ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

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1 ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA Unidad N : ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL Introducción La lógica es una de las ciencias más antiguas. Se le atribuye a Aristóteles la paternidad de esta disciplina por haber sido el primero en tratarla con todo detalle. En un principio se llamó Analítica, en virtud del título de las obras en que trató los problemas lógicos. Más tarde los escritos de Aristóteles fueron recopilados por sus discípulos con el título de Organon, por considerar que la lógica era un instrumento para el conocimiento de la verdad. Aristóteles se planteo cómo es posible probar y demostrar cuando un conocimiento es verdadero, es decir, cuando tiene una validez universal. Él encuentra el fundamento de la demostración en la deducción, procedimiento que consiste en derivar un hecho particular de algo universal. En esta primera unidad daremos una breve introducción a la Lógica Proposicional que tiene su importancia ya que nos provee de la simbología y las herramientas necesaria para llevar adelante nuestro estudio matemático posterior y también por su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática. Proposición Comenzamos dando un concepto intuitivo de proposición. Llamamos PROPOSICION a una expresión que tiene sentido decir de ella que es o bien ERDADERA () o bien ALSA (). También podemos decir que: las proposiciones son oraciones declarativas o afirmativas de las cuales se puede afirmar que su enunciado es verdadero o falso (una y sólo una de estas posibilidades). Por ejemplo, las siguientes expresiones: El calor dilata los cuerpos. (oración declarativa) es El número 45 es divisible por 5. (oración afirmativa) es La matemática es una ciencia exacta. (oración afirmativa) es + 8 = 5 Quien viene? Pase usted x + 3 = 7 (igualdad afirmativa) es (oración interrogativa) (oración imperativa) Los 4 primeros enunciados son proposiciones porque tienen sentido decir si es o, en cambio los otros (una pregunta puede formularse o no, una orden puede ser cumplida o no) no son proposiciones. La última igualdad (ecuación) no se puede afirmar que sea verdadera o falsa, por lo tanto no es una proposición. Es decir no son proposiciones las oraciones interrogativas, exclamativas o imperativas; como tampoco las ecuaciones o inecuaciones donde aparecen una o más variables. - -

2 Denotaremos a las proposiciones con letras minúsculas generalmente las últimas del alfabeto: p, q, r, s, t,... y las llamaremos variables proposicionales; los términos verdadero o falso los llamaremos alores de verdad de las proposiciones. Por ejemplo: p : Santiago del Estero es una provincia Argentina q : El gato es un pez r : 7 < Proposiciones simples y compuestas Conectivos Lógicos Dada una o más proposiciones, podemos construir a partir de ellas nuevas proposiciones, por medio de ciertos conectivos. Por ejemplo a partir de las siguientes proposiciones: p: Hoy es miércoles y q: Hoy tenemos clase de Matemática Podemos construir otras proposiciones como por ejemplo: - Hoy no es miércoles. - Hoy no tendremos clase de Matemática. - Hoy es miércoles y tenemos clase de Matemática. - Hoy es miércoles o tenemos clases de Matemática - Si hoy es miércoles entonces tenemos clases de Matemática - Hoy es miércoles si y sólo si tenemos clase de Matemática Estas nuevas proposiciones tienen la particularidad de que contienen otras proposiciones. Por ejemplo: NO HAY CLASE contiene la proposición HAY CLASE Las proposiciones en las cuales pueden encontrarse otras proposiciones, se llaman compuestas. Es decir una proposición es compuesta cuando esta formada por una o más proposiciones simples unidas con términos de enlace. Los términos de enlace y, no, o, si entonces, si y sólo si, los llamaremos conectivos lógicos. Las proposiciones simples son aquellas que no contienen otras proposiciones como parte de ella. Por lo tanto las proposiciones simples no contienen ningún conectivo lógico, como por ejemplo las proposiciones: hoy es miércoles y hoy tenemos clase de Matemática. El valor de verdad de una proposición compuesta dependerá del valor de verdad de las proposiciones simples y de los conectivos lógicos que intervienen. Operaciones Lógicas A continuación definiremos las siguientes operaciones lógicas: - -

