sentencia es una cadena formada únicamente por símbolos terminales, y una forma sentencial es una cadena compuesta por símbolos terminales y no terminales. Llamamos derivación al proceso de obtener una sentencia a partir del símbolo inicial de una gramática; en cada paso de la derivación sólo se puede substituir un símbolo no terminal por el cuerpo de una de sus producciones. Sean α y β dos formas sentenciales, decimos que β es derivable de α en un solo paso y lo denotamos de la siguiente manera α β Si β se puede obtener de α en cero o más pasos de derivación, lo denotamos de la siguiente manera. α β También si β se obtiene de α en uno o más pasos de derivación, lo denotamos de la siguiente manera Ejemplo Sea gramática α + β S asb ε derivar aaabbb. Comenzamos a partir del símbolo inicial. S asb aasbb aaasbbb aaabbb En los tres primeros pasos aplicamos S asb y en último de los pasos S ɛ. Decimos que la sentencia es derivable en cuatro pasos.podemos generalizar que para derivar a n b n se requieren n+1 pasos. 3

4 Ejemplo La gramática siguiente describe el lenguaje de todas las cadenas que son palíndromos, sobre el alfabeto {a,b} S asa bsb a b ε Las primeras dos producciones generan cualquier número balanceado de a o b, las siguientes tres producciones son usadas para terminar las derivaciones. Además S a o S b son usadas para generar las cadenas impares de a o b como palíndromos. N = { S } Σ = { a, b } P = { S asa, S bsb, S a, S b, S ε } S=S Derivar la sentencia aabaabaa. S asa aasaa aabsbaa aabasabaa aabaabaa 3.1. Ejercicios 1. Derivar las siguientes cadenas usando la gramática S asb ε a. aaaaabbbb b. aabbb 2. Derivar las siguientes sentencias usando la gramática S asa bsb a b ε a. ababbaba b. babbbbab c. abb 3.2. Derivaciones por la izquierda Decimos que una derivación es por la izquierda cuando en cada paso de la derivación seleccionamos sustituir el no terminal que se encuentra más a la izquierda Ejemplo: Sea la gramática G A (A)A ε Derivar por la izquierda ((())) A (A)A ((A)A)A (((A)A)A)A ((()A)A)A ((())A)A ((()))A ((())) 4

5 Ejemplo: Sea la gramática G E E + E E E (E) a Derivar a*a+(a*a) por la izquierda. E E + E E E + E a E + E a a + E a a + (E) a a + (E E) a a + (a E) a a + (a a) 3.3. Derivaciones por la derecha Una derivación es por la derecha cuando en cada uno de los pasos de la derivación siempre se sustituye el no terminal que se encuentra más a la derecha Ejemplo: Sea la gramática G A (A)A ε Derivar por la derecha la sentencia ((())). A (A)A (A) ((A)A) ((A)) (((A)A)) (((A))) ((())) Ejemplo: Sea la gramática G E E + E E E (E) a Derivar a*a+(a*a) por la derecha. E E + E E + (E) E + (E E) E + (E a) E + (a a) E E + (a a) E a + (a a) a a + (a a) 4. Obtención de una gramática bien formada o propia. Por lo regular al construir la gramática que describe la sintaxis de un lenguaje de programación se obtiene una gramática que no es la adecuada, debido que puede tener ciclos innecesarios o símbolos que no son útiles, por esta razón se presentan una serie de algoritmos que nos conducirán a través del camino para obtener una gramática bien formada o propia y que pueda ser utilizada para aplicar los algoritmos necesarios en la programación de compiladores. 5. Eliminación de reglas innecesarias Toda regla de producción de la forma A A es una regla innecesaria que puede ser fácilmente eliminada sin que afecte a la gramática. 5

6 6. Eliminación de símbolos muertos Un símbolo muerto es aquel símbolo no terminal tal que no exista A α, donde α Σ En otras palabras un símbolo muerto es aquel símbolo no terminal que no tiene producciones en donde el cuerpo de la producción sólo contenga símbolos terminales. Algoritmo 1 Algoritmo de Eliminación de símbolos muertos Entrada: Una gramática G con símbolos muertos Salida: Una gramática G equivalente sin símbolos muertos. 1: Iniciar N = {} y P ={} 2: repetir 3: Agregar a N todo no terminal A tal que A α, y α (Σ N ) 4: hasta que Ya no se puedan agregar más símbolos a N 5: Agregar a P todas las reglas de P cuyos símbolos Σ N 6: si S N entonces 7: añadirlo. 8: fin si Ejemplo Sea la siguiente gramática: Paso 1. N ={} y P ={} Repetir S Aa B D A Aa ba B ce B b C abd E ε D Db N ={B} por la regla B b puesto que b Σ N = {B, C}, C por la regla C abd N = {B,C,E}. E por E ε N = {B,C,E, S}. S por S B N = {B,C,E,S,A}. A por A B y A ce Agregar las reglas a P P = { S Ab B, A Aa ba B ce,b b,c abd, E ε } 6

7 7. Eliminación de símbolos inaccesibles. Un símbolo X(terminal o no terminal) es inaccesible si no existe ninguna derivación tal que S αxβ con α, β (Σ N )* Algoritmo 2 Algoritmo para eliminar símbolos inaccesibles Entrada: Una Gramática G Salida: Una gramática G equivalente sin símbolos inaccesibles 1: Iniciar N = {S}, P y Σ vacíos. 2: repetir 3: para todo ( A y A α) hacer 4: Agregar A α en P 5: Agregar todos los no terminales B en α a N 6: Agregar todos los terminales en α a Σ 7: fin para 8: hasta que No se agreguen más reglas de producción a P Ejemplo: Sea la siguiente gramática Iniciar N ={S} P = {} y Σ ={} Agregar símbolos y reglas S Aa B A Aa ba B ce B b C abd E ε P = { S Aa B}, N ={S,A,B}, Σ ={a} P = { S Aa B, A Aa ba B ce}, N ={S,A,B,E}, Σ ={a,b,c} P = { S Aa B, A Aa ba B ce, B b }, N ={S,A,B,E}, Σ ={a,b,c} P = { S Aa B, A Aa ba B ce, B b, E ɛ }, N ={S,A,B,E}, Σ ={a,b,c} 7

