Semántica del Cálculo Proposicional

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1 Semántica del Cálculo Proposicional Revisiones: Abril y Mayo del Abril 2006 Á 1. Valuación como función. Notación: Con Form se identifica al conjunto de todas las fómulas y Var al conjunto de todas las variables proposicionales. El conjunto booleano {0, 1} se denota con 2. Definición: La función v es una valuación si y solo si v : Form 2 Teorema: Sea - : Var 2, existe una única valuación v : Form 2 que extiende a -, es decir, - (p i ) = v (p i ) para todo i ± 1. PRUEBA: DE EXISTENCIA Y DE UNICIDAD: Una analogía:. Cualquier función definida sobre los vectores de la base canónica del plano, se puede extender a todo el plano.

2 NOTAS-SemanticaCalcProp.nb Á 2. Tautologías contradicciones y contingencias. Teniendo el concepto de valuación Cómo será ésta en diferentes clases de fórmula? Una fórmula D es una tautología si para toda v valuación v(d) = 1. Una fórmula D es una contradicción si para toda v valuación v(d) = 0. Una fórmula D es una contingencia si existen v, v' valuaciones tal que v(d) = 1 y v' (D) = 0. Ejemplo: Probar que si D, E ± Form, entonces J = ((D Á E) Á (E Á D)) es una tautología. Sea v una valuación v(j) = MAX( v(d Á E), v(e Á D)) [[ Por definición de la valuación de una disyunción]] = MAX( MAX(1- v(d), v(e)), MAX(1- v(e), v(d))) [[ Idem, de una implicación ]] ]] = MAX(1- v(d), v(e), 1- v(e), v(d)) [[ Por definición de máximo = 1 [[ Por definición de valuación ]] Ejemplo: Probar que si D, E ± Form, D y E no tienen variables en común, D y E son contingencias, entonces J = ((D Á E) Á E) es una contingencia. i) Sea v, v' valuaciones tal que v(d) = v'(e) = 0, [ [v, v'se pueden definir por ser D y E contingencias ]] ii) Sea w otra valuación definida de la siguiente manera: En Var(D) w coincide con v, en Var(E) w coincide con v' y en las restantes variables w vale 0. [[ Esta definición es posible pues las fórmulas D y E no tienen variables en común ]] iii) Entonces, w(d) = w(e) = 0, entonces, w(j) = 0. iv) De manera análoga se puede construir una valuación w' tal que w'(j) = 1.

3 08-05-NOTAS-SemanticaCalcProp.nb 3 Observación: La proposición del ejemplo actual resulta falsa si no se pide que las fórmulas y carezcan de variables en común, veamos: = p 1, = p 1, ambas son contingencias, pero (( p 1 p 1 ) p 1 ) es una Tautología. Á 3. Equivalencia Definición: Dos fórmulas D, E son equivalentes (es la notación es D E) si coinciden en todas las valuaciones, es decir, para toda v valuación, v(d) = v(e). Teorema: Sean D ± Form y sean v, v' valuaciones tal que ambas coinciden en Var(D), entonces, v(d) = v'(d) PRUEBA: Por inducción en la complejidad de D. Á 4. Conectivos: Conjuntos adecuados y no adecuados. Conjuntos adecuados de conectivos. El conjunto adecuado de conectivos definidos en el lenguaje del Cálculo Proposicional es: {,,, } Como la implicación se puede expresar en terminos del conjunto {, } nos queda como conjunto adecuado de concetivos {,, }. 1) es adecuado {, }? (x y) ( x y), entonces ( x y) (x y) 2) es adecuado {, }? (x y) ( x y), entonces ( x y) (x y) 3) Es adecuado {, }? ( x y) x y (x y) ( ( x y)) (x y) Ejemplo del uso de {, } para expresar la conjunción:

