Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza. 3 de febrero de Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá 1/ 45
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- Monica Martínez Rojas
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1 Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá 3 de febrero de / 45
2 Parte I 2/ 45
3 Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplos A = {Laura, Gabriela, Diana} B = {Cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio} C = {2,3,5,7,11,13, 17,19,23, 29,...} D = {x x es un estudiante activo de la UN} 3/ 45
4 determinados por extensión y por comprensión Extensión y Comprensión Cuando un conjunto es descrito por un propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. 4/ 45
5 determinados por extensión y por comprensión Extensión y Comprensión Cuando un conjunto es descrito por un propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. Cuando damos una lista expĺıcita de los elementos del conjunto, decimos que está determinado por extensión. 4/ 45
6 determinados por extensión y por comprensión Ejemplo A = {x x es un número impar positivo,menor que 30} A = {1,3,5,7,9,11,13,15, 17,19,21, 23, 25,27,29} 5/ 45
7 determinados por extensión y por comprensión Ejemplo B = {x x es un entero mayor que -3} B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Ejemplo B = {x x es un entero mayor o igual que -3} B = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} 6/ 45
8 determinados por extensión y por comprensión Ejemplo C = {x x es un número par y primo} C = {2} Ejemplo C = {x x es un número impar y primo} C = {3,5,7,11,13,17,19,23,...} 7/ 45
9 determinados por extensión y por comprensión Ejemplos Consideremos el conjunto D = {x x es par, primo y mayor que 5} 8/ 45
10 determinados por extensión y por comprensión Ejemplos Consideremos el conjunto D = {x x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se acostumbra a notar por o { }. 8/ 45
11 determinados por extensión y por comprensión Ejemplos Consideremos el conjunto D = {x x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se acostumbra a notar por o { }. OJO { } NO es el conjunto vacío, es un conjunto con un elemento. 8/ 45
12 Pertenencia Definición Consideremos una relación binaria denotada por, definida entre un elemento a y un conjunto A. Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamos por a A. En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a / A. 9/ 45
13 Conjunto de referencia o conjunto universal Consideremos el conjunto A = {x x es primo }, hay un conjunto de referencia? letras? colores? reales? naturales? El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjunto lo tomamos como conjunto universal. 10 /45
14 Conjunto de referencia o conjunto universal Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U : N U : R U : Z U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional U : Habitantes de Colombia 11 /45
15 Subconjuntos Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A B y se lee A está contenido en B. En otras palabras ( x)(x A x B). Para decir que A B negamos la proposición anterior así: ( x)(x A x B) ( x)(x A x / B) 12 /45
16 Diagramas de Venn B U A Figura: A B 13 /45
17 Subconjuntos Propiedades Dado un conjunto A se tiene que A. 14 /45
18 Subconjuntos Propiedades Dado un conjunto A se tiene que A. Pues de no ser así, existiría x tal que x / A, lo cual contradice el hecho de que vacío no tiene elementos. 14 /45
19 Subconjuntos Si A B y B C entonces A C. Veamos { ( x)(x A x B) = ( x)(x A x C) ( x)(x B x C) 15 /45
20 Igualdad entre conjuntos Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A B y B A. En otras palabras ( x)(x A x B) 16 /45
21 Subconjuntos Ejemplo Sean A = {1,2,3,4,5,6,7, 8}, B = {2,4,6,8}, C = {1,3,5,7,9}. Tenemos que B A, pero C A. 17 /45
22 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Conjunto Potencia o conjunto de Partes Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X X A}. 18 /45
23 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Conjunto Potencia o conjunto de Partes Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X X A}. Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A. 18 /45
24 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. 19 /45
25 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. 19 /45
26 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. Ejemplo Sea A = {a,b}. 19 /45
27 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. Ejemplo Sea A = {a,b}. P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}. 19 /45
28 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. Ejemplo Sea A = {a,b}. P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}. Ejemplo Sea A = {a,b,c}. 19 /45
29 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {, {a}}. Ejemplo Sea A = {a,b}. P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}. Ejemplo Sea A = {a,b,c}. P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a, c}, {b,c}, {a,b,c}}. 19 /45
30 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Propiedades Si A B entonces P(A) P(B). 20 /45
31 Conjunto Potencia o conjunto de Partes Propiedades Si A B entonces P(A) P(B). Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2 n elementos. 20 /45
