GENERALIZACIONES DE UNA DEFINICIÓN ITERATIVA DE ÁLGEBRA BOOLEANA OSCAR FABIÁN CAVIEDES BARRIOS LEIDY GEOVANA LOZANO RENDÓN

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1 GENERALIZACIONES DE UNA DEFINICIÓN ITERATIVA DE ÁLGEBRA BOOLEANA OSCAR FABIÁN CAVIEDES BARRIOS LEIDY GEOVANA LOZANO RENDÓN UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS PROGRAMA DE MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA IBAGUÉ 2014

2 GENERALIZACIONES DE UNA DEFINICIÓN ITERATIVA DE ÁLGEBRA BOOLEANA OSCAR FABIÁN CAVIEDES BARRIOS Código LEIDY GEOVANA LOZANO RENDÓN Código Trabajo de grado para optar al título de Profesional en Matemáticas con énfasis en Estadística Director ARNOLD OOSTRA Profesor del Departamento de Matemáticas y Estadística UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS PROGRAMA DE MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA IBAGUÉ 2014

3 UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA DE MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA ACTA DE SUSTENTACIÓN TRABAJO DE GRADO TTTULO: GENERALIZACIONES DE UNA DEFINICION ITERATIVA DE ÁLGEBRA BOOLEANA AUTORES: OSCAR FABIÁN CAVIEDES, CÓDIGO LEIDY GEOVANA LOZANO, CÓDIGO DIRECTOR: ARNOLD OOSTRA JURADOS: CARLOS JULIO LUQUE ARIAS LEONARDO SOLANILLA CHAVARRO CALIFICACION: 5.0 (CINCO PUNTO CERO) X APROBO REPROBO OBSERVACIONES: TRABAJO LAUREADO FIRMAS CARLOS JULie-rnut'JE ARIAS Jurado I LEONARDO SOLANILLA jurado 2 / ARNOLD OOSTRA Director del Trabajo HORACIO MOLANO Director del Programa Ciudad y fecha: Ibagué. 19 de septiembre de 2014

4 Tabla de Contenido Introducción 4 1 Las estructuras Semirretículos Retículos Álgebras booleanas Álgebras de Heyting Álgebras de Hilbert Semirretículos de Hilbert Definiciones iterativas Retículos distributivos Álgebras booleanas Semirretículos de Hilbert Álgebras de Heyting Conclusiones 55 Bibliografía 56 3

5 Introducción Las álgebras booleanas son el resultado de los aportes a la Lógica de George Boole, matemático y lógico inglés ( ). Estas estructuras tienen mucha utilidad tanto en la parte teórica de la Matemática como en sus aplicaciones. De manera más sencilla, un álgebra booleana se define como un conjunto ordenado, con más exactitud como un retículo distributivo complementado. Esta visión de lugar a las operaciones de máxima cota inferior, mínima cota superior y complemento, que de manera natural corresponden alaconjunción, ladisyunciónylanegacióndelalógica. Porestayotrasrazones, existe un vínculo muy estrecho entre las álgebras booleanas y la lógica proposicional clásica. Una de las muchas maneras de estudiar la lógica proposicional es mediante los gráficos existenciales Alfa introducidos por Charles S. Peirce, científico, filósofo, matemático e importante pionero de la Lógica matemática ( ). En un trabajo anterior, realizado en la Universidad del Tolima [13], se demostró la equivalencia de la lógica proposicional tradicional con los gráficos Alfa empleando las álgebras booleanas. En esa investigación surgió una definición nueva de la estructura de álgebra booleana, en la cual la regla de iteración de los gráficos se traduce en una identidad que se puede llamar iterativa. Las álgebras booleanas tienen muchas generalizaciones. Desde el punto de vista de la Lógica, el cálculo proposicional clásico se generaliza a la lógica proposicional intuicionista y esta a su vez a la lógica implicativa. Por esta vía, las generalizaciones naturales de las álgebras booleanas son las álgebras de Heyting y las álgebras de Hilbert. Estas estructuras también se han estudiado en la Universidad del Tolima, véase el trabajo [5] que a su vez dio lugar al artículo [6]. De manera reciente, investigaciones realizadas en esta misma Universidad han permitido introducir sistemas de gráficos existenciales Alfa al estilo de Peirce para estas lógicas, véase el trabajo [7] y el artículo [11]. 4

6 Todo este panorama sugiere la posibilidad de generalizar la definición iterativa de las álgebras booleanas a otras estructuras, en especial a las álgebras de Heyting y a los semirretículos de Hilbert. Ese es el objetivo central del trabajo presente, y para lograr tal meta en primer lugar es necesario conocer a fondo las estructuras involucradas: álgebras booleanas, álgebras de Heyting, semirretículos de Hilbert y álgebras de Hilbert. Luego se precisa estudiar con mucho detalle la equivalencia de las definiciones tradicionales de álgebra booleana con la definición iterativa. Por fin, será posible proponer definiciones nuevas, basadas en la iteración, para las álgebras de Heyting y los semirretículos de Hilbert y demostrar su equivalencia con las definiciones usuales. Elinformefinaldeestainvestigaciónconstadedoscapítulos. Enelprimerosehaceelrecuento jerárquico de todas las álgebras involucradas, partiendo de sus definiciones tradicionales. Estas estructuras son los semirretículos, los retículos, las álgebras booleanas, las álgebras de Heyting, las álgebras de Hilbert y los semirretículos de Hilbert. En cada caso se estudia una gran cantidad de propiedades, que luego serán muy útiles en las generalizaciones. En el segundo capítulo se presentan todas las definiciones alternativas, cada una expresada en un teorema que establece su equivalencia con la correspondiente definición usual estudiada en el primer capítulo. El material contenido en el primer capítulo se encuentra en la literatura matemática, salvo quizás el orden, la presentación y algunas propiedades muy particulares que se demuestran allí. En cambio el capítulo 2 es muy novedoso, pues casi todas las nociones y los enunciados son originales, excepto algunas pocos resultados que se tomaron de trabajos anteriores indicando el crédito respectivo. Sin embargo, se puede asegurar que todas las demostraciones de ese capítulo fueron pensadas y elaboradas en el proceso de investigación conjunto de los autores y el director de este trabajo de grado. 5

7 Capítulo 1 Las estructuras En este capítulo se realiza un recuento detallado de las estructuras cuyas definiciones novedosas se introducen en este trabajo: las álgebras booleanas, los semirretículos de Hilbert y las álgebras de Heyting. Dado que entre ellas existe una jerarquía natural, se seguirá ese orden y se complementará el espectro con otras estructuras afines. 1.1 Semirretículos Las álgebras que se estudian en este trabajo se pueden ver todas como clases especiales de semirretículos. Por esta razón, en esta primera sección se repasan las nociones básicas de esa estructura y se fija la nomenclatura que se empleará a lo largo de todo el documento. Un conjunto ordenado es una pareja (X, ) donde es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. La noción siguiente es fundamental en el desarrollo de este trabajo. Definición 1.1. En un conjunto ordenado, la máxima cota inferior de dos elementos a, b es un elemento c tal que: i) c a; ii) c b; iii) Si x a y x b entonces x c. 6

