Tema de la clase: Lógica Matemática. Introducción

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1 Tema de la clase: Lógica Matemática Instructor: Marcos Villagra Clase # 01 Escriba: Sergio Mercado Fecha 30/10/2017 Introducción Una de las características principales que distinguen a las matemáticas de las otras ciencias es su grado de veracidad, esto significa que los resultados que se encuentran en ella pueden ser considerados como verdaderos y no tener duda al respecto. Tal grado de veracidad se debe principalmente a que los resultados son obtenidos luego de la aplicación de un método bastante riguroso llamado razonamiento lógico. La lógica es la ciencia que estudia el razonamiento, donde razonar consiste en obtener afirmaciones (llamadas conclusiones) a partir de otras afirmaciones (llamadas premisas) con los criterios adecuados para que podamos tener la garantía de que si las premisas son verdaderas, entonces las conclusiones obtenidas también tienen que serlas necesariamente[3]. En este material haremos un resumen sobre las partes más elementales de la lógica que son la lógica proposicional y la lógica de primer orden y ejemplificaremos algunos casos. Lógica Proposicional Aquí se estudian esencialmente aquellos enunciados a las que se les puede asignar un valor de verdad, es decir esos que pueden ser verdaderos o falsos, pero no ambos a la vez, por ejemplo: El gato es negro, hoy es domingo, 7 es un número primo, etc., como se puede observar, todos estos enunciados pueden ser verdaderos o falsos pero no ambos a la vez (no puede ocurrir que 7 sea un número primo y al mismo tiempo no lo sea). Estos enunciados también son conocidos como premisas o proposiciones. La representación de estas premisas, a menudo se realiza mediante letras mayúsculas: P = El gato es negro Q = Hoy es domingo R = 7 es un nmero primo Los símbolos tales como P, Q, y R usados para denotar proposiciones son llamados fórmulas atómicas o átomos. A partir del tipo de premisas que se ha ejemplificado, podemos construir nuevas premisas más complejas, para ello utilizamos lo que se conoce como conectores, en la práctica se emplea cinco tipos de conectores que son: la conjunción, la disyunción, la condicional, la bicondicional y la negación. Una conjunción es el tipo de enunciado en la que intervienen dos o más premisas de manera que todas se satisfacen simultáneamente, su símbolo es, su equivalente en el

2 castellano es y. En símbolos P Q. La disyunción es aquella en la que intervienen dos o más premisas y basta que se cumpla al menos una de ellas para que se cumpla todo el enunciado, se simboliza por y su equivalente en el castellano es o. Cabe mencionar que esta o no es exclusiva, es decir, no se refiere al caso en que dada dos premisas P y Q, o se cumple P, o se cumple Q (y no ambas a la vez). Simbólicamente P Q. La negación es simbolizada mediante y es equivalente al no en el castellano. Su función es propiamente negar una proposición; si P es una premisa, su negación es P. Una condicional es un enunciado del tipo si P entonces Q, en este caso decimos que Q es una condición necesaria para que se cumpla P y que P es una condición suficiente para que se cumpla Q. Se simboliza mediante o. P Q P Q Observe que el hecho de que se cumpla Q no implica que siempre se cumpla P. La bicondicional se simboliza por o y no es más que una implicación en doble sentido, es decir, P Q (P Q) (Q P ). Nota : El símbolo significa se define como. Una manera alternativa de analizar un enunciado del tipo condicional es utilizando un método conocido como contra recíproco o contrapositivo. Para entender este método consideremos la implicancia P Q, como hemos visto anteriormente, Q es una condición necesaria para que se cumpla P, de este hecho se deduce inmediatamente que Q P (aquí no se cumple P pues nisiquiera se cumple Q). Entonces tenemos: Observe que (P Q) ( Q P ) Q P = Q P (por def. de condicional) = Q P (por doble negación) = P Q (conmutatividad de la disyunción) = P Q (por definición de condicional) 2