32 Operaciones entre conjuntos Unión Sean A y B dos conjuntos, definimos la unión de A y B como A B := {x x A o x B}. 21 /45
33 Unión A B U Figura: A B 22 /45
34 Intersección Intersección Sean A y B dos conjuntos, definimos la intersección de A y B como A B := {x x A y x B}. 23 /45
35 Intersección A B U Figura: A B 24 /45
36 Unión e Intersección Propiedades A B = B A 25 /45
37 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A 25 /45
38 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A A = 25 /45
39 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A A = A = A 25 /45
40 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A A = A = A A A = A 25 /45
41 Unión e Intersección Propiedades A B = B A A B = B A A = A = A A A = A A A = A 25 /45
42 Unión e Intersección Propiedades A A B 26 /45
43 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A 26 /45
44 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A (A B) C = A (B C) 26 /45
45 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 26 /45
46 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) 26 /45
47 Unión e Intersección Propiedades A A B A B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 26 /45
48 Complemento Definición Sea A un conjunto considerado como subconjunto de un conjunto universal U. Definimos el complemento de A (con respecto a U) como A = {a U a / A}. El complemento de A se nota por A o por A C. 27 /45
49 Complemento U A A Figura: A 28 /45
50 Complemento Propiedades A = A 29 /45
51 Complemento Propiedades A = A A B si y sólo si B A 29 /45
52 Complemento Propiedades A = A A B si y sólo si B A (A B) = A B 29 /45
53 Complemento Propiedades A = A A B si y sólo si B A (A B) = A B (A B) = A B 29 /45
54 Diferencia Definición Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B como A B = {x x A x / B} 30 /45
55 Diferencia A B U Figura: A B 31 /45
56 Diferencia Propiedades A B = A B 32 /45
57 Diferencia Propiedades A B = A B A A = 32 /45
58 Diferencia Propiedades A B = A B A A = A = A 32 /45
59 Diferencia Propiedades A B = A B A A = A = A A B = A si y sólo si A B = 32 /45
60 Diferencia Propiedades A B = A B A A = A = A A B = A si y sólo si A B = A B = si y sólo si A B 32 /45
61 Diferencia Ejercicio Sean U = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k}, A = {a,b,d,f,h}, B = {b,c,d,e,f} y C = {c,g,h,k}. Encuentre A B B A (A B) C 33 /45
62 Diferencia Simétrica Definición Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia simétrica de A y B como A B = (A B) (B A) 34 /45
63 Diferencia Simétrica A B U Figura: A B 35 /45
64 Diferencia Simétrica Propiedades A B = B A 36 /45
65 Diferencia Simétrica Propiedades A B = B A A = A 36 /45
66 Diferencia Simétrica Propiedades A B = B A A = A A A = 36 /45
67 Diferencia Simétrica Propiedades A B = B A A = A A A = Si A B entonces A B = B A 36 /45
68 Producto Cartesiano Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado por A B como A B := {(a,b) a A b B}. 37 /45
69 Producto Cartesiano Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado por A B como A B := {(a,b) a A b B}. Los elementos de A B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre lo indica importa el orden en que aparece, esto es, (a,b) (b,a). Así B A = {(b,a) b B a A} 37 /45
70 Producto Cartesiano Ejercicio Sean A = {a,b,c} y B = {1,2}. Encuentre A B B A 38 /45
71 Producto Cartesiano Propiedades A B es igual a B A? 39 /45
72 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(a) = k. Ejemplo Si A = {a,b,c} entonces n(a) = 3 Si B = {x x es primo y x < 12} entonces n(b) = 40 /45
73 Cardinal de un conjunto Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier número natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(a) = k. Ejemplo Si A = {a,b,c} entonces n(a) = 3 Si B = {x x es primo y x < 12} entonces n(b) = 5 40 /45
74 Producto Cartesiano Número cardinal de un producto cartesiano Si n(a) = a y n(b) = b, entonces n(a B) = n(b A) = n(a) n(b) = n(b) n(a) = ab. 41 /45
75 Producto Cartesiano Ejercicios Encuentre el número cardinal en cada caso Si n(a B) = 36 y n(a) = 12, encuentre n(b) Si n(a B) = 100 y n(b) = 4, encuentre n(a) 42 /45
76 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x x U x / A} 43 /45
77 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x x U x / A} La unión de A y B es A B = {x x A x B} 43 /45
78 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x x U x / A} La unión de A y B es A B = {x x A x B} La intersección de A y B es A B = {x x A x B} 43 /45
79 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x x U x / A} La unión de A y B es A B = {x x A x B} La intersección de A y B es A B = {x x A x B} La diferencia de A y B es A B = {x x A x / B} 43 /45
80 Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A = {x x U x / A} La unión de A y B es A B = {x x A x B} La intersección de A y B es A B = {x x A x B} La diferencia de A y B es A B = {x x A x / B} La diferencia simétrica de A y B es A B = {x (x A x / B) (x / A x B)} 43 /45
81 Resumen Leyes de De Morgan Para dos conjuntos A y B (A B) = A B (A B) = A B 44 /45
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