Lógica de Proposiciones y de Predicado

Transcripción

1 Lógica de Proposiciones y de Predicado Franco D. Menendez LABIA FACET - UNT

2 Contenido de la Materia UNIDAD TEMÁTICA 1: SINTAXIS Y SEMANTICA DEL LENGUAJE FORMAL»SEMÁNTICA: Noción General. Definición Algebraica. Distribución de Valores de Verdad. Evaluación de EBF. Funciones de Verdad. Proposiciones Atómicas, simples y compuestas. Tablas de Verdad. Negación. Conjunción. Disyunción. Condicional. Bicondicional o Equivalencia. Fórmulas Proposicionales. Funciones M. Satisfacción de una fórmula, Validez y Consecuencia. Interpretaciones Booleanas. Tautologías, Contradicción e Indefinición (Contingencia). Propiedades de los Conectivos. Funciones de Verdad Lógica Trivalente. Definición. Lógicas Multivalentes. Lógicas Fuzzy

3 »Decibilidad del Conjunto F de las Expresiones Bien Formadas: Sea C la cadena de caracteres que debemos examinar: (1) C=«p» (donde p es cualquier v.p.) STOP EBF (2) C= A (donde A designa una cadena) TESTEAR A (3) C=(B (donde B designa una cadena) 3.1 B no termina con un parentesis cerrado «)» LEER B DE DERECHA A IZQUIERDA BUSCAR EL PRIMER CONECTOR BINARIO Se encuentra uno B= C * D TESTEAR C Y D No se encuentra conector. STOP. NO EBF 3.2 B termina con «)» LEER B DE DERECHA A IZQUIERDA BUSCAR EL PRIMER CONECTOR BINARIO POSTERIOR AL PRIMER PARENTESIS ABIERTO Se encuentra uno: B= E * F TESTEAR E Y F No se encuentra STOP NO EBF (4) No nos encontramos en ninguna de las situaciones. STOP NO EBF

4 »Definición Algebraica de la semántica del Lenguaje Proposicional: A los efectos de poder tratar de la manera booleana la semántica del lenguaje, confundiremos los valores de verdad (FALSO, VERDADERO) con la dupla (0,1);»Evaluación de las EBF: sea F una formula conformada por p0, p1,. pk, la semantica no dice bajo que condición px son verdaderos o falsos. Lo que permite es una interpretación de la distribución de valores de verdad del mismo, el cual determina el resultado de F.»Ejemplo (p (q r)) Donde δ(p)=0, δ(q)=1 δ( r) =1

5 Definición por Recurrencia de la Semántica de las EBF Sea δ una distribución de verdad que posee las variables proposicionales p1,p2,. Pn cuyos valores tomados del conjunto son {0,1}donde su notación será de la forma δ (p1). Definimos una aplicación F δ del conjunto F de las EBF sobre el conjunto Z={0,1}. F δ = F { 0,1 } La Función por recurrencia se define de la siguiente manera: 1.F δ (p) = δ (p) : " p V 2.F δ ( A) = δ (A) = 1 - F δ ( A) 3.F δ (A B) = (F δ (A ), F δ ( B))= MIN ((F δ (A ), F δ ( B)) 4.F δ (A B) = (F δ (A ), F δ ( B))= MAX ((F δ (A ), F δ ( B)) 5.F δ (A B) = (F δ (A ), F δ ( B))= MAX ((F δ ( A ), F δ ( B)) 6.F δ (A B) = (F δ (A ), F δ ( B))= MIN ((F δ (A B ), F δ ( B A))

6 Teorema de Restricción El valor de verdad de EBF solo depende de las variables proposicionales que intervienen en esta EBF. Demostración Sea F una EBF y a una variable proposicional, que no figura en F. sea d una distribución de valores de verdad cualquiera. Definimos d de la forma. d (p)= d(p) si p a d (p)= 1 - d(a) Demostremos que (F)=(F) por induccion sobre la formacion de F: 1.F=p, luego a p y por definición d (p)=d (p). Se cumple F d (p)=f d (p) 2.F= G, F d (F) = 1 - F d (G) por hipotesis de recurrencia F d (G)=F d (G) F d (F) = 1 - F d (G) = F d ( G) = F d (F) 3.F=G * H ( * es cualquier conectivo binario) F d (F) =* (F d (G), F d (H)) = * H.R (F d (G), F d (H)) = F d (F)

