LÓGICA. Colegio Marta Brunet Departamento de Matemáticas MSc. Alejandro Andrés Panes Pérez. Si x = 2 2 es un numero natural

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1 Colegio Marta Brunet Departamento de Matemáticas MSc. Alejandro Andrés Panes Pérez LÓGICA Definición 1. Una proposición es una expresión susceptible de ser verdadera o falsa. Ejemplo 1. p: El ser humano es mortal. q: El perro tiene dos patas. En el caso que una proposición sea verdadera la denotaremos con (V), en el caso de ser falsa diremos que su valor de verdad es (F). Se llama función proposicional a una proposición en que el sujeto está dado en forma de símbolo y puede ser remplazado por alguno de los elementos de un conjunto fijado con anterioridad. Ejemplo 2. p(x): x es un número natural N en el caso que las variables sean remplazadas por un elemento del conjunto, la función proposicional pasa a ser proposición y tiene su valor de verdad. Ejemplo 3. Si x = 2 2 es un numero natural es V. Si x = 0,5 0.5 es un número natural es F. Observaciones 1. El conjunto de las variables se denomina dominio o universo de la función proposicional. Las funciones proposicionales tienen pueden tener más de una variable. Ejemplo 4. q(x, y) : x e y viajaron en un crucero en el año Existe proposiciones que son simples y compuestas, las mas simple son aquellas proposiciones, ausentes de conector o término de enlace, y las compuestas son cuando se juntan una o más proposiciones simples con términos de enlaces. Ejemplo 5. SMPL Hoy es Sábado. SMPL Hoy no hay clases. COMP Hoy es Sábado y no hay clases. 1

2 COMP Si hoy es Sábado entonces no hay clases. COMP Hoy es Sábado o hoy no hay clases. NEG Hoy no es Sábado. COND Hoy es Sábado si y solo si no hay clases. Los términos de enlace de proposiciones unen proposiciones y forman proposiciones compuestas a partir de expresiones simples. Los términos o conectores lógicos que se utilizaran de aquí a delante son: Ejemplo 6. y o NO SI...ENTONCES = SI Y SOLO SI 1. El viento arrastrara las nubes o lloverá hoy con seguridad. 2. La Luna está hecha de queso verde. 3. La Luna no está hecha de queso verde. 4. Si estamos en Marzo, entonces estamos comenzando el periodo académico. 5. El terreno es muy fértil si y solo si hay suficientes lluvias durante el año. 6. Si = x, entonces x = x + y = 6, y = 0 o x = Si x + y = 2 e y = 0, entonces x = 2. Las proposiciones las designaremos con las letras minúsculas p, q, r,... y el conjunto lo designaremos con la letra P y los conectores o enlaces los denotaremos con: y conjunción o disyunción NO negación Si...entonces = condicional Si y solo si bicondicional Conjunción lógica y ( ) El valor de verdad de la proposición p q esta descrita a si se conocen los valores de verdad de la proposición p y q. La conjunción de dos proposiciones es cierta solo cuando ambas proposiciones son verdaderas. Ejemplo 7. p q p q V V V V F F F V F F F F p: Madrid es la capital de España. q: Los ángeles esta en la provincia del Bío-Bío. 2

3 r: 12 es un número primo. p q: Madrid es la capital de España y Los ángeles esta en la provincia del Bío-Bío. p r: Madrid es la capital de España y el 12 es un número primo. q r: Los ángeles esta en la provincia del Bío-Bío y 12 es un número primo. s: 2+1=7. r s: 12 es un número primo y 2+1=7. Negación No ( ) ( ) La negación de una proposición, modifica a esta dándole sentido contrario. Ejemplo 8. p V F p F V p : 5 es mayor que 2 p : 5 no es mayor que 2. p : es falso que 5 es mayor que 2. q : = 10 q : r : Juan es hermano de Andrea. r : Juan no es hermano de Andrea. Disyunción lógica o ( ) La disyunción lógica de 2 proposiciones es verdadera cuando por lo menos una de las dos proposiciones es verdadera. Ejemplo 9. p q p q V V V V F V F V V F F F p: Antonio gano una apuesta en las carreras. q: Antonio gano una apuesta en el fútbol. p q: Antonio gano una apuesta en las carrera o una apuesta en el fútbol. Para saber el valor de verdad de la proposición p q es necesario saber si las proposiciones p y q son verdaderas o falsas, en este caso para que sea verdadera es necesario que al menos una de ellas sea verdadera. Ejemplo 10. p : Arica es la ciudad de la primera región. q : Bolivia es un país mediterráneo. r : La primera región limita solo con Perú. 3