3 Negación: Dada una proposición p, la negación es la proposición no p, y se denota ~ p La negación se define por la siguiente tabla. p ~ p Ejemplos: Sea Su negación: o bien: o p: Juana aprobó el examen. ~ p: Juana no aprobó el examen. ~ p: No es cierto que Juana aprobó el examen. ~ p: No ocurre que Juana aprobó el examen. Conjunción: Dados las proposiciones p y q, la conjunción de p y q denotamos con p q y la definimos mediante la siguiente tabla (cuatro combinaciones posibles): p q p q La conjunción de dos proposiciones verdaderas es verdadera, en los otros casos es falsa. Ejemplo: Sean: p: María canta ; q: María baila p q: María canta y baila También podemos enunciar esta proposición: p q: María a la vez canta y baila, María canta pero baila, María canta aunque baila, María canta sin embargo baila Disyunción: Dadas las proposiciones p y q, la disyunción es una proposición compuesta que contiene el termino de enlace o. Denotamos con p q y se lee p o q. Los valores de verdad esta definida por la siguiente tabla. p q p q Esta proposición p o q se la llama también disyunción inclusiva. Es decir que p q es cuando por lo menos una de ellas es, también es cuando ambos son verdaderos

4 Ejemplo: Llueve o sale el sol. Esta proposición compuesta (disyunción) contiene a las proposiciones simples. p: llueve ; q: sale el sol. Implicación o Condicional: Dados p y q, llamamos condicional a la proposición que se obtiene al enunciar: Si p entonces q. Denotaremos esta proposición con el símbolo p q Dado el condicional p q, a la proposición que representa p se llama antecedente del condicional. La proposición que representa q se llama consecuente del condicional. Es importante hacer notar que no es necesario que el consecuente se derive lógicamente (o por causa o por efecto) del antecedente. Es decir, tiene tanto sentido lógico enunciar: Si Llueve, entonces me mojare. Como: Si + = 4, entonces el sol brilla. En ambos casos la tabla de valores de verdad es: p q p q Es decir, la implicación es falsa solo cuando el antecedente p es y el consecuente q es y es verdadera en los otros casos. Ejemplo: Si regularicé la asignatura entonces aprobé los parciales. Las proposiciones simples que la componen son: p: Regularicé la asignatura es el antecedente del condicional q: Aprobé los parciales es el consecuente del condicional Esta proposición es para nuestra asignatura porque se obtiene la regularidad () aprobando los parciales (). Ahora veremos la importancia del condicional en matemática. Condiciones necesaria y suficiente Observamos la tabla de verdad del condicional Hay tres casos en que p q es. a) Si sabemos que p q es y p es, q también debe ser, en cambio si p es nada podemos decir de q porque puede ser o. O sea que es suficiente saber que p es para que q lo sea. Se dice entonces que el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q. O también se puede decir en éste caso que: Para q es suficiente p Ejemplo: i) Es suficiente que la figura tenga tres lados para que sea un triángulo. ii) Para aprobar el examen de ingreso es suficiente obtener 50 puntos

5 Que es lo mismo que enuncie el condicional en forma directa: i) Si la figura tiene tres lados entonces es un triángulo. ii) Si se obtiene 50 puntos entonces se aprueba el examen de ingreso. b) Si sabemos que p q es y si q es entonces p puede ser o, pero para que el antecedente p sea es necesario que q lo sea. Se dice entonces q es condición necesaria para p. O bien: Para p es condición necesaria q Ejemplo: i) Es necesario aprobar los parciales para regularizar la asignatura. ii) Para que ABC sea rectángulo es necesario que algunos de sus ángulos sean recto. Adoptando la forma de un condicional expresamos de la siguiente manera. i) Si regularicé la asignatura entonces aprobé los parciales. ii) Si el ABC es rectángulo entonces alguno de sus ángulos es recto. Cuando utilizamos el lenguaje q es condición necesaria para p, estamos diciendo, sólo si ocurre q puede ocurrir p. Sólo si tiene un ángulo recto, el triángulo ABC es rectángulo. También podemos enunciar esta proposición: El ABC es rectángulo sólo si tiene un ángulo recto. Resumiendo, dado un condicional verdadero y el antecedente y consecuente están vinculados semánticamente: p q, podemos decir que: p es condición suficiente para q, o que q es condición necesaria para p. En algunos casos puede ocurrir que q es también condición suficiente para p por lo que q p también es verdadero. En este caso decimos que: p es condición necesaria y suficiente para q. Introducimos otra conectiva. Bicondicional: Dadas las proposiciones p y q, llamamos bicondicional a la proposición que se enuncia p si y sólo si q que denotamos p q. Los valores de verdad están dados por la tabla. p q p q - 5 -

