Ejercicios de lógica

Transcripción

1 1. Sistemas formales. Ejercicios de lógica 1. Considere el siguiente sistema formal: Símbolos: M, I, U. Expresiones: cualquier cadena en los símbolos. Axioma: UMUIUU Regla de inferencia: xmyiz xumyuizuu Calcule todos los teoremas de este sistema formal. Explique por qué este sistema formal modela la suma de un número natural consigo mismo. 2. Construya un sistema formal que modele la suma de dos números naturales cualesquiera. 3. Construya un sistema formal que modele las congruencias en los números naturales módulo 2; módulo 3; módulo n. 4. Construya un sistema formal que modele el orden de los números naturales. 5. Construya un sistema formal que modele la siguiente situación: si uno estudia el doble de lo que juega, tendrá una buena calificación. (Sugerencia: use símbolos E para estudiar, J para jugar, C para una buena calificación, M e I son separadores. Los teoremas son: E 2n MJ n IC, variando n en los enteros positivos.) 6. Falso o verdadero? Demostrar o dar contraejemplo. Sean A y B sistemas formales con el mismo alfabeto, el mismo lenguaje y los mismos axiomas. Suponga que el conjunto de reglas de inferencia de A está contenido en el conjuntos de reglas de inferencia de B. Entonces el conjunto de teoremas de A está contenido en el conjunto de teoremas de B. 7. Falso o verdadero? Demostrar o dar contraejemplo. Sean A, B y C sistemas formales con el mismo alfabeto, el mismo lenguaje y los mismos axiomas. Suponga que el conjunto de reglas de inferencia de C es la unión de los conjuntos de reglas de inferencia de A y B. Entonces 1

2 el conjunto de teoremas de C es la unión de los conjuntos de teoremas de A y B. 8. Falso o verdadero? Demostrar o dar contraejemplo. Sean A, B y C sistemas formales con el mismo alfabeto, el mismo lenguaje y los mismos axiomas. Suponga que el conjunto de reglas de inferencia de C es la intersección de los conjuntos de reglas de inferencia de A y B. Entonces el conjunto de teoremas de C es la intersección de los conjuntos de teoremas de A y B. 9. Sea A un sistema formal con un alfabeto numerable. Demuestre que el conjunto de expresiones de A es numerable. (Recuerde que toda fórmula usa sólo un número finito de símbolos). Concluya que el conjunto de teoremas de A es numerable. 10. Defina un sistema formal con una aplicación interesante. 2. Introducción a la lógica proposicional. 1. Para cada una de las expresiones siguientes, diga si se trata de una fórmula o no. Justifique su respuesta: (A B) ( (A B)) ((A B) (C D)) A B C A B C A B (A B) A B C A B C 2. Re-escriba con todos los paréntesis debidos: A B A C A B C A 2

3 A (B C) (B C) A B C A B C (A B) C A B B C A (B C) (A B A) 3. Calcule las ocho asignaciones de verdad para {P, Q, R}. 4. Calcule las cuatro asignaciones de verdad para {A, B}. Para cada una de dichas asignaciones de verdad, verifique cuáles de las siguientes fórmulas son satisfechas: (A B) (A B) (A A) (A (A B)) ((B A) (B A)) (A B) 5. En cada caso, diga si Σ = τ: Σ = {A}, τ = A Σ = {A}, τ = A Σ = {A, A B}, τ = B Σ = {A}, τ = B B Σ = {A A}, Σ = { A B}, τ = A B τ = A B Σ = {A, B}, τ = A B Σ = { (A B)}, τ = A B 6. Sean α, β fórmulas cualesquiera. Demuestre que α y β son tautológicamente equivalentes si y sólo si (α β) es una tautología. 3

4 7. Sean Σ un conjunto de fórmulas, α, β fórmulas cualesquiera. Demuestre que Σ {α} = β si y sólo si Σ = (α β). 8. Falso o verdadero? Demostrar o dar contraejemplo. Sean Σ un conjunto de fórmulas, α, β fórmulas cualesquiera. (a) Si Σ = α o Σ = β entonces Σ = (α β). (b) Si Σ = (α β) entonces Σ = α o Σ = β. 9. Usted se encuentra en un calabozo, y hay dos puertas frente a usted. Una puerta lleva a la libertad, y la otra a la jaula de un feroz y hambriento león. Cada puerta tiene un guardián: uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Puede escoger un guardián al azar y hacerle una sola pregunta. Cuál pregunta le haría? 10. (Dualidad) Sea α una fórmula cuyos únicos conectores lógicos son, y. Sea α el resultado de intercambiar y y reemplazar cada variable proposicional por su negación. Demuestre que α es tautológicamente equivalente a ( α). 11. Decimos que un conjunto Σ 1 de fórmulas es equivalente a un conjunto Σ 2 de fórmulas si para toda fórmula α, se tiene que Σ 1 = α si y sólo si Σ 2 = α. Un conjunto Σ es independiente si ningún elemento de Σ es implicado tautológicamente por los demás elementos de Σ. (a) Demuestre que todo conjunto finito de fórmulas tiene un subconjunto equivalente independiente. (b) Muestre un conjunto infinito de fórmulas que no tenga un subconjunto equivalente independiente. (c) Demuestre que todo conjunto numerable de fórmulas tiene un subconjunto equivalente independiente. 12. Hay tres sospechosos de un asesinato: Adams, Brown y Clark. Adams dice: Yo no lo hice. La víctima era un viejo conocido de Brown. Pero Clark lo odiaba. Brown dice: Yo no lo hice. Yo ni siquiera conocía a la víctima. Además yo ni estaba en la ciudad esa semana. Clark dice: Yo no lo hice. Yo vi a Adams y a Brown en el centro de la ciudad con la víctima ese día; uno de ellos debe haberlo matado. Suponga que los dos hombres inocentes dicen la verdad, pero que el culpable probablemente esté mintiendo. Quién es el culpable? 4

5 13. Decimos que una fórmula es una falacia si su negación es una tautología. Decimos que P y Q son contradictorias si P Q es una falacia. Explique cómo resolvió el Ejercicio 12 en términos de fórmulas contradictorias. 3. Tautologías. Demuestre que las siguientes son tautologías. En cada caso, dé un ejemplo de su interpretación coloquial. Implicaciones tautológicas 1. Ley del desprendimiento: P (P Q) Q 2. Modus tollendo tollens: Q (P Q) P 3. Modus tollendo ponens: P (P Q) Q 4. Ley de la simplificación: P Q P 5. Ley del silogismo hipotético: (P Q) (Q R) (P R) 6. Ley de exportación: (P Q R) (P (Q R)) 7. Ley de importación: [P (Q R)] [P Q R] 8. Ley del absurdo: (P Q Q) P 9. Ley de la adición: P P Q Equivalencias tautológicas 1. Ley de doble negación: P ( P ) 2. Ley de contrapositiva: (P Q) ( Q P ) 3. Leyes de De Morgan: (P Q) P Q; (P Q) P Q 4. Leyes conmutativas: P Q Q P ; P Q Q P 5. Leyes asociativas: (P Q) R P (Q R); (P Q) R P (Q R) 5

6 6. Ley de equivalencia para la implicación y la disyunción: (P Q) P Q 7. Ley de negación para la implicación: (P Q) P Q 8. Leyes del bicondicional: (P Q) (P Q) (Q P ); (P Q) (P Q) ( P Q) 1. Ley del medio excluido: P P Otras tautologías 2. Ley de la contradicción: (P P ) 6