8 Si existe, este elemento es único para a y b (esto se sigue de inmediato de la definición) y por lo tanto se denota a b. Las tres condiciones anteriores se pueden resumir en una sola: x a b si y solo si x a y x b. Gráficamente, la situación se representa así: a a b b Ejemplos 1.2. En P(X) con la contenencia, siempre existe A B = A B. EnZ + con la divisibilidad, siempre existe m n = MCD(m,n). En un conjunto ordenado lineal (o total), siempre existe x y = min{x,y}. La máxima cota inferior no siempre existe: en el siguiente ejemplo, a y b no tienen cota inferior. a b Definición 1.3. Un semirretículo (inferior) es un conjunto ordenado en el cual cada par de elementos tiene máxima cota inferior. Ejemplos 1.4. (P(X), ), (Z +, ), (lineal, ) son semirretículos inferiores. Esta estructura se puede definir de manera algebraica. La operación es, que a cada par a, b asigna a b = máxima cota inferior de a y b. 7

9 Afirmación 1.5. En un semirretículo, la operación tiene las propiedades siguientes. 1. Asociativa: a (b c) = (a b) c 2. Conmutativa: a b = b a 3. Idempotente: a a = a Demostración. 1) Para cualquier x se tiene: x a (b c) ssi x a y x b c ssi x a y x b y x c ssi x (a b) y x c ssi x (a b) c En particular, al tomar x = a (b c), como a (b c) a (b c) se tiene a (b c) (a b) c; y tomando x = (a b) c, como (a b) c (a b) c resulta (a b) c a (b c). Por lo tanto a (b c) = (a b) c. 2) Para cualquier x se tiene: x a b ssi x a y x b ssi x b y x a ssi x (b a) Como arriba, de aquí se sigue a b = b a. 3) Para cualquier x se tiene: x a a ssi x a y x a ssi x a Luego a a = a. Teorema 1.6. Un semirretículo puede definirse como una estructura algebraica (S, ) donde es una operación binaria que satisface las condiciones de la afirmación

10 Demostración. Sea la relacion definida como sigue. a b si a b = a En primer lugar, se verifica que esta es una relación de orden. Reflexiva: a a Esto se tiene si y solo si a a = a, que es la propiedad (3). Antisimétrica: Si a b y b a entonces a = b Si a b y b a entonces a b = a y b a = b, pero a b = b a por la propiedad (2) luego a = b. Transitiva: Si a b y b c entonces a c Si a b y b c entonces a b = a y b c = b. Sustituyendo, se tiene a c = (a b) c pero (a b) c = a (b c) por la propiedad (1). Además a (b c) = a b y a b = a. Luego finalmente a c = a, es decir, a c. En segundo lugar, a b es la máxima cota inferior de a y b para este orden, es decir, x a b si y solo si x a y x b para cualquier x. Pues supóngase que x a b. Ahora (a b) a = a (b a) = a (a b) = (a a) b = a b, es decir, a b a y por la transitividad x a. De la misma manera a b b, así que x b. Ahora supóngase que x a y x b, es decir, x a = x, x b = x. Entonces x (a b) = (x a) b = x b = x, de manera que x a b. En resumen, con la relación definida se obtiene un semirretículo. No es difícil verificar que esta correspondencia entre semirretículos y estructuras algebraicas es biyectiva. La propiedad siguiente se utilizará con frecuencia en este trabajo. Afirmación 1.7. En un semirretículo se tiene: 1. Si a b entonces a c b c; 9

11 2. Si a b y c d entonces a c b d. Se nota que (1) es un caso particular de (2), tomando c = d. Demostración. 1) Si a b entonces de a c a se sigue a c b por transitividad; por otro lado, a c c. En consecuencia, a c b c. 2) Si a b y c d, por (i) se tiene a c b c y c b d b; por la propiedad conmutativa la segunda desigualdad es b c b d. Por transitividad a c b d. 1.2 Retículos Definición 1.8. En un conjunto ordenado, la mínima cota superior de dos elementos a, b es un elemento d tal que: i) a d; ii) b d; iii) Si a y y b y entonces d y. Si tal elemento existe, es único para a y b y por lo tanto se denota a b. En estos términos se tiene a b y si y solo si a y y b y. Gráficamente: a b a b Definición 1.9. Un retículo es un conjunto ordenado en el cual cada par de elementos tiene máxima cota inferior y mínima cota superior. 10

12 De esta manera, en un retículo para cada par de elementos a, b se tiene el cuadrado siguiente. a b a a b b Ejemplos P(X) con la contenencia es un retículo, pues A B = A B, A B = A B. Z + con la divisibilidad es un retículo, donde m n = MCD(m,n), m n = MCM(m,n). Todo conjunto ordenado lineal es un retículo, con x y = min{x,y}, x y = max{x,y}. El conjunto {1} {primos} ordenado por la divisibilidad es un semirretículo (inferior) que no es un retículo. Sigue un diagrama:

13 El conjunto de los divisores positivos de 12 con la divisiblidad es un retículo Los subgrupos del grupo producto Z 2 Z 2,ordenados por la contenencia, constituyen un retículo. Z 2 Z 2 { } (0,0),(1,0) { (0,0),(0,1) } { (0,0),(1,1) } { (0,0) } Como la de semirretículo, la estructura de retículo también se puede definir de manera algebraica. En este caso, las operaciones son y. Afirmación En un retículo, las operaciones y tienen las propiedades siguientes. Asociativas: i) a (b c) = (a b) c ii) a (b c) = (a b) c Conmutativas: iii) a b = b a iv) a b = b a Idempotentes: v) a a = a vi) a a = a Absorbentes: vii) a (a b) = a viii) a (a b) = a 12

14 Cabe anotar que las propiedades absorbentes (vii) y (viii), que relacionan las dos operaciones, no equivalen a alguna propiedad distributiva. Esto se verá en detalle en el apartado siguiente. Demostración. i), iii) y v) Ya se probaron en la afirmación 1.5. ii), iv) y vi) Se prueban de la misma manera. vii) Por un lado, a (a b) a pues siempre a c a; por el otro a a y a a b luego, por definición, a a (a b). De esta manera a (a b) = a. viii) Por un lado a a (a b) pues siempre a a c; por el otro a a y a b a luego a (a b) a. Así que a (a b) = a. Teorema Un retículo puede definirse como una estructura algebraica (R,, ) donde, son operaciones binarias que satisfacen las condiciones de la afirmación Demostración. Por el teorema correspondiente para semirretículos (teorema 1.6), la relación a b definida como a b = a es un orden y a b es la máxima cota inferior de a y b para este orden. Por simetría, la relación a b definida como a b = b es un orden y a b es la mínima cota superior de a y b para el mismo. Ahora se verifica que estas dos relaciones son iguales. Si a b, por definición se tiene a b = a y entonces por la propiedad (viii) se tiene: b = b (b a) = b (a b) = b a = a b. Es decir, a b. Al revés, si a b entonces se tiene a b = b de donde por la propiedad (vii) es: a = a (a b) = a b. De manera que a b. Por lo tanto se tiene una sola relación de orden, y para ella la operación es la máxima cota inferior y la operación es la mínima cota superior. Es decir, se tiene un retículo. La prueba del hecho siguiente es igual a la de la correspondiente afirmación 1.7 y se omite. 13

