Guía de conjuntos. 1ero A y B La importancia del lenguaje.

Transcripción

1 Guía de conjuntos. 1ero A y B La importancia del lenguaje. El lenguaje nos permite salir de nosotros mismos y comunicarnos con el mundo; a veces un gesto nos transmite un pensamiento o un sentimiento. Para transmitir un pensamiento necesitamos expresiones lingüísticas, que puedan ser interpretadas por otras personas. Generalmente nos comunicamos en forma verbal o escrita; a esta forma del lenguaje se lo llama LENGUAJE COLOQUIAL. A veces nos referimos a un objeto definiéndolo con una palabra, otras a través de un símbolo o un dibujo. Por ejemplo, si decimos la palabra avión El símbolo y el dibujo serían: Estas dos últimas maneras corresponden al LENGUAJE SIMBÓLICO y LENGUAJE GRÁFICO. En matemática se utilizan estos distintos lenguajes, por eso es necesario conocer los símbolos para poderlos usar correctamente e interpretarlos. Notaciones usuales del lenguaje matemático: Tal que U unión Intersección < Menor > Mayor mayor Y O Mayor o igual Menor o igual Igual Distinto Aproximadamente igual Para todo Incluido No incluido Pertenece No pertenece Entonces o implica Si y solo si 1

2 Conjuntos Les propongo agrupar las siguientes palabras por su utilidad. REGLA JABÓN DE LÁPIZ TOCADOR CACEROLA TENEDOR ESPUMA DE ESCUADRA AFEITAR DESODORANTE COLADOR GOMA DE MOCHILA BORRAR CUCHARÓN DENTÍFRICO SARTÉN 1) Conjunto de útiles escolares:.. 2) Conjunto de elementos de cocina:.. 3) Conjunto de artículos de perfumería:.. A la manera de agrupar elementos, teniendo en cuenta una característica común a todos ellos, matemáticamente se la denomina TEORÍA DE CONJUNTOS. Podemos nombrar entonces al primer conjunto A, al segundo B y al tercero C, entonces quedaría así: A= { ; ;..;.; } Su característica común es que son útiles escolares. B= {..;...;....;.. ;... } Su característica común es que son elementos que se encuentran en la cocina C= {..;. ;... ;.....} Su característica común es que son elementos de perfumería. Vemos entonces, que a cada conjunto lo podemos definir de dos maneras distintas: una es a través de nombrar a sus elementos, y la otra es nombrando la característica común a ellos. Estas dos maneras de definir los conjuntos, matemáticamente se llaman: POR EXTENSIÓN: se enumeran cada uno y todos los elementos del conjunto, sin repetirlos. POR COMPRENSIÓN: Se coloca la característica común a todos ellos. 2

3 Veamos cómo quedan por comprensión los conjuntos anteriores. A= {x/x es un útil escolar} B= {x/x es un elemento de cocina} C= {x/x es un artículo de perfumería} Los conjuntos también se pueden diagramar. El diagrama que usamos es el llamado DIAGRAMA DE VENN U A B C Ubicar dentro de cada uno de ellos, sus elementos. Usando algunos símbolos de los vistos al comienzo, podemos afirmar que Escuadra A, como también que sartén B y que Regla B, etc. Si definimos un conjunto S= {x/x es un artículo de supermercado}, podríamos afirmar que los elementos del conjunto A, B y C, están dentro del conjunto S. Simbólicamente, que un conjunto esté dentro de otro se expresa con el símbolo de inclusión y no con el de pertenencia. Importante: Elemento dentro de conjunto, se usa y su negación Conjunto dentro de conjunto, se usa y su negación. 3

4 CONJUNTO REFERENCIAL O UNIVERSAL. Es el conjunto que abarca todos los elementos del tema de referencia. Se simboliza con U y su diagrama es un rectángulo. CONJUNTO VACÍO. Es el conjunto que carece de elementos. Se lo suele llamar conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }. Ejemplo: A = { Los perros que vuelan } A = { } O bien A = Ø B = { x / x es un mes que tiene 53 días} B = { } O bien B = Ø D = { x / x es un día de 90 horas } D = { } O bien D = Ø Importante: No se debe escribir {ø}, porque entonces no sería un conjunto vacío. Cardinal de un conjunto. La cantidad de elementos que pertenecen a un conjunto, recibe el nombre de Cardinal del conjunto y se lo simboliza con # Si no tiene elementos se lo llama conjunto vacío; si tiene un elemento se lo llama conjunto unitario; si tiene dos elementos conjunto binario; si tiene tres elementos conjunto ternario. Relación de Igualdad. Definimos los siguientes conjuntos M= {x/x es un número dígito impar} que por extensión sería M= { } P= {x/x es una cifra del número } que por extensión sería P= { } A continuación, diagramar la situación Decimos entonces que: Dos conjuntos son iguales cuando se verifica la doble inclusión, es decir que todos sus elementos son iguales. M P P M M = P 4