8 Algoritmo 3 Detección de no terminales anulables Entrada: Una Gramática G Salida: Un conjunto H con los símbolos anulables 1: H = {} 2: para todo (producción A ɛ) hacer 3: H = H {A} 4: fin para 5: mientras (H no cambie) hacer 6: para todo (producción B A 1 A 2...A n, A i H) hacer 7: H= H {B} 8: fin para 9: fin mientras 8. Eliminación de producciones ε o vacías Las reglas de la forma A ε se conocen como producciones-ε. Los símbolos no terminales tal que A ε, se conocen como símbolos anulables. Este es el algoritmo para encontrar los no terminales anulables. Cuando ya hemos calculado todos los símbolos anulables, podemos ahora aplicar el algoritmo para eliminar las producciones ε. Algoritmo 4 Eliminación de producciones-ε 1: Eliminar todas las producciones vacías (A ɛ) 2: para todo (Producción de la forma B x 1 x 2...x n )) hacer 3: Agregar B y 1 y 2...y n donde las y i satisfacen 4: y i = x i si x i no es anulable 5: y i = x i o ε si x i es anulable. 6: fin para Ejemplo: Sea la gramática siguiente Obtención de los anulables S Aa B A Aa ba BEE B bb b ε E ε H= {B, E} por las producciones vacías que tienen. Ahora por la línea 6 del algoritmo 6 agregamos a H H={B, E, A, S} por las producciones A BEE y S B 8

9 Eliminación de las producciones-ε Quitamos las producciones vacías. S Aa B A Aa ba BEE B bb b Sustituimos las reglas S Aa B A Aa a ba b BEE EE BE B E B bb b Si la gramática genera la cadena vacía también es necesario agregar una producción-ɛ, esta producción ε solo puede estar relacionada con el símbolo inicial de la gramática, si y solo si, el símbolo inicial no aparece en el cuerpo de ninguna de las producciones. Ejemplo: Dada la siguiente gramática vamos a eliminar las producciones-ε S (A), A (A), A AA, A ε Cálculo de H Para este ejemplo H ={A} Sustituir las reglas. S (A), S (), A (A), A (), A AA, A A Sabemos que A A se elimina de la gramática porque es una regla innecesaria Ejercicios. Eliminar las producciones-ε de las siguientes gramáticas 1. S U V, U T au T at, V T bv T bt, T at bt bt at ε 2. S as aa, A b ε 3. S as A, A b ε 4. S asc B, B bbc ε 9

10 Algoritmo 5 Elimnación de ciclos Entrada: Una gramática G sin producciones-ε Salida: Una gramática G sin ciclos. 1: para todo A N hacer 2: U(A) = {B N A B solo con producciones unitarias} 3: fin para 4: Iniciar P ={} 5: para (cada A N y cada B U(A) hacer 6: para (cada regla B α no unitaria) hacer 7: añadir A α a P 8: fin para 9: fin para 9. Eliminación de ciclos y reglas unitarias Una regla unitaria o de ciclo es una regla de tipo A B con A y B N, este tipo de reglas es necesario eliminarlas ya que pueden generar ciclos indefinidos. El siguiente algoritmo muestra como eliminarlas. Ejemplo: Dada la gramática siguiente aplicar el algoritmo de eliminación de ciclos y reglas unitarias. Cálculo de los conjuntos U S Aa a C E BE A Aa a B bb b S C B E c Siempre un No terminal estará en su propio conjunto U U(S) ={ S, C, E, B} U(A) = { A } U(B) = {B, S, C, E} U(C) = { C, B, S, E} U(E) = {E} Creación de P Para S: S Aa a BE por S nada por C S c por E S bb b por B 10

11 Para A: A Aa a por A Para B: B bb b por B B Aa a BE por S nada por C B c por E Para C: nada por C C bb b por B C Aa a BE por S C c por E Para E: E c por E Finalmente G queda de la siguiente manera. S Aa a BE c bb b A Aa a B Aa a BE c bb b C Aa a BE c bb b E c Claramente se puede ver que el no termina C es un símbolo inaccesible por lo cuál se puede eliminar y la gramática resultante es la siguiente. S Aa a BE c bb b A Aa a B Aa a BE c bb b E c 10. Gramática bien formada o propia Una gramática G= (N, Σ, S, P) se dice bien formada si: 1. No tiene símbolos inaccesibles. 2. No tiene símbolos muertos. 3. No tiene reglas innecesarias. 4. No contiene reglas de producciones-ε. 11

12 5. No contiene reglas unitarias. 6. En caso de que contenga la regla S ɛ, también la gramática G = (N,Σ, S, P ) con P = P- {S ε} es una gramática bien formada. 11. Algoritmo para obtener una gramática bien formada Algoritmo 6 Algoritmo para una gramática bien formada Entrada: Una gramática G Salida: Una gramática G bien formada. Eliminar reglas innecesarias. Eliminar reglas de producciones-ε. Si G contiene S ɛ, aplicar el algoritmo sin esta regla y agregarla al final del proceso. Eliminar las reglas unitarias. Eliminar los símbolos muertos. Eliminar los símbolos inaccesibles. 12