15 Afirmación En un retículo se tiene: 1. Si a b entonces a c b c; 2. Si a b entonces a c b c; 3. Si a b y c d entonces a c b d; 4. Si a b y c d entonces a c b d. Retículos distributivos Según el teorema 1.12, un retículo puede verse como una estructura algebraica con dos operaciones binarias. En algunas estructuras como los anillos, una operación binaria es distributiva respecto a la otra. En los retículos, sin embargo, en general no se cumple ninguna de las propiedades distributivas. Sigue un ejemplo que ilustra la situación. Ejemplo Se considera el retículo dado por el diagrama siguiente. 1 a b c 0 Para sus elementos se observa lo siguiente: { a (b c) = a 1 = a (a b) (a c) = 0 0 = 0 Luego a (b c) (a b) (a c). Por otro lado: { a (b c) = a 0 = a (a b) (a c) = 1 1 = 1 Así que también a (b c) (a b) (a c). 14

16 Ejemplo Ahora se considera el siguiente retículo. 1 a c b 0 En este caso se tiene: { a (b c) = a 1 = a (a b) (a c) = b 0 = b De nuevo a (b c) (a b) (a c). Por otro lado: { b (a c) = b 0 = b (b a) (b c) = a 1 = a De manera que b (a c) (b a) (b c). Afirmación En cualquier retículo se tienen siempre las desigualdades siguientes. a (b c) (a b) (a c) a (b c) (a b) (a c) Demostración. Por un lado se tiene b b c luego a b a (b c) y de la misma manera c b c luego a c a (b c). En consecuencia (a b) (a c) a (b c). Por otra parte a a b y a a c de donde a (a b) (a c), además b a b y c a c luego b c (a b) (a c). En conclusión a (b c) (a b) (a c). Afirmación En un retículo se tiene a (b c) = (a b) (a c) para cada a, b, c si y solo si se cumple a (b c) = (a b) (a c) para cada a, b, c. 15

17 Demostración. ) Suponiendo la primera identidad se tiene: (a b) (a c) = ((a b) a) ((a b) c) por hipótesis; = (a (a b)) (c (a b)) conmutativa; = a (c (a b)) absorbente; = a ((c a) (c b)) por hipótesis; = (a (c a)) (c b) asociativa; = (a (a c)) (b c) conmutativa; = a (b c). absorbente. ) Esta dirección se demuestra de la misma manera. Definición Un retículo distributivo es aquel en el cual para cada a, b, c se tiene: { a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) En realidad, por la afirmación 1.17 basta verificar que se cumpla una de las dos identidades, pues la validez de cualquiera de ellas implica la de la otra. Combinando esta definición con el teorema 1.12, de inmediato se obtiene una caracterización de los retículos distributivos como estructuras algebraicas. Ejemplos P(X) con la contenencia es un retículo distributivo. Esta es una propiedad elemental de Teoría de Conjuntos. Z + con la divisibilidad es un retículo distributivo. Esta es una propiedad elemental de Teoría de Números. Todo conjunto ordenado lineal es un retículo distributivo. Esto se verifica con facilidad considerando los diferentes casos posibles. Retículos complementados Definición Un conjunto ordenado acotado es aquel que posee elemento mínimo, denotado en general 0, y también elemento máximo, denotado en general 1. 16

18 Se nota que en un retículo (o en un semirretículo inferior), el máximo corresponde al elemento neutro de la operación, ya que a 1 = a para cada elemento a; de la misma manera, el mínimo corresponde al elemento neutro de la operación pues para cada elemento a satisface a 0 = a. Si se combina esta caracterización del mínimo y el máximo con el teorema 1.12 resulta una descripción de los retículos acotados como estructuras algebraicas. Ejemplos El retículo P(X) es acotado, con mínimo y máximo X. Z + con la divisibilidad tiene minimo 1 pero no tiene máximo, luego no es acotado. Hay conjuntos ordenados lineales no acotados como N, Q, R con el orden usual y también hay acotados como el segmento real [0,1] con el orden usual. Todo retículo finito es acotado. En efecto, en cualquier retículo todo subconjunto finito tiene máxima cota inferior y mínima cota superior (por ejemplo, la máxima cota inferior de {a,b,c} es el elemento a (b c) = (a b) c). Así, en un retículo finito la máxima cota inferior de todo el conjunto existe y es su mínimo, y la mínima cota superior de todo el conjunto existe y es su máximo. Afirmación En un semirretículo inferior con máximo 1 se tiene: a b = 1 si y solo si a = 1 y b = 1. Demostración. Si a b = 1, como a b a se tiene 1 a pero, al ser 1 el máximo, esto es a = 1. De la misma manera b = 1. En el otro sentido, si a = b = 1 entonces por 1.5 se tiene a b = 1 1 = 1. Definición En un retículo acotado, un complemento de un elemento a es un elemento c que cumple las dos condiciones: { a c = 0 a c = 1 17

19 Ejemplos En el retículo P(X), un complemento de A X es su complemento conjuntista A c = X A porque: A A c = A A c = = mínimo, A A c = A A c = X = máximo. En cualquier retículo acotado, 1 es complemento de 0 y viceversa, pues: 0 1 = = 1 En el segmento real [0, 1] con el orden usual, los únicos elementos que tienen complemento son 0 y 1. Pues sea a (0,1) y sea c [0,1] cualquiera. Si a c entonces a c = a 0; en cambio si a c entonces a c = a 1. En ningún caso se pueden cumplir las dos condiciones, luego a no tiene complemento. En el retículo siguiente todos los elementos tienen complemento. 1 a b c 0 En efecto: b, c son complementos de a; a, c son complementos de b; a, b son complementos de c; 1 es complemento de 0; 0 es complemento de 1. 18

20 En el retículo siguiente no todos los elementos tienen complemento. 1 a b c d 0 En efecto: d es complemento de a; a es complemento de d; 1 es complemento de 0; 0 es complemento de 1. Sin embargo los elementos b y c no tienen complemento. Por ejemplo, los únicos elementos x con b x = 1 son x = a y x = 1, pero b a = c 0 y b 1 = b 0. Afirmación En un retículo distributivo, si algún elemento tiene complemento entonces este complemento es único para ese elemento. Demostración. Supóngase que c, d son complementos de un elemento a en un retículo distributivo. Entonces a c = 0 y a d = 1, de donde c = c 1 = c (a d) = (c a) (c d) = 0 (c d) = c d d así que c d. Por otro lado a d = 0 y a c = 1, luego d = d 1 = d (a c) = (d a) (d c) = 0 (d c) = d c c por lo cual d c. En consecuencia, c = d y el complemento de a es único. Definición Un retículo complementado es un retículo acotado en el cual cada elemento tiene algún complemento. 19