7 » Las naranjas maduran y el invierno se avecina» Las naranjas maduran porque el invierno se avecina Tradicionalmente se distingue entre la compresión y la extensión de las proposiciones. La compresión es el significado de la proposición, aquello que ella significa. La extensión es el ámbito, mayor o menor según que la proposición sea universal, particular o individual, al cual la proposición hace referencia. La lógica es una ciencia formal por lo que no se vincula con los hechos del mundo, es decir no con la amplitud de la realidad que la proposición abarca. La extensión se reduce al ámbito de ser verdadera o falsa.

8 TABLAS DE VERDAD Esta tabla se compone de dos partes. Una, ubicada a la izquierda, es la columna de referencia. Se coloca allí todos los valores posibles que puede asumir una o mas proposiciones. p p q V V V F V F F V F F

9 TABLAS DE VERDAD p V F p F V p q p q p q V V V F V F V V F V V V F F F F p q p q V V V V F F F V F F F F

10 TABLAS DE VERDAD El conector Bicondicional afirma que p es condición necesaria y suficiente para q, del mismo modo que q es necesaria y suficiente para p. Ejemplo:»Si y solo si un sistema está aislado, entonces su energía tal es constante.»si y solo si los vegetales vuelan, entonces Socrates vive.»si y solo si la leche alimenta, la tierra se mueve. p q p q V V V V F F F V F F F V

11 TABLAS DE VERDAD El conector Condicional presenta dificultades ya que su equivalencia gramatical «Si... Entonces» es solo parcial. Ejemplo:»Si es mamífero, es vertebrado.»si el peso supera los mil kilogramos, la balanza se estropea.»si estuviera muerto no respiraría. p q q p q p q) p q V V F F V V V F V V F F F V F F V V F F V F V V

12 FORMULAS PROPOSICIONALES La formula proposicional se la utiliza para reemplazar la palabra proposición o expresión proposicional. Este nuevo concepto fue creado por Chomsky. Nos sirve como base simbólica de la teoría en la construcción de compiladores Regla gramatical Simbolo:.= simbolo -1.. Simbolo -N Los símbolos que aparecen en el lado izquierdo son denominados no terminales. Mientras que los símbolos que aparecen a la derecha son denominados terminales.

13 FORMULAS PROPOSICIONALES Definición : Una fórmula en el cálculo proposicional es una cadena generada por la siguiente gramática : fórmula :: = p Para cualquier p P fórmula :: = fórmula fórmula :: = fórmula op fórmula op :: = Por ejemplo, la siguiente secuencia de símbolos muestra la derivación de la fórmula proposicional p q, a partir de una fórmula no terminal inicial.»1.- fórmula»2.- fórmula op fórmula»3.- fórmula fórmula»4.- p fórmula»5.- p q,

14 FORMULAS PROPOSICIONALES p q p q Árbol de formación Derivación 1.- fórmula 2.- fórmula fórmula 3.- fórmula fórmula fórmula 4.- p fórmula fórmula 5.- p q fórmula 6.- p q fórmula fórmula 7.- p q fórmula fórmula 8.- p q p fórmula 9.- p q p fórmula 10.- p q p q

15 INTERPRETACIÓN BOOLEANA fórmula :: = falso verdadero Definición: Sea A una formula proposicional y sea el conjunto {p 1,, p n } de proposiciones o átomos que aparecen en A. Una Interpretación para A es : v:{ p1,, pn} {V,F} o sea que v asigna uno de los valores de verdad F o V a la fórmula A de acuerdo a los valores de verdad asignados en las diferentes tablas de verdad para cada uno de los conectivos lógicos.