5 Conjunto de partes Christian, Matías y Agustín se reunieron un día de las vacaciones para jugar. Se pueden formar, con ellos, distintos equipos 1) Si cada uno de ellos jugó solito {Chris}, {Agus} y {Mati} 2) Si jugaron de a dos {Chris, Mati}, {Chris, Agus}, {Mati, Agus} 3) Si jugaron entre los tres {Agus, Mati, Chris} 4) Puede ser que hayan decidido no jugar, entonces sería {} Importante: El ø siempre es una posibilidad dentro del conjunto de partes. Cada una de estas posibilidades es un subconjunto formado entre los tres amigos, y lo llamamos Conjunto de partes y se simboliza P(A). Ejemplo: Siendo A= {Agus, Chris Mati} P(A)= {{Chris}, {Agus}, {Mati}, {Chris, Mati}, {Chris, Agus}, {Mati, Agus}, {Agus, Mati, Chris}, ø}} Propiedades de los conjuntos. 1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. A A 2. Para todo A, B y C se verifica que Si A B B C A C 3. El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. 4. Dos conjuntos son iguales, si todo elemento del primero pertenece al segundo y viceversa. A = B A B B A Ejercitación 1. Expresar por extensión los siguientes conjuntos a) A b) B c) C x / x N x 4 x 20 x / x es x / x es provincia de la Re pública Argentina que comienza con " N capital de las provincias que int egran la región de Cuyo " 5

6 d) D e) E f ) F g) G h) H i) I x x / x N 2 x 7 / x es vocal de la x / x es x / x N x12 x / x N x / x N Ejercitación 2. x 5 x 0 palabra " MINUTO" planeta del sistema solar que empieza con " M " x 25 Expresar por comprensión los siguientes conjuntos: a) M b) T c) S d) D e) L a; m ; 11;13;15;17 e; o París a; s; e; t Ejercitación 3. Paraguay; Perú Dados los conjuntos A, B y C, expresarlos por extensión y completar en los espacios, con los símbolos ; ; ; según corresponda. A B C x / x N x 8 x / x N x / x N x 4 par 2 x 10 A... B A... C 1 ; 8... A 8 ; 2... B 4 ; 8 ; 1... C... P( A) C 4; 1... P( B) B B Operaciones entre conjuntos. Las operaciones fundamentales de la aritmética son las ya conocidas Adición y Multiplicación. Ahora, por analogía, definiremos las operaciones entre conjuntos: UNIÓN DIFERENCIA INTERSECCIÓN COMPLEMENTACIÓN Estas operaciones nos permiten transformar dos o más conjuntos en un nuevo conjunto. Así se construye el Algebra de conjuntos. 6

7 1) La UNIÓN de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x A o x B} En forma gráfica: Cuando no tienen Cuando tienen algunos elementos comunes Ejemplos: Cuando todos los elementos de un elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar las operaciones y construir los diagramas respectivos: a) A U C sabiendo que A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } A U C = { 0, 1, 2, 3, 4,, 6, 8 } b) B U C sabiendo que B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 } Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 } 7

8 Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C c) A U C sabiendo que A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 } A U B = {, 1,, 3,, 5 } Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B 2) La INTERSECCIÓN entre dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos comunes a A y B. Se denota A B y se lee: A intersección B. La intersección de A y B se define como: A B = {x / x A y x B} En forma gráfica sería: Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un elementos comunes elementos comunes Ejemplos: conjunto pertenecen a otro conjunto Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}, efectuar las operaciones y construir los diagramas respectivos: a) A C sabiendo que A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {2, 4} A C = {, } 8

9 b) B C sabiendo que B = {3, 5, 7} y C = {2, 4} Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C B C = { } Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C c) A B sabiendo que A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 } A B = {, } Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en común entonces A y B son CONJUNTOS DISJUNTOS. Ejemplos: Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s } 9

10 B = { 1, 3, 5 } A y B son disjuntos. N = { s, t, v, u } M y N no son disjuntos. C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética } D = { x/x es un número } C y D son disjuntos Q = { x/x es una letra de la palabra algebra } P y Q no son disjuntos 3) Se denomina DIFERENCIA entre dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B. Se denota por A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. La diferencia se define como: A - B = {x / x A y x B} Gráficamente sería Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto Ejemplos: Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g}, efectuar las operaciones y construir los diagramas respectivos: a) A C sabiendo que A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g } A - C = { a, b, c, e } Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C 10

