2. Introducción a la Lógica proposicional y Teoría de conjuntos

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1 2. Introducción a la Lógica proposicional y Teoría de conjuntos Lenguaje formal La lógica utiliza un lenguaje artificial, que es además un lenguaje formal. Características del lenguaje formal: a) Está construido eligiendo arbitrariamente ciertos símbolos y reglas. b) En él se prescinde del significado. c) Se atiende exclusivamente a los símbolos y a las reglas establecidas. Las categorías de un lenguaje formal son: a) una tabla de símbolos formales: (alfabeto) b) una relación de reglas de formación de fórmulas: (gramática) c) reglas de transformación de fórmulas, que permiten pasar de unas expresiones a otras. a) Símbolos formales llamados conectivas u operadores: Símbolo Nombre Se lee Ejemplo Negador no p: no p no es cierto que no es cierto que p Coyuntor, conjunción Y p q: p y q Disyuntor, disyunción O p q: p o q Condicional Si entonces p q: si p entonces q Bicondicional si y sólo si p q: p si y sólo si q b) Símbolos no lógicos: letras enunciativas que representan variables proposicionales o átomos: p, q, r, s, t, u,, p1, p2, p3,. Comienzan en p, son minúsculas y representan un enunciado. c) Símbolos auxiliares: paréntesis. Reglas: 1- suprimir paréntesis innecesarios (por ejemplo exteriores) 2- Omitir paréntesis internos en el caso de repeticiones de disyunciones o conjunciones. 3- Orden de prioridad: negación, conjunción, disyunción, condicional, bicondicional. 4- Siempre que haya dudas, colocarlos. CETP - EMT Informática - Lógica para computación Prof. Nancy López 1

2 Nuestra meta, dentro de lo posible, consiste en: 1. Traducir las proposiciones o enunciados del lenguaje natural al lenguaje formal o simbólico. 2. Simplificar la forma simbólica. 3. Traducir la forma simplificada nuevamente de proposiciones al lenguaje natural. Proposiciones simples o atómicas Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si... entonces"). No se pueden descomponer en otras oraciones. Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones. Ej. Está lloviendo. Proposiciones compuestas o moleculares Son aquellas proposiciones que no son simples, o sea que están afectadas por una negación o términos de enlace con otras oraciones componentes. Ej. Está lloviendo y hace frío. Ejemplos 1) Carlos Fuentes es un escritor. (Simple) 2) El Sen(x) no es un número mayor que 1. (Compuesta) 3) El 14 y el 7 son factores del 42. (Compuesta) 4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta) 5) El 2 o el 3 son divisores de 48. (Compuesta) 6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta) 7) Si x es número primo, entonces x impar. (Compuesta) 8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta) 9) No todos los números primos son impares. (Compuesta) Operadores unarios y operadores binarios Los operadores unarios son aquellos que afectan a una sola proposición: la negación. Operadores binarios son aquellos que afectan a 2 proposiciones, todos los demás operadores. Pasaje de lenguaje natural a lenguaje formal Para pasar de lenguaje natural a lenguaje artificial, primero hay que identificar las proposiciones simples y luego los conectores. CETP - EMT Informática - Lógica para computación Prof. Nancy López 2

3 Ejemplo: La luna está brillando y no hay sol En este caso las proposiciones o enunciados son: p: la luna está brillando q: hay sol En lenguaje formal queda: p q En forma inversa, pasar de lenguaje artificial a natural, considerando p y q: p: el sol es redondo q: 3+2=5 La fórmula p q pasada al lenguaje natural queda: El sol no es redondo o 3+2=5. O también: No es cierto que el sol es redondo o 3+2=5. Reglas para la formación de fórmulas lógicas Las proposiciones compuestas son agrupaciones de átomos (proposiciones atómicas) unidas por conectivas lógicas. Para que una fórmula esté bien formada (FBF), se requiere seguir una serie de reglas que establecen si dicha construcción está bien formada o no. Las reglas se definen de la siguiente manera: i) Un átomo es una fórmula bien formada. Esta regla establece que p, q, r son fórmulas bien formadas (FBF). ii) Si p es una fórmula bien formada, p también es una fórmula bien formada. Esta regla establece que, si por el primer punto p es una fórmula bien formada, p también lo es y también que p también es una fórmula bien formada por aplicación del punto ii. iii) Si p y q son fórmulas bien formadas, (p q), (p q), (p q) y (p q) son fórmulas bien formadas. iv) Todas las fórmulas bien formadas se obtienen aplicando las reglas i, ii y iii. Ejemplos de fórmulas bien formadas: p q (q r) (s t) CETP - EMT Informática - Lógica para computación Prof. Nancy López 3

