Ampliación Matemática Discreta. Justo Peralta López

Transcripción

1 Justo Peralta López UNIVERSIDAD DE ALMERíA DEPARTAMENTO DE ÁGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO

2 1 Introducción 2 Axiomas y reglas de inferencia Reglas de la impliación, conjunción y disyunción 3 Reglas derivadas Disyunción y negación 4 Demostraciones con supuestos

3 Introducción Una vez definido nuestro lenguaje y su sintáxis, podemos describir como se realiza un razonamiento humano. Esto nos conduce a un enfoque axiómatico para formalizar dicho proceso.en este tipo de enfoque se definen una serie de axiomas que tomaremos como verdades absolutas, y una serie de reglas que nos permiten obtener nuevas verdades a partir de dichos axiomas. Un sistema axiomático debe verificar siempre las siguientes propiedades: 1 Deber ser lógico y razonable en el sentido en el que todo teorema o regla de transformación debe ser una tautología. 2 Completo: Toda estructura deductiva o regla debe poder demostrarse a partir de los axiomas. 3 Consistente: No se puede demostrar a partir de los axiomas y teoremas o reglas una estructura no válida. 4 Los axiomas son independientes, es decir, no se puede demostrar uno a partir de otros axiomas. Un ejemplo de sistema axiomático fue el introducido por Gentzen en 1930, al cual llamaremos, en el cual se asumen una serie de reglas de paso de estructuras deductivas correctas o razonamientos válidos a otras.

4 Introducción Formulación del sistema en deducción natural Una estructura deductiva se representa por P 1, P 2,..., P i Q donde P i y Q son fórmulas del cálculo proposicional.

5 Axiomas y reglas de inferencia Reglas de la impliación, conjunción y disyunción 1 Axioma. 2 Reglas de inferencia. 1 Reglas de implicación 1 2 Teorema de la deducción. 2 Reglas de la conjunción 1 Inclusión 2 Producto 3 Reglas de la disyunción. 1 Prueba por casos 2 Adición A A Γ A,, Λ, B C Γ, Λ, A B C Γ, A B Γ A B Γ, A B Γ, A C B Γ A,, Γ B Γ A B Γ, A C,, Γ, B C Γ, A B C Γ A Γ A B

6 Axiomas y reglas de inferencia Reglas de la impliación, conjunción y disyunción 1 1 Reglas de negación. 1 Doble negación 2 Absurdo 2 Reglas estructurales 1 Introducción en el antecedente. 2 Permutación de premisas 3 Contracción 4 Regla de corte Γ A Γ A Γ A Γ A Γ, A B,, Γ, A B Γ B Γ B Γ, A B Γ, A, B C Γ, B, A C Γ, A, A B Γ, A B Γ B,, Λ, B C Γ, Λ C

7 Reglas derivadas Disyunción y negación 1 Reglas derivadas de la implicación 1 Modus Ponens 2 Silogismo 3 Mutuación de premisas 4 Introducción en el antecedente 2 Reglas derivadas de la conjunción. 1 conmutativa 2 Simplificación 3 Asociativa 4 Distributiva 5 Idempotencia 6 Absorción P, P Q Q P Q, Q R P R A (B C) B (A C) A B A A B B A A B A (A B) C A (B C) A (B C) (A B) (A C) A A A A A A A (A B) A A A (A B)

8 Reglas derivadas Disyunción y negación 1 Reglas derivadas de la disyunción 1 Conmutativa 2 Asociativa 3 Distributiva 4 Idempotencia 5 Absorción 2 Reglas derivadas de la negación 1 Contraposición 2 Modus Tollens 3 Doble negación 4 Principio del tercio excluso 5 Regla Ex contradicione quolibiet A B B A (A B) C A (B C) A (B C) (A B) (A C) A A A A A A A (A B) A A A (A B) A B B A A B, B A A A A A Γ A A A A B

9 Reglas derivadas Disyunción y negación 1 Reglas interdefinición conectivas 1 Morgan 2 Imlicación 3 Equivalencia material (A B) A B A B (A B) (A B) A B A B (A B) A B A B A B A B (A B) A B A B (A B) A B (A B) (B A) (A B) (B A) A B

10 Demostraciones con supuestos Pasos a seguir: 1 Se introduce en la secuencia deductiva general una premisa provisional. 2 A partir de la premisa provisional, las demás premisas y las reglas que conocemos, se crea una secuencia deductiva subsidiaria cuyo final es una determinada fórmula. 3 Esta última fórmula puede introducirse en la secuencia deductiva general aplicando alguna regla básica de deducción natural.

11 Demostraciones con supuestos Veamos 3 formas de aplicar la demostración con supuestos. 1 Utilizando el teorema de la deducción Γ, A B Γ A B Se supone A en la secuencia general, se deduce B en la secuencia subsidiaria, entonces podemos introducir la fórmula A B en la secuencia general. 2 Basado en la prueba por casos Γ, A C,, Γ, B C Γ, A B C Si en la secuencia general aparece la fórmula A B, podemos suponer A, y obtener en la secuencia subsidiaria C. Si suponemos B, e idependientemente al anterior supuesto obtenemos una secuencia subsidiaria que termina por C, entonces podemos introducir C en la secuencia general. 3 Basado en la regla de absurdo Γ, A B,, Γ, A B Γ C B Se introduce en la secuencia general la fórmula A, si en la secuencia subsidiaria obtenemos B y B, entonces podemos introducir en la secuencia general A

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