21 Ejemplos P(X) es un retículo complementado. El siguiente retículo finito es complementado: 1 a b c Álgebras booleanas Como todas las estructuras matemáticas, las álgebras booleanas se pueden definir de diversas maneras. De hecho, en el próximo capítulo de este trabajo se proponen algunas definiciones novedosas. Para comenzar, se toma como referencia una definición geométrica en la cual el álgebra booleana es un retículo especial. Definición Un álgebra booleana es un retículo distributivo complementado. La afirmación 1.25 tiene la consecuencia siguiente en el caso de estas estructuras. Corolario En un álgebra booleana, cada elemento tiene un único complemento. Este carácter único permite una nomenclatura especial. Notación En general, el complemento de un elemento a de un álgebra booleana se denota a. Así, dado un elemento a, por definición a es el único elemento tal que: { a a = 0 a a = 1 Ejemplo P(X) con la relación de contenencia es un álgebra booleana. El complemento algebraico de un subconjunto A X es su complemento conjuntista A = A c = X A. 20

22 Teorema Un álgebra booleana puede definirse como una estructura algebraica (B,,,,0,1) que satisface las condiciones siguientes. Asociativas: i) a (b c) = (a b) c ii) a (b c) = (a b) c Conmutativas: iii) a b = b a iv) a b = b a Idempotentes: v) a a = a vi) a a = a Absorbentes: vii) a (a b) = a viii) a (a b) = a Distributivas: ix) a (b c)=(a b) (a c) x) a (b c)=(a b) (a c) Neutros: xi) a 1 = a xii) a 0 = a Complementos: xiii) a a = 0 xiv) a a = 1 Demostración. Por el teorema 1.11, las propiedades (i) hasta (viii) corresponden a un retículo; las propiedades añadidas (ix) y (x) determinan un retículo distributivo; las propiedades (xi) y (xii) describen el mínimo y el máximo; por fin, la conjunción con las propiedades (xiii) y (xiv) corresponden a un retículo distributivo complementado. Siguen algunas propiedades algebraicas en esta estructura, que serán significativas más adelante. Afirmación En un álgebra booleana se cumple: 1. a = a; 2. a = 0 si y solo si a = 1; 3. a = 1 si y solo si a = 0; 4. a b si y solo si a b = 0; 5. Si a b entonces b a ; 6. a b si y solo si b a ; 7. a b si y solo si b a ; 8. a b si y solo si b a; 9. (a b) = a b ; 21

23 10. (a b) = a b ; 11. a b si y solo si a b = 1; 12. a b = a (a b). Las propiedades (9) y (10) reciben el nombre de leyes de De Morgan, en honor al lógico y matemático británico Augustus De Morgan ( ). Por otra parte, la propiedad (12) es iterativa en la medida en que el elemento a se itera o repite dentro del alcance de la operación de complemento. Demostración. 1) Por definición, a es el complemento de a. Por otro lado, las identidades que definen el complemento de a se pueden escribir como sigue. a a = 0 a a = 1 Esto significa que a es un complemento de a. Puesto que el complemento de a es único (afirmación 1.25), se obtiene a = a. 2) Si a = 0 entonces a = 0 = 1; si a = 1 entonces por (1) se tiene a = a = 1 = 0. 3) Si a = 1 entonces a = 1 = 0; si a = 0 entonces por (1) se tiene a = a = 0 = 1. 4) Si a b entonces a b b b = 0 luego a b = 0. En sentido contrario, si a b = 0 entonces a = a 1 = a (b b ) = (a b) (a b ) = 0 (a b ) = a b de donde a = a b b. 5) Si a b entonces b a b b = 0, luego b a = 0 y por (4) se sigue b a. 6) Una dirección es (5). En el otro sentido, si b a entonces por (5) se tiene a b lo cual por (1) equivale a a b. 7) Por (6) se tiene a b si y solo si b a, lo cual por (1) equivale a b a. 8) Por (6) se tiene a b si y solo si b a, lo cual por (1) equivale a b a. 9) Esta identidad y la siguiente se pueden demostrar utilizando la unicidad del complemento (véase [13]). Otro camino es utilizar las propiedades (7) y (8) y las definiciones de máxima cota inferior y mínima cota superior, como se muestra a continuación. 22

24 Para cualquier elemento y se tiene (a b) y si y solo si y a b si y solo si y a y y b si y solo si a y y b y si y solo si a b y luego, como en la prueba de la afirmación 1.5, esto implica (a b) = a b. 10) Para cualquier elemento x se tiene x (a b) si y solo si a b x si y solo si a x y b x si y solo si x a y x b si y solo si x a b de donde (a b) = a b. 11) Aplicando las propiedades probadas se tiene: a b si y solo si a b por (1); si y solo si a b = 0 por (4); si y solo si (a b ) = 1 por (2); si y solo si a b = 1 por (9); si y solo si a b = 1 por (1). 12) Basta observar que a (a b) = a (a b ) = (a a ) (a b ) = 0 (a b ) = a b donde se aplica la ley de De Morgan (9) en la primera igualdad. 1.4 Álgebras de Heyting La estructura que se estudia en seguida es una generalización de las álgebras booleanas. Así como aquellas corresponden de cierta manera a la lógica proposicional clásica o bivalente, las álgebras de Heyting constituyen un modelo para la lógica proposicional intuicionista. Para más detalles, véase la monografía [10]. 23

25 Definición Un álgebra de Heyting es un retículo con mínimo 0 y una operación binaria que satisface: a b c si y solo si a b c para cada a, b, c del conjunto. Nota Por la propiedad conmutativa de la operación, es evidente que en un álgebra de Heyting también se tiene a b c si y solo si b a c. Ejemplos Sea T cualquier conjunto ordenado lineal (o total) con mínimo 0 y máximo 1. como se observó en los ejemplos 1.10, esto determina un retículo con a b = min{a,b} y a b = max{a,b}. En T se define la operacion como sigue: 1 si a b a b = b si a > b Con esto se tiene un álgebra de Heyting. Pues cuando a b, como x a a se tiene x a b para cualquier x T, y así es necesario definir a b = 1 para que x a b para cada x T; y cuando a > b, para x > b se tiene x a > b luego en este caso x a b si y solo si x b de donde es necesario definir a b = b. Como un caso particular del anterior se tiene el álgebra de Heyting con tres elementos, la operación está dada por la tabla adjunta. a a a a 1 Se nota que este retículo no es un álgebra booleana pues, como se indicó en el ejemplo 1.24, no es complementado. 24

