LÓGICA PROPOSICIONAL

Transcripción

1 LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSICIONES Una proposición es todo enunciado, u oración enunciativa, respecto del cual se tiene un criterio que permite afirmar que su contenido es verdadero o falso, pero no ambos. A la veracidad o falsedad de una proposición la denominaremos valor de verdad. Ejemplos: Son proposiciones: No son proposiciones: = Rómulo Gallegos escribió Doña Bárbara. Abre la puerta. 3 es un número racional. Esta proposición es falsa. Representaremos las proposiciones con letras minúsculas tales como p, q, r,... CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS Vamos ahora a introducir ciertos términos que nos permitirán conectar proposiciones para producir otras más complejas. A tales términos los llamaremos conectivos u operadores lógicos. A continuación, listaremos y definiremos todos los conectivos u operadores lógicos: 1. El conectivo no (Negación) Sea p una proposición. La negación de p, que denotaremos por p, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p p V F F V La negación puede presentarse con términos gramaticales como no, no es verdad que, no es cierto que. 2. El conectivo y (Conjunción) Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q, que denotaremos por p q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p q p q F V F

2 La conjunción puede presentarse con términos gramaticales como y, pero, mas, y signos de puntuación como: la coma, el punto y el punto y coma. 3. El conectivo o (Disyunción Inclusiva) Sean p y q dos proposiciones. La disyunción inclusiva (o simplemente disyunción) de p y q, que denotaremos por p q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p q p q V F V La disyunción inclusiva se presenta con el término gramatical o. 4. El conectivo o... o... (Disyunción Exclusiva) Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q, que denotaremos por p q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p q p q V V F V F V La disyunción exclusiva puede presentarse con términos gramaticales como o, o sólo, o solamente, o..., o El conectivo si..., entonces... (Condicional) Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q, que denotaremos por p q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p q p q F F V El condicional p q puede presentarse con términos gramaticales como si p, entonces q, p sólo si q, p solamente si q, q si p, si p, q, q con la condición de que p, q cuando p, q siempre que p, q cada vez que p, se tiene q si se tiene p, q es condición necesaria para p, una condición necesaria para p es q, p es condición suficiente para q, una condición suficiente para q es p. 2

3 A cada condicional p q se le asocian otros tres que se obtienen permutando el antecedente con el consecuente o sus negaciones. Estos condicionales son los siguientes: El recíproco: q p El contrario o inverso: p q El contrarrecíproco: q p 6. El conectivo si y sólo si (Bicondicional) Sean p y q dos proposiciones. El bicondicional de p y q, que denotaremos por p q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p q p q F V F F F V El bicondicional p q se puede encontrar con términos gramaticales como p si y sólo si q, p si y solamente si q, p cuando y sólo cuando q, p es condición suficiente y necesaria para q. PROPOSICIONES ATÓMICAS Y PROPOSICIONES MOLECULARES Clasificaremos a las proposiciones como atómicas (o simples) y moleculares (o compuestas). Las proposiciones atómicas serán aquellas que no contienen conectivos u operadores lógicos, mientras que las proposiciones moleculares serán aquellas que constan de una o más proposiciones atómicas modificadas o vinculadas por conectivos u operadores lógicos. TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES Una tautología es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales. Simbolizaremos como T a toda tautología. Una contradicción es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales. Simbolizaremos como C a toda contradicción. PROPOSICIONES EQUIVALENTES Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. Emplearemos el símbolo para denotar la equivalencia de dos proposiciones. 3

4 EQUIVALENCIAS LÓGICAS (1) ( p) p Doble negación (DN) (2) p q q p Conmutatividad (Conm) p q q p (3) (p q) r p (q r) Asociatividad (Asoc) (p q) r p (q r) (4) p (q r) (p q) (p r) Distributividad (Dist) p (q r) (p q) (p r) (5) (p q) p q De Morgan (DeM) (p q) p q (6) p p p Idempotencia (Idem) p p p (7) p C p Neutro (Neu) p T p (8) p p T Inversa (Inv) p p C (9) p T T Dominación (Dom) p C C (10) p (p q) p Absorción Disyuntiva (AbsD) p (p q) p Absorción Conjuntiva (AbsC) (11) p q q p Contrarrecíproco (CR) (12) p q p q Traducción de la Implicación (TI) (13) (p q) p q Traducción de la Negación de la Implicación (TNI) (14) p q (p q) (q p) Traducción de la Equivalencia (TE) LA IMPLICACIÓN Y LA DOBLE IMPLICACIÓN Sea p y q dos formas proposicionales. Diremos que p q (p implica a q), si y sólo si el condicional p q es una tautología. Diremos que p q (p implica a q y q implica a p), si y sólo si el bicondicional p q es una tautología. Propiedades de la doble implicación Si en la tabla de leyes lógicas reemplazamos todos los símbolos por, tendremos una tabla de propiedades para la doble implicación. Propiedades de la implicación (1) p p q Adición (Ad) (2) p q p Simplificación (Simp) 4

5 TEOREMAS LÓGICOS BÁSICOS (1) (p q) p q Modus Ponendo Ponens (MPP) (2) (p q) q p Modus Tollendo Tollens (MTT) (3) (p q) p q Modus Tollendo Ponens (MTP) o (p q) q p Silogismo Disyuntivo (SD) (4) (p q) (q r) p r Silogismo Hipotético (SH) (5) p (q r) q (p r) Mutación de Premisas (MP) (6) p (q r) p q r Importación (Imp) p q r p (q r) Exportación (Exp) (7) p q r (p r) (q r) No Monoticidad (NoM) (8) p (q p) Carga de Premisas (CP) (9) (p q) (p r) (q r) r Dilema Constructivo (DC) Simple (p q) (p r) (q s) r s Complejo (10) ( p q) (r p) (r q) r Dilema Destructivo (DD) Simple ( p q) (r p) (s q) r s Complejo (11) p p q Ex Contradictione Quodlibet (ECQ) (12) p q q p Reductio Ad Absurdum (RAA) 5