6 Es decir el bincondicional es si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo: = si y sólo si = esta proposición es mientras que las proposiciones simples que la componen: p: = es y q: = es ÓRMULAS LÓGICAS Llamamos fórmula lógica a toda expresión obtenida como resultado de vincular variables proposicionales con una o mas conectivas. Ya vimos algunas fórmulas lógicas y sus correspondientes valores de verdad: ~ p, p q, p q, p q, p q A partir de ellas podemos obtener otras fórmulas que contienen más de una conectiva, por ejemplo: p q r (p q) q ~r t s Para saber sus distintos valores de verdad construimos la tabla. Debemos observar cuantas variables distintas tiene la fórmula y establecer todas las alternativas posibles de valor de verdad de las variables Si las variables son m, las alternativas posibles son m. Por lo que dicha tabla tendría m filas. Por ejemplo: Si m = la tabla tendrá = 4 filas Si m = 3 la tabla tendrá 3 = 8 filas eamos en la formula p q r m = 3 8 filas p q r p q p q r Esta fórmula solo es falsa cuando p y q es y r es Tautología, Contradicción y Contingencia: Una fórmula cuyo valor de verdad es siempre, cualquiera sean los valores de verdad de las variables que la componen, se llaman tautología. Por ejemplo: Analicemos la fórmula lógica (p q ) p q - 6 -

7 p q p q ( p q ) p ( p q ) p q Como podemos observar la fórmula es siempre para los distintos valores de las variables, por lo que la fórmula es una tautología. Las siguientes fórmulas también son tautológicas. (erificar) i) ~ p q ii) (p q) p q iii) (p q) q r (p r) iv) (p q) p v ) (p q) ~ p q Una fórmula es una contradicción si y solo si, cualquiera sea el valor de verdad de las variables que la componen, ésta es siempre. Ejemplo: (p q) ~ p p q ~ p p q (p q) ~ p Las fórmulas que no son ni tautología ni contradicción las llamamos contingencia. Es decir, una fórmula es una contingencia cuando toma al menos un valor y al menos un valor. Por ejemplo la fórmula que analizamos en el tema anterior p q r es una contingencia. órmulas Equivalentes: Dos fórmulas son equivalentes cuando tienen las mimas tablas de verdad o bien cuando al conectarlas con un bicondicional se obtiene una fórmula tautológica. Ejemplo: ) p p es equivalente a p p p p p p p p p p P p p Otros ejemplos: i) p q ~ p q ii) p q (p q) (q p) Pueden verificar realizando sus tablas

8 Como lo definimos anteriormente aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas, no importa la combinación de los valores de verdad de sus componentes, son tautologías o también llamadas: leyes lógicas. eamos algunas de ellas: Involución ~ (~ p) p (se lee "no, no p, equivale a p") Idempotencia (p p) p (p p) p Conmutatividad a) de la disyunción: p q q p b) de la conjunción: p q q p Asociatividad a) de la disyunción: (p q) r p (q r) b) de la conjunción: (p q) r p (q r) Distributividad: De la conjunción respecto de la disyunción: (p q) r (p r) (q r) De la disyunción respecto de la conjunción: (p q) r (p r) (q r) Leyes de De Morgan ~ ( p q ) ~ p ~ q "La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones" ~ ( p q ) ~ p ~ q "La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones" Negación de una Implicación Las proposiciones ~ (p q) y p ~ q son equivalentes Condicionales Asociados: Sea el condicional p q, que llamaremos directo; en relación con él, se presentan otras 3 condicionales que son: q p recíproco ~ p ~ q contrario ~ q ~ p contrarecíproco Las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes. p q ~ q ~ p q p ~ p ~ q Para demostrar la verdad del condicional p q existen los métodos: a) Directo: Si p es, hay que probar pues que p q es Si p es, hay que establecer que el valor de q es. b) Indirecto: Si q es, p q es Si q es, hay que establecer que p es