3 Definicón. Fórmula. 1. Un átomo es una fórmula 2. Si G es una fórmula, entonces G es un fórmula 3. Si G y H son fórmulas, entonces las que se construye por medio de conectores a partir de ellas, también son fórmulas. 4. Todas las fórmulas son generadas aplicando las reglas anteriores. Definición: Sea G una fórmula y A 1, A 2,..., A n los átomos que componen la fórmula G. Entonces una interpretación de G es una asignación de valores de verdad a las A 1, A 2,..., A n en la cual, cada A i es T (true) o F (false), pero no ambos. Definición: Una fórmula G es verdadera bajo (en) una interpretación si y solo si G toma el valor T en la interpretación. En caso contrario se dice que es falso bajo (en) la interpretación. Definición: Una fórmula Φ es válida si y solo si es verdadera bajo todas sus interpretaciones (Tautología). Definición: Una fórmula Φ es inconsistente (o insatisfacible) si y solo si es falso bajo todas sus interpretaciones. Y es consistente o (satisfacible) si y solo si no es inconsistente. Ejemplos. Φ = A B Φ = A A Φ = A A es satisfacible no es satisfacible tautología Consecuencia lógica: Analicemos el siguiente caso. Sean P Q Q R y supongamos que se cumpla P, entonces se deduce que (1) P Q (2) Q R (3) P por hipótesis (4) Q de (1) y (3) (5) R de (4) y (2) Como se puede apreciar R se concluye a partir de (1) y (2) luego de aplicar algunos reglas ya conocidas. De este hecho, decimos que R es una consecuencia lógica de las fórmulas (1) y (2). Es importante destacar aquí que, siempre que las reglas sean aplicadas correctamente, R se obtendrá como consecuencia lógica de (1) y (2) independientemente de 3

4 lo que signifiquen R, P y Q. Se puede decir entonces que, para que un enunciado sea consecuencia lógica de algunas fórmulas, lo importante es la forma en que estén representadas y de las reglas empleadas para obtenerlas. A continuación formalizamos esta idea. Definición: Sean F 1, F 2,..., F n y G fórmulas de la lógica proposicional. Se dice que G es una consecuencia lógica de F 1, F 2,..., F n sí y solo si para cada interpretación I en la cual F 1 F2 Fn es verdadera, G es también verdadera. F 1, F 2,..., F n son llamados axiomas o postulados de G. Teorema 1: Sean F 1, F 2,..., F n y G fórmulas de la lógica proposicional. G es una consecuencia lógica de de F 1, F 2,..., F n si y solo si la fórmula ((F 1 Fn ) G) es válida. Demostración[1] ( ). Supongamos que G es un consecuencia lógica de F 1, F 2,..., F n. Sea I una interpretación arbitraria. Si F 1, F 2,..., F n son verdaderas en I, entonces por definición de consecuencia lógica, G es verdadera en I. Por lo tanto, ((F 1... Fn ) G) es verdadera en I. Por otro lado, si F 1, F 2,..., F n son falsas en I, entonces ((F 1... F n ) G) es verdadera en I Así hemos demostrado que ((F 1... Fn ) G) es verdadera bajo cualquier interpertación. Esto es, c es una fórmula válida. ( ) Recíprocamente, supongamos que ((F 1 Fn ) G) es una fórmula válida. Para cualquier interpretación I, si ((F 1 Fn ) son verdaderas en I, G debe ser verdadera en I. Por lo tanto, G es una consecuencia lógica de F 1,..., F n. Como lo queríamos demostrar. Teorema 2: Dadas las fórmulas F 1, F 2,..., F n y una fórmula G. G es una consecuencia lógica de de F 1, F 2,..., F n si y solo si la fórmula ((F 1 Fn ) G) es inconsistente. Demostración. [1] Por el Teorema 1, G es una consecuencia lógica de F 1, F 2,..., F n si y solo si la fórmula ((F 1... Fn ) G) es válida. Por tanto, G es una consecuencia lógica de F 1, F 2,..., F n si y solo si la negación de ((F 1... Fn ) G) es inconsistente, entonces ((F 1 Fn ) G) = ( (F 1 Fn G) = ( ( (F 1 Fn )) G) = F 1 Fn G. Por lo tanto, concluimos que el teorema es verdadero. Leyes de Morgan: En el lenguaje común ocurre a veces que hay proposiciones que pueden enunciarse de distintas maneras sin perder su significado origial, por ejemplo: la oración No llueve y no sale el sol es equivalente a No ocurre que llueva o que salga el sol [2] y de P Q se puede concluir (P Q) 4