4 r : En la primera región esta la capital de Chile. p q : Arica es la ciudad de la primera región o Bolivia es un país mediterráneo. p r : Arica es la ciudad de la primera región o la primera región solo limita con Perú. r s : La primera región limita solo con Perú o en ella esta la capital de Chile. Disyunción lógica entonces ( ) Si se conoce el valor de verdad de la proposiciones p y q entonces se conoce la verdad o falsedad de la proposición si p q es decir depende del valor del antecedente y del consecuente. Eñ condicional si p q es verdadero a menos que p sea verdadero y q sea falso es decir una proposición verdadera no puede implicar una proposición falsa. Ejemplo 11. p q p q V V V V F F F V V F F V p : El sistema solar solo esta formado por astros. q : El Sol es un astro. r : La tierra es un astro. p q : Si el sistema solar solo esta formado por astros entonces el Sol es un astro. p r : Si el sistema solar solo esta formado por astros entonces la tierra es un astro. q r : El Sol es un astro entonces la tierra es un astro. El condicional si p q se lee también como p implica a q, p solamente si q, p es suficiente para q, q es necesario para p. Bicondicional lógico si solo si ( ) Se denomina también equivalencia lógica esta proposición p sis solo si q es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambos son falsos es decir si ambas tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo 12. p q p q V V V V F F F V F F F V p : Usted puede votar. q : Esta inscrito. 4

5 p q : Usted puede votar si, solo si esta inscrito. La verdad de esta proposición pasa porque ambas sean verdadera o ambas sean falsas. Ejemplo 13. p : 6 es un número par. q : 6 = 2 3. r : 6=2+3. p q : 6 es un número par si, solo si 6 = 2 3. p r : 6 es un número par si, solo si 6 = r q : 6 = si, solo si 6 = 2 3. Puede haber una equivalencia si hay un cierto valor de certeza. Tabla de verdad Para saber el valor de verdad de una proposición compuesta es necesario saber el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la componen, pero cuando esto no es posible hay que hacer entonces un estudios de todas las probabilidades de certeza o falsedad en forma de una tabla, llamada tabla de verdad. Ejemplo 14. Determinar la tabla de verdad (p q). El número de posibilidades depende del número de proposiciones simple que la componen y su valor esta dado por el algoritmo exponencial 2 n con n números de proposiciones simples. p q q p q (p q) V V F V F V F V V F F V F F V F F V V F Ejemplo 15. (p q q r) (p r) Con 2 3 = 8 de probabilidad. 5

6 p q r p q p r (p q) (q r) (p r) (p q q r) (p r) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V Ejercicios 1. Determinar las tablas de verdad de las distintas conjunciones proposicionales presentes a continuación. a.) p q b.) ( p q) Tautología Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen por ejemplo: [(p q) (q r)] (p r) es una tautología (compruébalo.) Ejemplo 16. a.) p p p p p p V F V F V V Por tanto es tautología pues da todo las afirmaciones verdadero, sin importar las combinaciones. c.) p ( p q) d.) (p q) ( p q) b.) (p q) p p q p q p q p V V V V F V V F Esta tabla generada indica que no es una tautología. c.) p p p p p p V F F F V F Esta proposición compuesta es una contradicción si ella es falsa para cualquier valor de verdad de sus proposiciones simples que la componen. 6