26 Toda álgebra booleana es un álgebra de Heyting. Basta definir la operación como a b = a b. En efecto, si x a b entonces x a (a b) a = (a a) (b a) = 0 (b a) = b a b; al revés, si x a b entonces x = x 1 = x (a a) = (x a ) (x a) a b. Si X es un espacio topológico entonces el conjunto Ab(X) de todos los subconjuntos abiertos de X, ordenados por la contenencia, constituyen un álgebra de Heyting. Pues evidentemente este es un retículo con la intersección y la unión, el mínimo es y la operación se define como sigue. A B = (A c B) = Ext(A B) Pues para un abierto arbitrario U de X se tiene U A B si y solo si U (A c B), si y solo si U A c B pues U es abierto, si y solo si U A B como en el ejemplo anterior pues P(X) es un álgebra booleana. Según estos ejemplos, la relación entre las álgebras booleanas y las álgebras de Heyting se puede ilustrar mediante el siguiente diagrama de Venn. álgebras booleanas álgebras de Heyting Afirmación Toda álgebra de Heyting es un retículo distributivo. 25

27 Demostración. Se tiene a b (a b) (a c) y de igual manera a c (a b) (a c). Por las propiedades de álgebra de Heyting(ver nota 1.35), estas desigualdades equivalen a las siguientes: b a ((a b) (a c)) c a ((a b) (a c)) Pero entonces b c a ((a b) (a c)) y de nuevo por la definicion de álgebra de Heyting resulta a (b c) (a b) (a c). Por 1.16 y 1.17, esta desigualdad garantiza que el retículo es distributivo. Afirmación En un álgebra de Heyting se tiene: 1. a b a; 2. a (a b) b; 3. a (a b) = a b; 4. a (b c) (a b) (a c); 5. Si a b entonces b c a c; 6. Si a b entonces c a c b; 7. a b = a (a b); 8. a (b c) = a ((a b) c); 9. (a b) c = (a c) (b c). Demostración. 1) Como a b a, por la definición se sigue a b a. 2) Como a b a b, por la nota 1.35 se tiene a (a b) b. 3) Por un lado, como a (a b) a y además a (a b) b por (2), se tiene a (a b) a b; por otra parte, a b a y además a b b y por (1) se tiene b a b de donde a b a b, y en consecuencia a b a (a b). 26

28 4) Aplicando algunas propiedades de semirretículos y luego la propiedad (2) se tiene: a (a b) (a (b c)) = [ a (a b) ] [ a (a (b c)) ] b (b c) c Luego por la nota 1.35 se sigue (a b) (a (b c)) a c y, por lo tanto, también a (b c) (a b) (a c). 5) Si a b entonces a (b c) b (b c); por (2) se tiene b (b c) c y así a (b c) c, de donde por la definición b c a c. 6) Por (2) se tiene c (c a) a. Si a b entonces c (c a) b de donde, por la definición, c a c b. 7) Como a (a b) a b por (3), se tiene a b a (a b) por la definición; por otro lado, como a b b, por (6) resulta a (a b) a b. 8) Puesto que a b b, por (5) es b c (a b) c de donde a (b c) a ((a b) c). En el otro sentido, claramente a ((a b) c) a y además por (2) se tiene (a ((a b) c)) b = (a b) ((a b) c) c de donde, por la definición, a ((a b) c) b c. Así que a ((a b) c) a (b c). 9) Como a a b, por (5) se tiene (a b) c a c; de la misma manera (a b) c b c y por lo tanto (a b) c (a c) (b c). En el otro sentido, por (2) se tiene a (a c) (b c) a (a c) c y de la misma manera b (a c) (b c) b (b c) c, así que (a b) (a c) (b c) = ( a (a c) (b c) ) ( b (a c) (b c) ) c de donde, por la definición, (a c) (b c) (a b) c. Afirmación Toda álgebra de Heyting posee elemento máximo. Demostración. Sea a un elemento dado del álgebra de Heyting(por ejemplo, el mínimo) y se considera el elemento a a. Para cualquier elemento x se tiene x a a luego, por definición, x a a. Como x es arbitrario, a a es el máximo. Como en el capítulo anterior, en adelante el elemento máximo se denota 1. En estos términos, la siguiente propiedad (2) generaliza el numeral (11) de la afirmación 1.33, de álgebras booleanas a álgebras de Heyting. 27

29 Afirmación En un álgebra de Heyting se tiene: 1. 1 a = a; 2. a b si y solo si a b = 1. Demostración. 1) Por (3) de la afirmación 1.38 se tiene 1 a = 1 (1 a) = 1 a = a. 2) Si a b entonces para cualquier elemento x se tiene x a a b de donde, por definición, x a b. Como x es arbitrario, a b es el elemento máximo, es decir, a b = 1. En el otro sentido, si a b = 1 entonces por (2) de la afirmación 1.38 resulta a = a 1 = a (a b) b, así que a b. Como se observó en los ejemplos, un álgebra de Heyting en general no es un retículo complementado. Sin embargo, en esta estructura se define una operación similar al complemento y que comparte algunas propiedades con ella. Definición En un álgebra de Heyting, el seudocomplemento de un elemento a, denotado a, se define como sigue. a = a 0 A continuación se establecen algunas propiedades del seudocomplemento, que contrastan con los de la afirmación Afirmación En un álgebra de Heyting se cumple: 1. a a = 0; 2. a a 1, pero no siempre se tiene la igualdad; 3. a a, pero no siempre se tiene la igualdad; 4. a b si y solo si a b = 0; 5. Si a b entonces b a, pero no siempre vale la recíproca; 6. a b si y solo si b a; 28

30 7. a b no siempre implica b a; 8. (a b) a b, pero no siempre se tiene la igualdad. 9. (a b) = a b; 10. a b = a (a b). Demostración. 1) Por (3) de la afirmación 1.38 se tiene a (a 0) = a 0 = 0. Por definición esto significa a a = 0. 2) Como 1 es el elemento máximo se tiene a a 1. En el álgebra de Heyting lineal con tres elementos 0 < a < 1 (véanse los ejemplos 1.36) se tiene a = a 0 = 0, luego allí a a = a 0 = a y como a 1, en general es a a 1. 3) Por la propiedad (1) se tiene a a 0, luego a a 0 es decir, a a. Por otra parte, de nuevo en el álgebra de Heyting lineal con tres elementos 0 < a < 1 se tiene a = (a 0) 0 = 0 0 = 1 y a 1 = a. Así, en general, a a. 4) Por definición a b si y solo si a b 0, si y solo si a b 0. Pero como 0 es el elemento mínimo, a b 0 si y solo si a b = 0. 5) Por (5) de 1.38, a b implica b 0 a 0, es decir, b a. En el álgebra de Heyting lineal con tres elementos 0 < a < 1 se tiene a 1 (pues a = 1 = 0), pero 1 a. Así que no siempre se tiene la recíproca. 6) Por (4) se tiene a b si y solo si a b = 0, si y solo si b a = 0, si y solo si b a de nuevo por la misma propiedad (4). 7) Una vez más, en el álgebra de Heyting lineal con tres elementos 0 < a < 1 se tiene a 0 (pues a = 0) pero 0 a (pues 0 = 1). 8) Por (3) se tiene a b a a luego por (6) se tiene a (a b). De la misma manera se obtiene b (a b), y así a b (a b). Para mostrar que no siempre se tiene la igualdad se considera la siguiente álgebra de 29