16 INTERPRETACIÓN BOOLEANA Ejemplo: Se utiliza la siguiente interpretación: v(p)= F, v(q)=v»v (p q) = V»v ( q) = F»v ( p) = V»v ( q p) = V (p q) ( q p) Por lo que la formula A obtiene el siguiente valor:»v((p q) ( q p)) = V

17 TAUTOLOGIA, CONTRADICCION E INDEFINICION Los otros usos mas que realizaremos de la tabla de verdad es: 1.Para determinar el valor de verdad de las proposiciones. 2.Para determinar el carácter de las proposiciones. 3.Para descubrir relaciones entre proposiciones dadas. 4.Para determinar la validez de razonamientos. Definimos»Avaloración: al conjunto de combinaciones de los valores de verdad de una formula.»dominio: alude solamente a aquellos casos de avaloración verdaderos. Se define dominio pleno cuando todas las avaloraciones tienen resultado verdadero siempre. El dominio se dice vacío cuando en la avaloración solo figuran F.

18 TAUTOLOGIA, CONTRADICCION E INDEFINICION Ejemplo: (p q) ; (p q) ( p q) ; p ( p q) p q (p q) (p q) ( p q) p ( p q) V V V V V V F F V F V F V F F F F V V V V V F V F F F V V V F F Los enunciados o fórmulas del primer tipo, aquellos que a veces son falsos y otras verdaderos, reciben el nombre de INDEFINIDOS. Los del segundo tipo, siempre verdaderos, se denominan TAUTOLOGÍAS; los del tercer tipo, siempre falsos, son denominados CONTRADICCIONES.

19 TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN, INDEFINICIÓN Ejemplo: (p q); (p q) ( p q); p ( p q) p q (p q) (p q) ( p q) p ( p q) V V V V V V F F V F V F V F F F F V V V V V F V F F F V V V F F Los enunciados o fórmulas del primer tipo, aquellos que a veces son falsos y otras verdaderos, reciben el nombre de INDEFINIDOS. Los del segundo tipo, siempre verdaderos, se denominan TAUTOLOGÍAS; los del tercer tipo, siempre falsos, son denominados CONTRADICCIONES.

20 EQUIVALENCIAS LÓGICAS p q p q p p p p V V V V F V F F V F F V F V F F F F V F p q p q ( p q) V V V F V V F F V F F V V F V F F V F V

21 EQUIVALENCIAS LÓGICAS»1) (p q) [(p q) (q p)] Bicondicional»(2) (p q ) [(p q) ( p q)] Bicondicional»(3) (p q) (q p) Conmutación de»(4) (p q) (q p) Conmutación de»(5) [p (q r)] [(p q) r] Asociación de»(6) [p (q r)] [(p q) r] Asociación de»(7) ( p) p Doble Negación»(8) (p q) ( q p) Transposición»(9) p (p p) Tautología»(10)[(p q) r] [p (q r)] Exportación»(11)[p (q r)] [(p q) (p r)] Distributiva de»(12)[p (q r)] [(p q) (p r)] Distributiva de

22 VALIDEZ Y CONSECUENCIA»Definición: Una fórmula proposicional A es satisfactoria si su valor es verdadero en alguna interpretación. Una interpretación satisfactoria es denominada como un modelo para A. Una fórmula A es válida si su valor es verdadero para todas interpretaciones, a lo cual lo denotamos como: A»Definición: Una fórmula proposicional A es no satisfactoria o contradictoria si no es satisfactoria, o sea que, su valor es falso para todas interpretaciones. Es no válida o falsa si no es válida, o sea que, es falsa para algunas interpretaciones.

23 BIBLIOGRAFIA»ESTRUCTURAS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS. Bernard Kolman. Robert Busby & Sharon Ross »MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA. Roberto H. Fanjul 2005.»MATEMÁTICAS DISCRETAS - SEXTA EDICIÓN Richard Johnsonbaugh - PRENTICE HALL INC »LÓGICA COMPUTACIONAL. Roberto H. Fanjul. Autor y Editor. Primera Edición 2005.»MATEMÁTICAS DISCRETA Y COMBINATORIA Ralph P. Grimaldi- Addison Wesley Longman 2001.

24 Preguntas? GRACIAS!»