11 b) B C sabiendo que B = { a, e } y C = { d, f, g } B - C = { a, e } Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C c) A B sabiendo que A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e } A - B = { b, c, d } Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B 4) Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se lo llama COMPLEMENTO de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa: A = A = A C = {x / x U y x A} Ejemplo: Sean U = {m, a, r, t, e} y A = {t, e} El complemento de A es A' = {m, a, r} Propiedades 11

12 Las operaciones unión e intersección verifican las siguientes propiedades: PROPIEDADES UNION INTERSECCION Idempotencia A A = A A A = A Conmutativa A B = B A A B = B A Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C Absorción A ( A B ) = A A ( A B ) = A Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Complementariedad A A' = U Además se verifican también las siguientes propiedades: A A' = A = A A = A U = U A U = A (A B)' = A' B' y ( A B )' = A' B' ( leyes de Morgan ). Ejercitación 4: En los siguientes ejercicios, elegir la opción correcta. 1) La unión de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l} A U B = {c, h, a} A U B = {a, c, h, l, r, t} A U B = {l, r, t} 2) La intersección de conjuntos de A = {n, e, w, s} y B = {n, o, t, i, c, a} Es un conjunto vacío Es un conjunto unitario Es un conjunto universal 3) La diferencia de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l} A - B = { c, h, a } A - B = { r, l } A - B = { t } 4) Si U = {x/x letras de la palabra internacional} y A = {x/x letras de la palabra Internet }. El complemento de A es A' = {i, n, t, e, r} A' = {n, a, c, i, o, l} A' = {a, c, i, o, l} 12

13 5) Se considera el referencial U = {x/ x N y 1 < x < 10} y los conjuntos A={2,4,7,9}; B={1,2,3,4,5} ; C= {2,4,6,8} Resolver y graficar a) AUB b) A B c) AUB d) A B i) A C B A B j) C A B f ) C AUB g) A B e) CU 6) Resolver los siguientes problemas de conteo. h) AU B C a) En una empresa de 420 empleados, 240 tienen su casa, 115 tienen su automóvil, y 60 tienen casa y automóvil. i) Cuantos empleados no tienen casa ni automóvil? ii) Cuantos empleados solo tienen casa? iii) Cuantos empleados solo tienen automóvil? b) En un grupo de 150 estudiantes, 83 proyectan ir de vacaciones con sus familias, 67 proyectan las vacaciones con amigos y 45 se irán de vacaciones con sus familias y con amigos. i) Cuantos estudiantes de ese grupo no saldrán de vacaciones? ii) Cuantos estudiantes de ese grupo tienen un solo proyecto de vacaciones? c) En una universidad de 1100 alumnos, 630 practican deportes, 300 asisten a un gimnasio y 500 practican yoga. Hay 130 que practican deportes y asisten al gimnasio, 300 practican deportes y yoga, 120 concurren al gimnasio y practican yoga, y 50 hacen las tres actividades mencionadas. i) Cuantos practican deportes y asisten al gimnasio pero no hacen yoga? ii) Cuantos practican solo deportes? iii) Cuantos estudian no practican ninguna de las actividades mencionadas? d) Un conjunto referencial U posee 100 elementos, A, B y C son tres subconjuntos de U. Sabemos también que A posee 70 elementos, B y C 40 elementos cada uno, A B tiene 30 elementos, A C tiene 25, B C cuenta con 15 y A B C solo 10 elementos. Calcular la cantidad de elementos de i) U ii) ( B U C ) iii) ( A U B U C )` e) En una caja de 350 bombones, hay: 20 bombones cuadrados de dulce de leche y licor; 40 bombones cuadrados y de dulce de leche; 30 bombones de dulce de leche y licor;50 bombones cuadrados y de licor; 10 bombones de dulce de leche solamente; 110 bombones de licor y 140 bombones cuadrados. Se desea saber i. Cuántos bombones de dulce de leche posee la caja? 13

14 ii. iii. iv. Cuántos bombones hay de licor solamente? Cuántos bombones hay solamente cuadrados? Cuántos bombones de un solo gusto hay? f) En una muestra de 200 estudiantes adolescentes, se han obtenido los siguientes datos: 148 estudiantes hablan inglés; 34 estudiantes hablan italiano; 50 estudiantes hablan francés; 8 estudiantes hablan los tres idiomas; 10 estudiantes hablan inglés e italiano; 22 estudiantes hablan inglés y francés; 12 estudiantes hablan francés e italiano. Se desea conocer: i. Cuántos hablan un solo idioma? ii. Cuántos no hablan ningún idioma? iii. Cuántos hablan por lo menos un idioma? iv. Cuántos hablan por lo menos dos idiomas? 14