5 de (P Q) se puede concluir P Q Las reglas que permiten este tipo de conclusiones son denominadas leyes de Morgan. Lógica de Primer Orden Muchos de los razonamientos del lenguaje cotidiano y de las matemáticas no pueden ser representados solamente con los recursos de la lógica proposicional, por ejemplo [1]: Sean P = Todos los hombres son mortales Q = Confucio es un hombre R = Confucio es mortal Este razonamiento es intuitivamente correcto y se puede escribir en forma general como: Todos los B son A Todos los R son B Entonces, todos los R son A Si A, B y R objetos cualesquiera, siempre que las premisas sean verdaderas, las conclusiones que se deducen a partir de ellas también serán verdaderas. Pero como se dijo, no se puede deducir R como consecuencia lógica de las premisas P y Q por medio de la lógica proposicional. Este tipo de deducciones es la que se estudia en la lógica de primer orden y para entenderlo introduciremos los conceptos de términos, predicados y cuantificadores. Un término es una expresión con la que se nombra o designa un único objeto. Por ejemplo en los enunciados: Este libro es rojo, Juan camina despacio, dos es menor que tres las palabras: Juan, este, dos y tres son los términos [2]. El concepto de predicado es utilizado para representar que algo cumple una determinada propiedad, así como también la de realacionar varios objetos entre si. El hecho de que una variable x satisface la propiedad P lo simbolizaremos por P (x). Por ejemplo, si P representa es un número entero, P (5) significa 5 es un número entero. Es natural que este concepto pueda extenderse a dos o más variables, así, el hecho de que x se relaciona con y mediante la propiedad P es represetado como P (x, y). Por ejemplo, si P representa la expresión es divisible entre, entonces P (x, y) significa x es divisible entre y, por tanto x es divisible entre 2 es equivalente a P (x, 2). En el primer caso se ha visto al predicado cumpliendo la función de expresar una propiedad y en el segundo caso la función de relacionar variables entre si. Los cuantificadores son utilizados para expresar la cantidad de veces que una o varias propiedades se cumplen dentro de un conjunto. Existen dos tipos de cuantificadores, el existencial y el universal. 5

6 El cuantificador existencial, simbolizado por se utiliza para expresar que una propiedad se cumple al menos una vez dentro de un conjuto, por ejemplo, si 10Z es el conjunto de los múltiplos de 10 y P (x) significa x es divisible entre 3, entonces el hecho de que existe al menos un x en 10Z tal que cumpla P (x), se expresa como x en 10Z tal que P (x), en particular 30 en 10Z tal que P (30). Para expresar de manera general la idea de que por lo menos un elemento de un conjunto D cumple la propiead P, escribimos: x en D tal que P (x) P (1),..., P (n) El cuantificador universal se utiliza para expresar que una propiedad se cumple para todos los elementos de un conjunto. Se simboliza por. Volviendo al ejemplo anterior si Q significa es divisible entre 5, entonces que Q(x) se satisface para todos elementos del conjunto 10Z. En símbolos, x en 10Z, Q(x). Formalmente, el cuantificador universal dentro de un dominio D se define como: Como ejemplo final, sea: entonces definiendo: se deduce que x en D, P (x) P (1),..., P (n) ( x) (T (x) P (x) T (x) = x es un árbol P (x) = x es una planta x = lapacho Todo lapacho es una planta. 6

7 Referencias bibliográficas [1] Chin-Liang Chang, Richard Char-Tung Lee (1973) Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving, San Diego, California, EE.UU. [2] Patrick Suppens, Shirley Hill (1992) Introducción a la lógica matemática. Décima reimpresión. Nueva York, EE.UU [3] Carlos Ivorra Castillo. Lógica matemática. España. 7