9 Circuitos lógicos o booleanas La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico con un interruptor. Así, para representar a p, si es, se tiene: p y para p, si es, se tiene: p Es decir, el interruptor se cierra si p es y se abre si p es. Podemos, así, representar las operaciones proposicionales mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones componentes, combinados en serie o paralelamente. eremos, a continuación, como representar en forma booleana las operaciones que surgen de operar con dos proposiciones mediante los conectivos lógicos que conocemos. Conjunción Este circuito admite el pasaje de corriente, es decir la verdad de p q, sólo si ambas son (comprobar en la tabla de verdad de la conjunción). Disyunción Está representada por un circuito en paralelo. Como vemos, admite el pasaje de corriente cuando al menos una de las dos es (comprobar en la correspondiente tabla de verdad). Implicación Dado que la representación mediante circuitos booleanos sólo es posible en caso de la conjunción o disyunción, para todas las demás operaciones necesitamos convertirlas en combinación de éstas. Así, puesto que ( p q ) ~ ( p ~ q ), aplicando una ley de De Morgan y la doble negación, se tiene ( p q ) ( ~ p q ) Es decir, convertimos la implicación en una disyunción para poder representarla mediante un circuito booleano. Tenemos, así: Ejemplo: Dibujar el circuito booleano de la siguiente proposición: (p q ) r - 9 -

10 unciones Proposicionales y Cuantificadores Expresiones tales como: x + = 5 x es cantante x esta contenta Pase x No son proposiciones puesto que figura en cada una de ellas una indeterminación y por lo tanto no puede decirse de las mismas que son verdaderas o falsas. Observemos las tres primeras expresiones, si reemplazamos x por algún nombre de cosas, se convierte en proposición, si esas cosas son de ciertas clases, por ejemplo: en el primer caso si reemplazamos por un número en la segunda y tercera el nombre de una persona obtenemos proposiciones, mientras que en la última no ocurre lo mismo. Las tres primeras expresiones son ejemplos de lo que llamamos formas proposicionales o funciones proposicionales. Definición: Una forma proposicional es una expresión que contiene una indeterminada y que se convierte en una proposición cuando se sustituye la indeterminada por uno o mas nombres. Por ejemplo x < 3 es una función proposicional y si reemplazo x por 7 obtengo la proposición 7 < 3 Denotaremos a las formas proposicionales en la indeterminada x con p(x), q(x), r(x). ale aclarar y de acuerdo a la definición que, p(x) es una forma proposicional si y solo si al reemplazar x por una nombre se convierte en proposición pero el reemplazo de x por cualquier nombre no siempre se convierte en proposición. Por Ejemplo. p(x): x es estudiante Si reemplazo a x por un nombre de persona, ej. Raúl, tendremos: Raúl es estudiante que es una proposición, pero si remplazo a x por escritorio, tendremos: escritorio es estudiante, que no es una proposición, pues no tiene sentido. Por ello es necesario considerar el conjunto universal o referencial de objetos cuyos nombres habrán de reemplazar a x. Denotaremos con U a dicho conjunto. Conjunto de verdad de una forma proposicional: Sea U el conjunto universal y p(x) una forma proposicional. Diremos que P es el conjunto de verdad de p(x) si y solo si: { / ( ) } simplemente { / ( )} P = a U p a es o P = a U p a Ejemplo: Sean las funciones proposicionales: i) p( x) : x 5 = 0 U = R P = x { x R / x 5 = 0 es } = 5 x = ± 5 x = ± 5 El conjunto de verdad es: P = { 5, 5} ii) q( x) : x + 5 < 3 U = R { / 5 3 } Q = x R x + < es x + 5 < 3 x < 3 5 x < - Q =, El conjunto de verdad es: { } - 0 -