4 NOTAS-SemanticaCalcProp.nb Clear B, x, y ; B x_, y_ : LogicalExpand Implies x, y ; B p, q p&&q Conectivo ternario adecuado Sea el conectivo ternario definido por T(x, y, z) = (x Á ( y Á z)) es adecuado. Prueba: T (x, y, z) = (x Á (y Á z)) Sean p, q elementos de Var. T (p, p, p) (p Á (p Á p)) ( p Ñ ( p Ñ p)) p T (p, T (q, q, q), T (q, q, q)) T (p, q, q) (p Á ( q Á q)) ( p Ñ (q Ñ q)) ( p Ñ q) Conjuntos adecuados de un solo elemento: Barra de Nicod y Sheffer. Barra de Nicod:, fórmulas, entonces ( ) es una formula equivalente a ( ) Prueba: (Se debe probar que es adecuado) Exploración: Conectivo barra de Nicod: Ni(x,y) = (x y) Clear! x, y, Ni" ; Ni! x_, y_ " :# LogicalExpand! $ % x &'& y( ) ; Ni * P, P ) + P Ni, P, Q - + P&& + Q Ni, Ni, P, P -, Ni, Q, Q - - P&&Q Barra de Sheffer:, / fórmulas, entonces. / es una formula equivalente a (. 0 / ) Prueba: (Se debe probar que es adecuado)

5 : NOTAS-SemanticaCalcProp.nb 5 Exploración: Conectivo barra de Sheffer: Sh(x,y) = (x1 y) Clear 2 x, y, Sh 3 ; Sh 2 x_, y_ 3 :4 LogicalExpand x && y7 3 ; Sh 2 P, P P es una variable 8 9 : P Sh ; P, Q < = 8 P y Q son variables 8 9 P >'>? Q P, P A, Q, Q A A P >'> Q

6 NOTAS-SemanticaCalcProp.nb Conjuntos no adecuados de conectivos Decidir si el conjunto de conectivos binarios {B, C } es adecuado: Si no se puede expresar un conjunto adecuado de conectivos a partir del conjunto dado, entonces corresponde probar que no es adecuado. Proposición: Sea D una fórmula escrita en términos de {Â, Á}, y además, w: VAR E 2, es una valuación tal que w(p i ) = 1; para toda p i F VAR, entonces, se verifica que, w(g ) = 1. Prueba por inducción en la complejidad de G : c(g ) = n. Base: c(g ) = n = 0 H G =p i H w(p i ) = w(g ) = 1 Por definición de w. H.I.: c(g ) < n > 0, entonces, w(g ) = 1. Tesis: c(g ) = n > 0, entonces, w(g ) = 1. Prueba: c(g ) = n > 0 H G = G ' I J '' con I K {Â, Á} y además c(j ') < n y c(j '') < n, por consiguiente, puedo aplicar H.I. a J ' y J '', luego w(j ') = w(j '') = 1 entonces w(j ) = Max (w(j '), w(j '')) o bien w(j ) = Min (w(j '), w(j '')), según cual sea el conectivo I, y en ambos casos es 1. Digresión: El objetivo original era probar que {L, M } no es adecuado y hemos probado que cuando definimos una valuación que manda a todo VAR al 1, entonces, a todas las formulas escritas con este conjunto de conectivos, la valuación precedente las manda al 1. Esto indica que en el conjunto de formulas de este lenguaje no hay contradicciones, pues si hubiera al menos una contradicción, entonces la valuación la hubiese mandado al 0. Luego {Â, Á} no permite expresar contradicciones. entonces, NO ES ADECUADO