31 Heyting, a la derecha se muestra la tabla del seudocomplemento. a 1 c 0 b x x a b b a c Este retículo es un álgebra de Heyting porque corresponde a los abiertos de un espacio topológico, por ejemplo la recta real R con la topología τ = {,[0,1],(1,2],[0,2],R}. Ahora luego a b (a b). a b = b a = c 1 (a b) = 0 = 1 9) Esto es consecuencia directa de (9) de la afirmación 1.38, pues (a b) = (a b) 0 = (a 0) (b 0) = a b. 10) De igual manera, esto es consecuencia de (8) de la afirmación 1.38 ya que a b = a (b 0) = a ((a b) 0) = a (a b). 1.5 Álgebras de Hilbert Siguiendo la escala de generalización, las álgebras de Hilbert son estructuras que corresponden a la lógica implicativa [5]. Definición Un álgebra de Hilbert es una estructura algebraica que consiste en un conjunto no vacío I junto con una operación binaria y un elemento constante 1 que satisface: i) a (b a) = 1; 30

32 ii) (a (b c)) ((a b) (a c)) = 1; iii) a 1 = 1; iv) Si a b = 1 y b a = 1 entonces a = b. Si la igualdad con el máximo 1 se interpreta como lo verdadero, entonces la propiedad siguiente corresponde a la regla Modus Ponens. Afirmación En un álgebra de Hilbert, si a b = 1 y a = 1 entonces también b = 1. Demostración. Reemplazando a = 1 en a b = 1 resulta 1 b = 1; por otro lado, b 1 = 1por(iii)deladefinición. Luegopor(iv)delamismadefinición, deb 1 = 1 y 1 b = 1 se tiene b = 1. Aunque las álgebras de Hilbert en principio no se definen como estructuras ordenadas, en cualquiera de ellas se tiene una relación de orden natural. Definición En un álgebra de Hilbert, se define la relación como sigue. a b si a b = 1 Afirmación La relación definida arriba es de orden en el álgebra de Hilbert, y además 1 es el máximo para este orden. Demostración. Reflexiva. Por (ii) de la definición se tiene (a (1 a)) ((a 1) (a a)) = 1 y por (i) es a (1 a) = 1, luego por la afirmación 1.44 resulta (a 1) (a a) = 1. Ahora por (iii) de la definición se tiene a 1 = 1, luego de nuevo por la afirmación 1.44 resulta a a = 1, es decir, a a. Antisimétrica. Dados elementos a, b tales que a b y b a, esto significa a b = 1 y b a = 1. Entonces por (iv) de la definición resulta a = b. 31

33 Transitiva. Sean a, b, c tales que a b y b c, esto es, a b = 1 y b c = 1. Por (ii) de la definición se tiene (a (b c)) ((a b) (a c)) = 1 y por (iii) es a (b c) = a 1 = 1, luego por la afirmación 1.44 resulta (a b) (a c). De nuevo por la misma afirmación, esta igualdad junto con a b = 1 implica a c = 1, es decir, a c. Máximo. Por (iii) de la definición se tiene a 1 = 1, es decir, a 1 para cualquier a. Por lo tanto, 1 es el elemento máximo. La consecuencia que sigue es inmediata y resulta útil más adelante. Corolario En términos de la relación de orden, los axiomas de álgebra de Hilbert se pueden expresar como sigue i ) a b a; ii ) a (b c) (a b) (a c); iii ) a 1; iv ) Si a b y b a entonces a = b. Ejemplos Todo conjunto ordenado con máximo 1 es un álgebra de Hilbert, definiendo la operación como sigue. 1 si a b a b = b en caso contrario Se nota que en esta definicion se cumple a b si y solo si a b = 1. Luego el orden inducido por la operación es el mismo que posee originalmente el conjunto ordenado. Basta verificar las cuatro propiedades del corolario

34 i ) Pues b a = 1 o b a = a, y en ambos casos a b a. ii ) Se nota que a (b c) = c o bien a (b c) = 1, y de la misma manera (a b) (a c) = c o bien (a b) (a c) = 1. Por lo tanto, el único caso en el cual podría fallar esta propiedad (ii ) es si a (b c) = 1 y (a b) (a c) = c. Por ello, a continuación se demuestra que a (b c) = 1 implica (a b) (a c) = 1, con lo cual se garantiza la condición. Si a (b c) = 1 entonces a b c y se consideran dos posibilidades, dadas por el elemento b c. Si b c = 1 entonces b c de donde a b a c. En efecto: si a b = b entonces como b c y c a c por (i ), luego por transitividad a b a c; y si a b = 1 entonces a b y de b c se sigue a c, es decir, a c = 1 que es el máximo, luego también a b a c. En consecuencia (a b) (a c) = 1. Si b c = c entonces a c, de donde a c = 1 que es el máximo luego de nuevo a b a c, es decir, (a b) (a c) = 1. iii ) Evidente pues 1 es el elemento máximo. iv ) Evidente pues la relación de orden es antisimétrica. Como caso particular, cualquier conjunto ordenado lineal con máximo 1 es un álgebra de Hilbert, definiendo la operacion como sigue. 1 si a b a b = b si a > b Toda álgebra de Heyting es un álgebra de Hilbert. De nuevo, se verifican las condiciones del corolario Las primeras dos son (1) y (4) de la afirmación Las otras dos son evidentes pues el álgebra de Heyting es un conjunto ordenado con máximo 1. LosejemplosanteriorestambiénilustranelhechodequenotodaálgebradeHilbertesun álgebra de Heyting. Como un contraejemplo, basta tomar un conjunto ordenado lineal con máximo y sin mínimo. Pero otro contraejemplo para esta situación es cualquier retículo con máximo que no es distributivo. En efecto, según la afirmación 1.37 toda 33

35 álgebra de Heyting es un retículo distributivo, y se acaba de mostrar que todo retículo con máximo es, en particular, un álgebra de Hilbert. Así, por ejemplo, el retículo del ejemplo 1.14 es otra álgebra de Hilbert que no es de Heyting. La relación entre las álgebras booleanas, las de Heyting y las de Hilbert se puede ilustrar mediante el siguiente diagrama de Venn. álgebras booleanas álgebras de Heyting álgebras de Hilbert La afirmación 1.44 se puede generalizar como sigue. Afirmación En un álgebra de Hilbert, si x a b y x a entonces x b. Demostración. Por (ii) de la definición se tiene (x (a b)) ((x a) (x b)) = 1. Ahora la hipótesis x a b significa x (a b) = 1 luego por la afirmación 1.44 resulta (x a) (x b) = 1. De nuevo, la hipótesis x a significa x a = 1 luego por 1.44 se obtiene x b = 1, es decir, x b. Siguen algunas propiedades adicionales Afirmación En un álgebra de Hilbert se cumple: 1. 1 a = a; 2. Si a b entonces b c a c; 34