11 De manera similar a lo efectuado con las proposiciones, podremos a partir de formas proposicionales dadas, construir otras formas proposicionales. Si p(x) y q(x) son formas proposicionales, expresamos la: Negación con: ~ p (x) Conjunción: p (x) q (x) Disyunción: p(x) q(x) Condicional con: p (x) q(x) Bicondicional con: p(x) q (x) Por la analogía entre las operaciones con proposiciones y las operaciones con las formas proposicionales resulta que las tablas de verdad de ambos son idénticas. En cuanto al conjunto de verdad de las distintas operaciones con formas proposicionales tenemos: Negación Sea p (x) una forma proposicional, P conjunto de verdad y U el conjunto universal. El conj. de verdad de ~ p (x) será: P = {a U / p(a) es } = { a U / p( a) es } { / } P = a U a P Es decir, el conjunto de verdad de la negación de una forma proposicional es el complemento de P. Conjunción Sea p (x) y q(x) dos formas proposicionales P y Q sus respectivos conjuntos de verdad. El conjunto de verdad de la conjunción: p(x) q (x) Disyunción R ={ a / p( a) q( a)es } = { a / p( a) es y q( a) es} R ={ a / a P a Q} = P Q P(x) q(x), el conjunto de verdad es: P Q Conjunción Recordar que p q ~ p q, por su analogía con formas proposicionales. El conjunto de verdad de p (x) q (x) es: P Q Bicondicional El conjunto de verdad de p(x) q(x) por la analogía con las proposiciones, recordar que: - -

12 [ p q ( p q) (q p) (~p q) (~q p) ] Luego, el conjunto de verdad es: ( P Q) (Q P) Cuantificadores Sea p(x) una forma proposicional, P su conjunto de verdad y U el conjunto universal. Si P = U entonces decimos que: Todo elemento x de U, p(x) es verdadero Aunque este enunciado contiene una variable, se obtiene una proposición verdadera y denotamos: x: p(x) El símbolo se lee para todo Al anteponer la expresión x a la forma proposicional p (x) se obtiene una proposición. Llamaremos cuantificador universal a x Ahora supongamos que P y hay un elemento x de U para la cual p(x) es una proposición verdadera. En este caso denotaremos: x/ p(x) y leemos existe al menos un x tal que p(x) es una proposición verdadera. El símbolo x se llama cuantificador existencial. Al anteponer el cuantificador existencial a la forma proposicional, obtenemos una proposición. Resumiendo al anteponer un cuantificador (universal o existencial) a una forma proposicional se obtiene una proposición. Negación de una proposición cuantificada Ejemplo : Todos los alumnos son morochos U = {x/x es alumno} Su forma lógica es: x : p( x) La negación de esta proposición cuantificada universalmente es: No todos los alumnos son morochos esto significa que: Hay por lo menos un alumno que no es morocho. Su forma lógica es: ~ x : p( x) x /~ p(x) ( ) Es decir la negación de un cuantificador universal es una proposición existencial negado su predicado. De manera similar veremos que la negación de un cuantificador existencial es una proposición universal negado su predicado: ~ x : p(x) x :~ ( ) p(x) Ejemplo : Hay caballos blancos. Su forma lógica es: x / p( x) La negación: No hay caballos blancos o bien Ningún caballo es blanco. Es decir: Todos los caballos no son blancos y su forma lógica es: x : ~p(x) - -