4 Ejemplo de fórmulas mal formadas: p q p q Debe tenerse en cuenta que para formar correctamente una fórmula: a) La negación se antepone a una variable proposicional o a una fórmula. Ejemplos: p (p s) b) Las restantes conectivas unen dos variable proposicionales, dos fórmulas o una variable proposicional y una fórmula. Ejemplos: p q (p q) (r s) (s t) r Orden de prioridad de las conectivas Al tener fórmulas con una o dos conectivas, es necesario conocer las reglas de precedencia y asociatividad de las conectivas. El orden que utilizaremos en este curso es el siguiente: (negación) (conjunción) (disyunción) (condicional) (bicondicional) Donde la negación ( ) es el símbolo de mayor jerarquía y el bicondicional ( ) el de menor jerarquía. Los símbolos auxiliares (paréntesis) pueden establecer una jerarquía de orden diferente. Por ejemplo, dada la fórmula p q r, el orden de evaluación es la negación ( ), la conjunción ( ) y el condicional ( ). Sin embargo, si la fórmula tiene los siguientes paréntesis: p (q r), el orden de evaluación es la negación ( ), el condicional ( ) y por úl mo la conjunción ( ). La negación ( ) La negativa de cualquier proposición p se llama negación y se simboliza mediante p. En la siguiente tabla vemos una definición clara de la negación: CETP - EMT Informática - Lógica para computación Prof. Nancy López 4

5 Definición de negación: P p T F F T Recordemos que utilizamos T (True) en lugar de V (Verdadero) a los efectos de no confundirnos con el símbolo de la disyunción ( ). p: Octavio está diciendo la verdad. p: Octavio no está diciendo la verdad. También se puede traducir como: no es cierto que Octavio esté diciendo la verdad. Cualquier proposición puede ser negada, pero se debe tener cuidado con la manera en que se forme la negación de una proposición compuesta. Por ejemplo, si tengo la proposición (p q), la negación no se forma negando cada una de las proposiciones simples, sino que se niega la composición: (p q). Más adelante veremos cómo resolver la negación de una proposición compuesta. La negación de una proposición nunca debe alterarla, por ejemplo, sean p y q: p: El auto de Juan es azul. q: El auto de Juan es rojo. La negación de la proposición p no es q, aunque no sea posible que ambas sean verdaderas, la negación de p es: p: El auto de Juan no es azul. Y la negación de q es: q: El auto de Juan no es rojo. Hay que tener cuidado al negar proposiciones que contienen las palabras todos, ninguno o algunos. Ejemplo: p: Todos los estudiantes tienen lápices. La negación podría ser alguna de las siguientes: p: No todos los estudiantes tienen lápices. p: Por lo menos uno de los estudiantes no tiene lápiz. CETP - EMT Informática - Lógica para computación Prof. Nancy López 5

6 p: Algunos estudiantes no tienen lápices. Tabla de negación de todos, algunos, ninguno Proposición Todos Algunos Algunos no Ningún Negación Algunos no Ningún Todos Algunos Por ejemplo, escribir la negación de cada una de las siguientes proposiciones: a) Todas las personas tienen compasión. b) Algunos animales son sucios. c) Algunos estudiantes de primer año no cursan Programación I. d) Ningún estudiante es entusiasta. Solución: a) Algunas personas no tienen compasión. b) Ningún animal es sucio. c) Todos los estudiantes de primer año cursan Programación I. d) Algún estudiante es entusiasta. La conjunción ( ) Si p y q representan dos proposiciones simples, entonces la proposición compuesta p y q utiliza el operador llamado conjunción. La palabra y se simboliza con y representa la ocurrencia simultánea de las dos proposiciones. Por ejemplo, la proposición: Hay sol y hace frío. Es una proposición compuesta, cuándo esta proposición es verdadera? Tenemos cuatro posibilidades: 1. Hay sol. Hace frío. 2. Hay sol. No hace frío. 3. No hay sol. Hace frío. 4. No hay sol. No hace frío. Representamos las proposiciones con p y q, siendo: p: Hay sol. q: Hace frío. CETP - EMT Informática - Lógica para computación Prof. Nancy López 6