36 3. Si a b entonces c a c b; 4. a (b c) = b (a c); 5. a b = a (a b) Demostración. 1) Por (ii) de la definición se tiene ((1 a) (1 a)) (((1 a) 1) ((1 a) a)) = 1 y por la propiedad reflexiva es (1 a) (1 a) = 1, luego por la afirmación 1.44 se obtiene ((1 a) 1) ((1 a) a) = 1. Ahora(1 a) 1 = 1por(iii)deladefinición, luegoaplicandodenuevolaafirmación resulta (1 a) a = 1, es decir, 1 a a. Como también a 1 a por (i ) del corolario 1.47, al final queda 1 a = a. 2) Por (i ) es b c a (b c) y por (ii ) es a (b c) (a b) (a c) luego, por transitividad, b c (a b) (a c). Pero si a b, se tiene a b = 1 luego por (1) de esta afirmación se recibe (a b) (a c) = 1 (a c) = a c. Así que b c a c. 3) Por (ii) de la definición se tiene (c (a b)) ((c a) (c b)) = 1. Pero a b luego a b = 1 de donde c a b, es decir, c (a b) = 1. Luego por la afirmación 1.44 resulta (c a) (c b) = 1, es decir, c a c b. 4) Por (i ) se tiene b a b luego aplicando (2) de esta afirmación resulta (a b) (a c) b (a c). 35

37 Pero por (ii ) es a (b c) (a b) (a c) luego por transitividad se obtiene a (b c) b (a c). Por simetría también b (a c) a (b c) de donde resulta la igualdad. 5) Por (ii ) se tiene a (a b) (a a) (a b), pero por la propiedad reflexiva a a = 1 y por (1) de esta afirmación se tiene (a a) (a b) = 1 (a b) = a b, así que a (a b) a b. Por otro lado, por (i ) es a b a (a b), y de esta manera resulta la igualdad. 1.6 Semirretículos de Hilbert Toda álgebra de Hilbert es un conjunto ordenado, y cualquier conjunto ordenado puede ser o no un semirretículo. Si cierta álgebra de Hilbert es un semirretículo para el orden inducido, se cumplen las propiedades siguientes. Afirmación Sea H un álgebra de Hilbert en la cual, respecto al orden inducido, cada par de elementos a, b posee máxima cota inferior a b. En tales condiciones: 1. Si a b c entonces a b c; 2. a (a b) = a b. Demostración. 1) Como a b a, la hipótesis a b c implica a b b c; por otro lado a b b. Luego por la afirmación 1.49 se tiene a b c. 2) Se tiene a (a b) a y a (a b) a b, luego de nuevo por la afirmación 1.49 es a (a b) b. Esto junto con la primera desigualdad implica a (a b) a b. En el otro sentido, por (i ) de 1.47 se tiene b a b, luego a b a (a b). Cabe resaltar que la implicación recíproca del numeral (1) de esta afirmación no se cumple en todas las álgebras de Hilbert que son semirretículos. 36

38 Ejemplo En el retículo siguiente, considerado como álgebra de Hilbert según se explicó en 1.48, se tiene a b c pero b c = c porque b c. De donde a b c. 1 a b c 0 Definición Un semirretículo de Hilbert es un álgebra de Hilbert en la cual, para el orden inducido, cada par de elementos posee máxima cota inferior y que además satisface las condiciones siguientes. i) a b c si y solo si a b c; ii) (a b) c = a (b c); iii) a (b c) = (a b) (a c); iv) a b = a (a b). En realidad, estas cuatro condiciones son equivalentes entre sí, tal como sucede, por ejemplo, con la definición de retículo distributivo (1.18). Para una demostración detallada de este hecho puede consultarse el trabajo de grado [5] o el artículo [6]. En estos escritos también se muestra, con toda claridad, que los semirretículos de Hilbert corresponden al segmento de la lógica intuicionista determinado por la conjunción y la implicación, segmento llamado allí lógica implicativa con conjunción. Ejemplos Toda álgebra de Heyting es un semirretículo de Hilbert. En efecto, según 1.48 se trata de un álgebra de Hilbert. Como el orden inducido corresponde al orden original, también es un semirretículo y además satisface (i) de 1.53 por la definición de álgebra de Heyting. 37

39 Todo conjunto ordenado lineal con máximo es un semirrretículo de Hilbert. Pues es un álgebra de Hilbert cuyo orden inducido coincide con el original (1.48). Para este orden es un semirretículo (1.4), y además satisface la condición (i) de En efecto, si a b c se consideran dos casos: cuando b c entonces b c = 1 y evidentemente a b c; cuando b > c entonces b c = c y si fuera a > c entonces (por ser un orden lineal) también a b > c, lo cual es absurdo así que de nuevo a b c. Afirmación En un semirretículo de Hilbert se cumple la igualdad siguiente. a (b c) = a ((a b) c) Demostración. Por (ii) de la definición 1.53 se tiene (a b) c = a (b c), luego también a ((a b) c) = a (a (b c)). Ahora por el numeral (ii) de la afirmación 1.51 es a (a (b c)) = a (b c). Ahora bien, puede demostrarse que en la definicion 1.53 las condiciones que definen el álgebra de Hilbert (o las condiciones (i ) hasta (iv ) de la definicion 1.47) son consecuencias de la equivalencia exigida. Es decir, basta pedir que el semirretículo tenga una operacion que satisfaga la equivalencia (i). Teorema Un semirretículo de Hilbert puede definirse como un semirretículo (S, ) con una operación binaria que satisface: a b c si y solo si a b c. La demostración es similar a la prueba de que toda álgebra de Heyting es un álgebra de Hilbert. Para mayores detalles, se puede consultar el trabajo [5] o el artículo [6]. El hecho siguiente, aunque obvio, parece no haber sido señalado antes en la literatura matemática. Corolario Un álgebra de Heyting puede definirse como un semirretículo de Hilbert que, respecto al orden, también es un retículo y además posee mínimo. 38

40 En el siguiente diagrama de Venn se ilustran las relaciones de contenencia que existen entre las principales estructuras estudiadas en este capítulo. álgebras booleanas álgebras de Heyting semirretículos de Hilbert álgebras de Hilbert 39