7 08-05-NOTAS-SemanticaCalcProp.nb 7 Decidir si el conjunto { } es adecuado: Proposición: Sea N una fórmula escrita en términos de { }, y además, v: VAR O 2, es una valuación tal que v(p i ) = 1; para toda p i P VAR, y w: VAR O 2, es una valuación tal que w(p i ) = 0; para toda p i P VAR entonces, N P Q R no puede ser una tautología. Prueba: Sea S = ( (... ( p i )...) tal que la cantidad de negaciones sea par, entonces, v(s ) = 1 y w(s ) = 0. La otra alternativa es que la cantidad de negaciones sea impar, luego, v(s ) = 0 y w(s ) = 1. Conectivos ternarios no adecuados. Ahora bien, que pasa con el siguiente operador: T(x, y, z) = ((x y) z)? Si es adecuado, permitiría, en particular, expresar contradiciones: Sea una fórmula escrita utilizando el operador T, tal que es una contradición, entonces, para toda valuación v : Var 2, v(s ) = 0. Es esto posible? Proposición: Sea una fórmula escrita en terminos de T, entonces, si w: VAR 2, es una valuación tal que w(p i ) = 1 para toda p i VAR, entonces, w(s ) = 1. Prueba por induccion en la complejidad de : c(s ) = n. Base n = 0. = p i w(p i ) = w(s ) = 1 Por definicion de w. H.I.: c(s ) < n > 0, entonces, w(s ) = 1. Tesis: c(s ) = n > 0, entonces, w(s ) = 1. Prueba: Si c(s ) = n > 0, entonces, = T(W 1, 2, 3) donde cx iz n, para i 1, 2, 3; luego para 1, 2, 3, puedo aplicar la H.I., entonces, w 1_ w^ 2_ w 3_ 1, entonces w(` ) = 1. Luego T no permite expresar contradiciones. Se puede observar que una prueba análoga sirve para demostrar que T tampoco permite expresar tautologías.

8 NOTAS-SemanticaCalcProp.nb Á 5. CONCECUENCIA SEMANTICA Definición: Sea * Form, D ± Form es consecuencia semántica de *, si para toda v valuación, v : Form 2, que verifique v(j) = 1 para toda J ± *, entonces, v(d) = 1. Notación: D ± C(*) o bien, * D Ejemplo: * = {p 1, p 2 }; D = (p 1 Â p 2 ); D ± C(*). Ejemplo: * puede ser infinito; * = { p 1, p 2, p 3,..., p i,...} con i ± 1, i > 1. Si D = (p 0 Á p 2 ) entonces D ± C(*). Si D = (p 0 Â p 2 ) entonces D ² C(*). p 0 ² C(*).

9 08-05-NOTAS-SemanticaCalcProp.nb 9 Á 6. Conjuntos satisfacibles de fórmulas DEFINICION: Sea * Form es satisfacible (SAT) si existe v valuación, v : Form 2, que verifique v(j) = 1 para toda J ± *. En caso contrario * Form es Insatisfacible. Ejemplo 1: * = {p 1, p 2, ( p 2 Á p 1 )}; v(p 0 ) = 0, v(p 1 ) = 1, v(p 2 ) = 1, v(p i ) = 0 i >2, i ± 1. * es SAT. Ejemplo 2: * = { p 1, p 2, (p 1 Á p 2 )}; * es INSAT. Proposición: Sea * Form un conjunto finito, * = {D 0, D 1,..., D na 1 }, entonces, *es Insatisfacible si y solo si (D 0 Â D 1 Â... Â D na 1 ) es una contradicción. Abuso de notación: (b 0 c b 1 c... c b nd 1 ) es una forma abreviada de escribir ((...(e 0 f e 1 ) f... ) f e nd 1 ) Prueba: Supongamos por el contrario que existe v valuación, tal que v(d 0 Â D 1 Â... Â D ng 1 ) = 1; entonces v(d 0 ) = 1,..., v(d ng 1 ) = 1 Á * es SAT. (Absurdo) OBSERVACIONES: 1. Sea * Form, * SAT, * finito, entonces existen infinitas valuaciones que satisfacen a * pues cada valuación depende de un número finito de variables. (Probarlo) 2. Si *es infinito y además Var *, entonces, la valuación que satisface a * es única. Porque? Ejemplo: Donde * es infinito y Var * * = {p 0, p 1, p 2, p 3, p 4,..., p 2 i, p 2 i h 1,...} i ± 1 La única valuación que satisface a * es: v(p 0 ) = 1, v(p 1 ) = 1, v(p 2 ) = 0, v(p 3 ) = 1, v(p 2 i ) = 0, v(p 2 ih 1 ) = 1, i U1, i ± 1. Porque es única? Además, podemos ver una fórmula que no es consecuencia de i : j = (p 1 k p 8 ), v(j ) = 0, entonces, j l C(m ).