13 emos la siguiente proposición: Todos los niños son felices y divertidos. Considerando el conjunto universal: U={ x / x es niño } Las formas proposicionales que intervienen son: p(x): x es feliz q(x): x es divertido Su forma lógica es: x : p( x ) q( x ) Su negación en forma lógica es: ~ x : (p(x) q(x)) x / ~ p(x) q(x) x / ~ p(x) ~ [ ] [ ] q(x) La proposición correspondiente: Hay por lo menos un niño que no es feliz o no es divertido. Proceso de Demostración Todo el análisis realizado a lo largo de la Unidad, nos conduce a analizar el proceso de la demostración. Considerando el cálculo proposicional, basados en los conceptos de verdad y falsedad. En este sentido general intuitivo, y sin pretender dar una definición, podemos considerar la demostración como una combinación o enlace de dos o más proposiciones para obtener nuevas proposiciones cuya validez resulte de la validez de aquellas. Las proposiciones nuevas se dicen demostradas, inferidas o deducidas de las anteriores. Ya vimos que dada una proposición compuesta donde esta involucrado un condicional, hay dos caminos o métodos para demostrar la verdad del condicional: p q Recordemos que p es el antecedente también llamado hipótesis y q consecuente llamado tesis ) Si p es entonces debemos probar que q (el consecuente) es verdadero. (MÉTODO DIRECTO) ) Si q es debemos comprobar que p es. (CONTRARECÍPROCO o POR EL ABSURDO) Otra manera de demostrar una proposición o teorema, que depende de un número natural ( IN ) es utilizando el llamado Principio de Inducción Completa o Demostración por Recurrencia. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA (P.I.C.) Para tener una idea intuitiva de dicho principio consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que un joven pone alineados las fichas de un domino y se extienden hasta donde alcanza nuestra vista y se sabe además que si una ficha cae, entonces cae la siguiente. Se intenta determinar cual es la condición para que en un momento dado caigan todas las fichas. En este caso se trata de investigar la propiedad: Todas las fichas se caen y para asegurar su verdad se sugieren las siguientes condiciones. i) La ra ficha se cayó. ii) Si una ficha cae entonces se cae la siguiente Observemos que por i) la primera ficha ha caído. Sabemos también por ii) que si la primera ficha cae, entonces la derriba a la segunda, así que ésta tendrá que caer. Y si la segunda ficha cae, entonces derriba la tercera (por ii)... y así sucesivamente. De aquí podemos afirmar si la cuarta (o quinta o décima) va a caer? Podemos responder que sí, puesto que la cadena de derribos se aproxima a ella inexorablemente y que la acabará tirando. Esto nos lleva a la afirmación del llamado principio de inducción

14 Axioma Si P es un subconjunto de los números naturales y verifica ) P; ) Si h P, entonces h + P Entonces P = IN De aquí resulta: Teorema Sea p(n) una proposición cualquiera que depende del número natural n. Si : i) p () es. ii) Si p(h) es, entonces p(h+) es. ENTONCES vale la proposición p(n) para todo n Demostración Sea P el conjunto de números naturales h para los cuales p(h) es verdadera. Por las hipótesis i) y ii) se tiene IN, si h P, entonces h + P Entonces P IN y verifica ) y ) del Axioma anterior y por lo tanto P = IN. O sea, p(n) es verdadera para todo n IN. Ejemplo: Usando el Principio de Inducción Completa (P.I.C.) probar la validez de la siguiente expresión para cualquier n natural: n n ( n + ) i = i= IN Para n =, i= i = n ( n + ) ( + ). = = = Se verifica la igualdad para n =. Supongo verdadero para n = h, es decir, h h ( h + ) i = i= es erdadero Se debe probar para n = h+, es decir, demostrar que la igualdad: h ( h + ) ( h + ) i = es erdadera + i= Demostración: h+ i= h i = i i= + ( h + ) = h ( h + ) h h + + ( h + ) = ( h + ) + = ( h + ) = ( h + )( h + ) Escribo como la suma Por el segundo paso, Saco factor común desde i = hasta h más el en el que se h+ último término, es decir, consideró verdadera el último sumando que la igualdad para corresponde a n = h+ n = h Con lo cual se demuestra que la proposición es erdadera para todo número natural n