41 Capítulo 2 Definiciones iterativas Las reglas de transformación de los gráficos existenciales Alfa, propuestas por C. S. Peirce, determinan un sistema del todo gráfico para el cálculo proposicional clásico. En esa presentación las reglas de iteración y desiteración, que permiten copiar o borrar información a través de límites de la negación, juegan un papel muy importante. En el trabajo [13] se propuso una traducción de los gráficos Alfa al cálculo proposicional mediante álgebras booleanas, y allí surgió una definición alternativa de estas estructuras en la cual la propiedad iterativa (la propiedad (12) de la afirmación 1.33 arriba) ocupa un lugar central. En este capítulo se revisa y perfecciona esa definición, pero además se proponen definiciones similares para otras estructuras más generales. 2.1 Retículos distributivos Si se aplica la propiedad iterativa (la propiedad (12) de 1.33) a la disyunción se obtiene una identidad que, de manera sorprendente, caracteriza el carácter distributivo de un retículo. Teorema 2.1. Un retículo es distributivo si y solo si se cumple la condición siguiente. a (b c) = a ((a b) c) 40

42 Demostración. ) En un retículo distributivo se tiene: a ((a b) c) = (a (a b)) (a c) distributiva; = ((a a) b) (a c) asociativa; = (a b) (a c) idempotente; = a (b c) distributiva. ) Si en un retículo se cumple la propiedad indicada entonces a (b c) = a ((a b) c) por hipótesis; = a (c (a b)) conmutativa; = a ((a c) (a b)) por hipótesis; = a ((a b) (a c)) conmutativa. Luego a (b c) (a b) (a c) lo cual, por las afirmaciones 1.16 y 1.17, implica que el retículo es distributivo. 2.2 Álgebras booleanas En esta sección se estudia a definición alternativa presentada en [13] y ella se enriquece con otras dos muy similares. En un principio, las reglas de transformación conducen de manera natural a la estructura siguiente. Convención 2.2. En un semirretículo inferior con máximo (S,, 1) se considera una operación S S : a a que satisface las siguientes condiciones. B 1 1. a b = a (a b) ; B 1 2. a = a; B 1 3. Si a b entonces b a. Siguen algunas consecuencias de esta combinación de propiedades. Afirmación 2.3. En un semirretículo con máximo (S,,1) con una operación que satisface B 1 2 y B 1 3 se cumplen las propiedades siguientes. 41

43 1. a b si y solo si b a ; 2. a b si y solo si b a ; 3. a b si y solo si b a; 4. 1 es el elemento mínimo de S. Por supuesto, las demostraciones son iguales a las de la afirmación Demostración. 1) Una dirección es B 1 3. En el otro sentido, si b a entonces por B 1 3 se tiene a b lo cual por B 1 2 equivale a a b. 2) Por (1) se tiene a b si y solo si b a, lo cual por B 1 2 equivale a b a. 3) Por (1) se tiene a b si y solo si b a, lo cual por B 1 2 equivale a b a. 4) Para cada a S se tiene a 1 luego por (3) es 1 a. Así que 1 es el mínimo. Definición 2.4. En un semirretículo con máximo (S,,1) con una operación que satisface las condiciones de la convención 2.2 se define la operación binaria como sigue. a b = (a b ) Afirmación 2.5. En un semirretículo con máximo (S,,1) con una operación que satisface B 1 2 y B 1 3, para cada elemento y S se tiene: a b y si y solo si a y y b y. Demostración. En efecto, a b y si y solo si (a b ) y por definición; si y solo si y a b por (3) de 2.3; si y solo si y a y y b por definición; si y solo si a y y b y por (2) de 2.3. Corolario 2.6. Un semirretículo con máximo (S,,1) con una operación que satisface B 1 2 y B 1 3 es un retículo acotado. 42

44 Demostración. La afirmación 2.5 establece que a b es la mínima cota superior de a y b, de manera que S es un retículo; el numeral (4) de la afirmación 2.3 muestra que S es un retículo acotado porque también posee elemento mínimo. Los ejemplos siguientes muestran que las condiciones B 1 2 y B 1 3 no son suficientes para garantizar que se trata de un retículo distributivo ni de un retículo complementado. Ejemplos 2.7. El semirretículo siguiente con la operación indicada en la tabla adjunta, satisface las condiciones B 1 2 y B x x a b a b c d b a c d d c De manera similar al ejemplo 1.14 se verifica que este retículo no es distributivo. El semirretículo siguiente también verifica B 1 2 y B a 0 x x a a Comoelsegmentoreal[0,1]enelejemplo1.24, esteretículonoescomplementado. Así pues, para las demás condiciones de álgebra booleana se requiere la propiedad iterativa B

45 Afirmación 2.8. En un semirretículo con máximo (S,,1) con una operación que satisface B 1 1, B 1 2 y B 1 3 se tiene: 1. a a = 1 ; 2. a a = 1; 3. a (b c) (a b) (a c). Demostración. 1) En efecto: a a = a (a 1) pues a 1 = a; = a 1 por B 1 1; = 1 ya que 1 es el mínimo. 2) Ahora a a = (a a ) por definición; = 1 por (1) aplicado a a ; = 1 por B ) Pues a (b c) = a (b c ) por definición; = a (a (b c )) por B 1 1; = a ((a b ) (a c )) propiedades de semirretículo; = a ((a (a b) ) (a (a c) )) por B 1 1; = a (a ((a b) (a c) )) propiedades de semirretículo; = a ((a b) (a c) ) por B 1 1; ((a b) (a c) ) evidente; = (a b) (a c) por definición. Con estos elementos se llega a la siguiente definición iterativa de las álgebras booleanas. 44

46 Teorema 2.9. Un álgebra booleana puede definirse como un semirretículo inferior con máximo (S,,1) con una operación S S : a a que satisface las siguientes condiciones. B 1 1. a b = a (a b) ; B 1 2. a = a; B 1 3. Si a b entonces b a. Demostración. En toda álgebra booleana se cumplen las propiedades B 1 1, B 1 2 y B 1 3, que corresponden en ese orden a los numerales (12), (1) y (5) de la afirmación En el otro sentido, un semirretículo con una operación que satisface las condiciones B 1 1, B 1 2 y B 1 3 es un retículo acotado por el corolario 2.6. Puesto que en cualquier retículo se tiene siempre la desigualdad a (b c) (a b) (a c) (afirmación 1.16), el numeral (3) de 2.8 significa la identidad a (b c) = (a b) (a c) y con ello se garantiza que la estructura es un retículo distributivo (afirmación 1.17). Por fin, en la afirmación 2.3 se estableció que 1 es el elemento mínimo de S, así que las igualdades (1) y (2) de 2.8 aseguran que el retículo es complementado. En resumen, S es un álgebra booleana. Como se trata del mismo conjunto y las mismas operaciones, es claro que la correspondencia entre las dos presentaciones de la estructura es biyectiva. La siguiente presentación alternativa es la que aparece, aparentemente por primera vez, eneltrabajodegrado[13]. Senotaquelaúnicadiferenciaconlaprecedenteeslatercera propiedad. A partir del teorema 2.9, es fácil establecer la equivalencia requerida. Teorema Un álgebra booleana puede definirse como un semirretículo inferior con máximo (S,,1) con una operación S S : a a que satisface las siguientes identidades. B 2 1. a b = a (a b) ; B 2 2. a = a; B 2 3. a a = 1. 45