10 NOTAS-SemanticaCalcProp.nb Modelo: Cada valuación que satisface a * equivale a un modelo que satisface las hipótesis. Á 7. PROPIEDADES DE LA CONSECUENCIA. 1. Sean * Form, si D ± * entonces D ± C(*) entonces * C(*). En general, * œ C(*), bajo que condiciones puede ser * igual a sus consecuencias? 2. Si * = Form, entonces, D ± Form se verifica que D ± C(*). Prueba: * C(*) Form (Por la propiedad 1) Form C(*) Form (Por hipótesis, * = Form ) C(*) = Form (Por definición de igualdad de conjuntos) 3. Si * =, Qué es C(*)? Qué valuaciones satisfacen al vacío? Proposición: Toda valuación satisface al vacío; pues D ± Á v(d) = 1, es verdadera para toda v valuación. Luego, C( ) = Tautologías. 4. Si * = {(p 1  p 1 )} entonces Form C(*) 5. * 1 * 2 Á C(* 1 ) C(* 2 ) Prueba: Toda valuación v que satisface a * 2 también satisface a * 1 y por definición de consecuencia satisface a C(* 1 ) y C(* 2 ), sea J ± C(* 1 ) todas las valuaciones v que satisfacen a * 2 valen v(j) = 1 y al mismo tiempo satisfacen a las C(* 2 ), luego J ± C(* 2 ), entonces, C(* 1 ) C(* 2 ) 6. C(C(*)) = C(*) Prueba: i) Por la propiedad 1, C(*) C(C(*)) ii) Falta probar C(C(*)) C(*), Sea J ± C(C(*)) supongamos que J ² C(*) entonces sea v valuación tal que v(*) {1} y v(j) = 0, por otra parte J ± C(C(*)), entonces para la misma valuación v que manda a * al 1 y a C(*) al 1, también mandará a

11 08-05-NOTAS-SemanticaCalcProp.nb 11 C(C(*)) al 1, entonces v(j) = 1. Absurdo.- Por lo visto, la consecuencia es un operador de clausura. Concepto de operador de clausura: Un operador de clausura sobre un conjunto X es una función *: 7(X) ] 7(X) que verifica: i) *( ) = ii) iii) *(*(A)) = *(A) Para todo A ± 7(X) A B Á *(A) *(B) Si además se verifica que: iv) A, B ± 7(X), *(A B) = *(A) *(B) (esto no lo cumple la consecuencia lógica) Se dice que * es aditiva y en este caso * induce una topología, donde A ± 7(X) es cerrado si *(A) = A. Nota: Un conjunto se dice abierto si su complemento es cerrado. 7. Teorema: Si D ± Form, * Form, entonces D ± C( *) si y solo si * { D} es insatisfacible. Este teorema relaciona los conceptos de consecuencia y satisfacibilidad. 8. Teorema: Si D ± Form, entonces D ± C(Var) ó bien Var {D} es insatisfacible. Se puede observar que el teorema afirma, D ± Form, entonces D ± C(Var) ó bien D ± C(Var) Prueba: i) Si D ² C(Var) Á v tal que v(d) = 0 y v(j) = 1, J ± Var. ii) Si Var {D} es satisfacible, entonces existe una valuación w tal que w(d) = 1 y w(j) = 1, J ± Var. Pero v y w son dos valuaciones que coinciden en Var, luego no puede ocurrir que v(d) = 0 y w(d) = 1, entonces se ha llegado a una contradicción.- Á 8. Conjuntos Independientes. Bases.