7 Podemos resumir las cuatro posibilidades como sigue: p q T T T F F T F F En la única opción en la cual la proposición Hay sol y hace frío es verdadera es cuando ambas proposiciones son verdaderas. Por lo tanto la tabla de la conjunción es la siguiente: p q p q T T T T F F F T F F F F Mnemotécnica: Cuando ambas proposiciones son verdaderas, la conjunción es verdadera, en los demás casos es falsa. La disyunción ( ) El operador o se llama disyunción y se simboliza con e indica que por lo menos una de las proposiciones es verdadera. La disyunción puede resultar ambigua, veamos los siguientes ejemplos: 1. Hay sol o hace frío. 2. Estoy en Rusia o en España. En la primera proposición puede ser que ambas proposiciones sean verdaderas ya que puede haber sol y hacer frío, este es el caso de la disyunción incluyente. Pero en el segundo caso es imposible que ambas proposiciones sean verdaderas ya que no se puede estar en Rusia y en España a la vez, este caso es de la disyunción excluyente. La que vamos a utilizar por ahora es la disyunción incluyente. Entonces, en el caso 1 tenemos: p: Hay sol. q: Hace frío. Tenemos también 4 casos: p es T y q es T: Hay sol. Hace frío. p es T y q es F: Hay sol. No hace frío. p es F y q es T: No hay sol. Hace frío. p es F y q es F: No hay sol. No hace frío. CETP - EMT Informática - Lógica para computación Prof. Nancy López 7

8 Vemos que en los primeros tres casos puede estar diciendo la verdad pero en el cuarto caso está mintiendo. Por lo tanto la tabla de la disyunción es la siguiente: p q p q T T T T F T F T T F F F Mnemotécnica: Cuando ambas proposiciones son falsas, la disyunción es falsa, en los demás casos es verdadera. La condicional ( ) La proposición si p entonces q se llama condicional, ya que q queda condicionada a que se cumpla p. p se llama hipótesis o antecedente y q se llama conclusión o consecuente. Por ejemplo, supongamos que una persona le promete a otra: Si gano el concurso, entonces te daré pesos. Si cumple su promesa, diremos que la proposición es verdadera, y será falsa si no la cumple. p: gana el concurso. q: dará los pesos. La promesa es p q. Nuevamente hay cuatro posibilidades: p q Caso 1: T T Gana el concurso, dará los pesos. Caso 2: T F Gana el concurso, no dará los pesos. Caso 3: F T No gana el concurso, dará los pesos. Caso 4: F F No gana el concurso, no dará los pesos. Vemos que en el único caso donde la promesa no se cumplió es en el caso 2, por lo tanto la tabla de verdad del condicional es la siguiente: p q p q T T T T F F F T T F F T Debemos tener en cuenta que el condicional nada afirma sobre la verdad del antecedente o del consecuente por separado, sólo afirma que si el antecedente es verdadero, el consecuente también lo es. CETP - EMT Informática - Lógica para computación Prof. Nancy López 8

9 Mnemotécnica: Cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso la proposición es falsa, en los demás casos es verdadera. La bicondicional Si se da el caso que p q sea verdadera y que también q p sea verdadera, en ese caso se escribe p q y se llama bicondicional. De lo anterior también se puede deducir que si p q es falsa y q p es falsa, la proposición también es falsa. p: puedes comprarte un coche nuevo. q: tienes el dinero para un coche nuevo. En los dos casos en donde la proposición sería válida sería cuando p y q son ambas verdaderas o donde son ambas falsas: Si tienes el dinero para un coche nuevo, entonces puedes comprártelo. Si puedes comprarte un coche nuevo, entonces tienes el dinero. Si no tienes el dinero para un coche nuevo, entonces no puedes comprártelo. Si no puedes comparte un coche nuevo, entonces no tienes el dinero. La bicondicional p q sería puedes comparte un coche nuevo si y sólo si enes el dinero. La tabla de verdad del bicondicional es: p q p q T T T T F F F T F F F T Mnemotécnica: Cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas, la proposición es verdadera, en los demás casos es falsa. CETP - EMT Informática - Lógica para computación Prof. Nancy López 9