7 Contradicción Es una proposición compuesta cuyo valor de verdad es falso (F) para cualquier combinación de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Cuantificadores Universal y Existencial Los símbolos (para todo) y (existe) se llaman cuantificador universal y existencial. Existe una variante del existe este es! que significa que existe un único. Ejemplo 17. Si p(x) es una proposición abierta y E es el conjunto en el cual se define, entonces: 1. ( x E), p(x) se lee: para todo x en E, tal que p(x) 2. ( x E), p(x) se lee: existe x en E, tal que p(x) 3. (! x E), p(x) se lee: existe un único x en E, tal que p(x) Ejemplo 18. Sea p(x) : x es un múltiplo de 2., E = x N/x < 10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ( x E), p(x) es falsa, puesto que hay elementos de E que no son pares. ( x E), p(x) es verdadera, puesto que hay al menos un elemento de E que es par. (! x E), p(x) es falsa, ya que existe más de un elemento de E que es par. Leyes de Morgan para cuantificadores 1. ( x E), p(x) ( x E), p(x). 2. ( x E), p(x) ( x E), p(x) 7

8 Colegio Marta Brunet Departamento de Matemáticas MSc. Alejandro Andrés Panes Pérez GUÍA N 1 DE LÓGICA 1. Determinar cuál de las siguientes expresiones del lenguaje son proposiciones y determinar su valor de verdad. a.) Qué hora es? b.) El árbol pertenece al reino vegetal. c.) El queso es un subproducto de la leche. d.) En Chile en Invierno la temperatura ambiental pasa de los 35. e.) Voy a salir, vuelvo más tarde. f.) Cierra la puerta. g.) Rembrandt es un pintor famoso. h.) La velocidad se define como distancia recorrida en un tiempo dado. i.) El 25 % de 400 es 200. j.) Las gallinas son mamíferos. k.) Vengan a tomar té. l.) 13 es un número par. m.) Pintemos esa casa. n.) 25 es la décima parte de Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles son funciones proposicionales. a.) Los números mayores que 2 son negativos. b.) El número entero x es mayor que 10. c.) Los múltiplos de 3 son infinitos. d.) Los enteros x e y son factores de 12. e.) El conjunto de los números naturales es parte de los números reales. f.) Un número racional se puede escribir de muchas maneras. g.) Los racionales 2 3 y 5 8 son equivalentes. h.) x en Q es equivalente a 3 4. i.) El número entero x se puede escribir como un racional. j.) α es un ángulo agudo. 8

9 k.) 60 es el suplemento de 120 l.) Los enteros x e y son factores de Sean p : c y > 0; q : x > 0; r : y > 0, x, y R; x, y 0 a.) Explicar qué significa q, r, p b.) Escribe en símbolos las siguientes proposiciones: el producto de dos números reales es mayor que cero si y sólo si ambos son positivos o ambos negativos c.) Escribe en palabras las siguientes proposición. p ( q r) (q r) 4. Demostrar que si p, q y r son proposiciones, entonces: (p q) (q r) (p r) Para hacer esta demostraciones realizar la tabla de verdad de la proposición compuesta. 5. Sean las siguientes proposiciones p : x N, x + 2 > 0 q : x N, x 1 / N a.) Determinar su valor de verdad. b.) Escribir p y q 6. Sea A = {x N x < 5} y B = {y N y < 4}. Sean las proposiciones: p : ( x A)( y B), x + y < 6 q : ( x A)( y B), x y = 15 a.) Determinar el valor de verdad de cada proposición. b.) Escribir p y q 7. Sean p, q y r, proposiciones simples, demuestre las siguientes proposiciones. a.) (p q) p q b.) (p q) p q c.) (p q) ( p q) d.) p (q r) (p q) (p r) e.) p (q r) (p q) (p r) f.) (p q) ( q p) g.) (p q) ( p q) 9