12 NOTAS-SemanticaCalcProp.nb Definición: * es independiente si D ± *, D ² C( * - {D}) También podemos decir que * es dependiente si D ± * tal que D ± C( * - {D}) Definición: Se llama base a un conjunto de fórmulas independientes que no se puede extender (agregarle fórmulas) tal que mantenga la independencia. Ejemplo: * = Var es independiente. Prueba: Debo verificar que p i ² C(* - {p i }), sea v(p i ) = 0 y v(p j ) = 1 j œ i, j ± 1. Ejemplo: i) * = Var, D = (p 1  p 1 ), * {D} es independiente? No, pues al ser D Contradicción, cualquier J ± * es consecuencia de ( *- {J} ) {D}. Resumiendo, Sea D Contradicción, D ² C(*) y * {D} es dependiente. Nota: En este caso colocar que n o C(p ) es redundante pues no existe otra posibilidad al ser n una contradicción. ii) Sea D Tautología, D ± C(*) y * {D} es dependiente. Nota: Caso análogo al anterior, escribir n q C(r ) es redundante pues no existe otra posibilidad al ser s una tautología. Prueba: Por hipótesis D ± C(*) Á D ± C( (* {D}) - {D}) iii) Sea D Contingencia, D ² C(*) y * {D} es dependiente. Nota: Por ser D una contingencia es posible que D ± C(*) y * {D} es dependiente (trivialmente) por una prueba idéntica a la anterior. Veamos algunos casos concretos: i) D está en las consecuencias de *: * = Var, D = ( p 1 Á p 2 ), * {D} = Var ( p 1 Á p 2 ) es dependiente. ii) Caso en que D no está en las consecuencias de *: * = Var, D = ( p 1  p 2 ), evidentemente D ² C(*), entonces Â

13 08-05-NOTAS-SemanticaCalcProp.nb 13  * {D} = Var ( p 1  p 2 ) es dependiente pues es insatisfacible. Prueba: Como D ² C(*) * {D} es insatisfacible, entonces cualquier fórmula es consecuencia y el conjunto * {D} es dependiente. Conclusión: si * es Var no se lo puede extender sin que pierda su independencia, es una base. Á 9. TEOREMA DE LA DEDUCCIÓN (Semántico) Teorema: * {D} E x * (D Á E) Sean D, E ± Form, * Form, entonces E ± C( * {D}) si y solo si (D Á E) ± C( *) Prueba: [[ Á ]] (Por contra recíproco) Supongamos que (D Á E) ² C( *) entonces existe una valuación v que satisface a *, pero no satisface a (D Á E) luego v(d Á E) = 0 entonces v(d) = 1 y v(e) = 0 y además v satisface a * {D}, entonces E ² C( * {D}). Prueba: [[ ]] Si (D Á E) ± C( *) entonces, para toda v valuación que satisface a *, v(d Á E) = 1, ahora podemos hacer el análisis por casos: i) v(d) = 1 y v(e) = 1 entonces E ± C( * {D}) porque v(*) {1}, v(d) = 1 y v(e) = 1. ii) v(d) = 0 y v(e) = 1 entonces E ± C( * {D}) porque * {D} es insatisfacible. iii) v(d) = 0 y v(e) = 0 entonces E ± C( * {D}) porque * {D} es insatisfacible. Corolarios: Ê Si * = {D} entonces E ± C(*) si y solo si (DÁE) es tautología. O bien, en forma equivalente: Si * = {D} entonces E ± C(*) si y solo si (D  E) es insatisfacible. Ê Si * = {D 1, D 2,...,D n } entonces E ± C(*) si y solo si ( (D 1  D 2 Â... D n ) Á E ) es tautología.

14 NOTAS-SemanticaCalcProp.nb O bien, en forma equivalente: * = {D 1, D 2,...,D n } entonces E ± C(*) si y solo si (D 1  D 2 Â... D n  E ) es insatisfacible. Á 10. TEOREMA DE COMPACIDAD Teorema: Si D ± C(*), entonces existe *' *, *'finito, tal que D ± C(*'). Equivalencias: i) Sea * Form, * insatisfacible, entonces existe en * un subconjunto finito insatisfacible. Prueba: ii)sea * Form, si para todo *' *, *'finito, *'es satisfacible, entonces * es satisfacible. Prueba: A. H. Diolaiti - A. Petrovich Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Abril 2005 Revisado - Abril 2006 Profesor A. H. Diolaiti