Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

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1 UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 2015 Lic. Manuel de Jesús Campos Boc SEGUNDA UNIDAD CONJUNTOS A diario se trabaja con colecciones de distintos tipos de objetos; por ejemplo: al realizar una encuesta sobre empresas textiles, se puede considerar la colección de empresas textiles existentes en el municipio de Villa Nueva para el año También podrían consultarse acerca de las universidades que, en Villa Nueva, ofrecen el programa de Administración de Empresas. Podría tenerse, también, una colección de entidades bancarias que prestan dinero para vivienda. Dichas colecciones son ejemplos de conjuntos. En forma más específica, podría definirse un Conjunto como una colección bien definida de objetos llamados elementos. Así, al definir el conjunto, se puede nombrar un objeto, y debe ser posible determinar si éste pertenece o no a la colección. Los conjuntos se denotan mediante letras mayúsculas (A, B, C,) y se pueden representar gráficamente por medio de una curva llamada diagrama, así: a, o, e, i, u 1

2 Elemento: es cada uno de los objetos que constituyen un conjunto. Se representas con letras minúsculas, números o símbolos que se pueden identificar. Los elementos se encierran entre llaves, { }, y se separan por comas (,) Por ejemplo: El conjunto A, que tiene como elementos las vocales, se representa: A = {a, e, i, o, u} ó A = a, e, i o, u A esta forma de notación se le llama por enumeración, y es cuando todos los elementos que pertenecen a un conjunto se enumeran. Otro tipo de notación para los conjuntos es la notación descriptiva, es una regla que describe la propiedad o propiedades distintivas que debe cumplir un objeto x para que pueda pertenecer al conjunto. Con esta notación el conjunto A se escribe así: A = {x/x es una letra de las vocales} Que se lee: A es el conjunto de todas los elementos x tales que x es una letras de las vocales. Relación de pertenencia: para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza los signos y no respectivamente. Si u es un elemento de un conjunto A, se escribe u A, que se lee u pertenece a A. ó u es un elemento de A. Ahora, si el elemento u no pertenece al conjunto A, se escribe u A, y se lee u no pertenece al conjunto A, ó u no es un elemento de A. Por ejemplo: si A = {1, 3, 4, 6, 7}, entonces, 5 A pero 3 A. 2

3 Clasificación de los conjuntos -Conjunto vacío: es un conjunto que no posee elementos y se denota con el símbolo o con { }. Ejemplo: M = {x/x +3=0, x N} Es un conjunto vació, ya que la ecuación x + 3 = 0, no tiene solución en los números naturales. L = {x/x es una persona que tiene 5 ojos} -Conjunto finito: es un conjunto en el que se puede determinar con exactitud el número de elementos, se conoce el primero y el último y, además, pueden contarse. Ejemplo: P = {x/ -2 x 2 Z} P = {-2, -1, 0, 1} El conjunto P es igual a x tal que -2, es menor o igual que x, y, x es menor que 2 y pertenece a los números naturales. M = {x/x es un día de la semana} M = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} -Conjunto infinito: es un conjunto del que no se sabe el número de elementos, o sea, no puede contarse sus elementos. Ejemplo: D = {x/x N} D = {1, 2, 3, 4, } H = {x/x es una estrella del firmamento} -Conjunto universal o referencia: es un conjunto que puede ser finito o infinito, y se utiliza para realizar operaciones con conjuntos que tienen menos elementos que él, y los elementos de esos conjuntos pertenecen al universal U. Ejemplo: F = {x/x es una letra del abecedario} 3

4 -Subconjunto: sean A y B dos conjuntos diferentes; decimos que A es un subconjunto de B, si todo elemento de A es también elemento de B, y se denota por A B. En otras palabras: A B, equivale a: si x A entonces x B. Ejemplo: Considerando los conjuntos B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = {2, 3, 6} Como se puede observar, todos los elementos de A están en B. Decimos que A está incluido en B o que A es un subconjunto de B; es decir, A B. Una representación visual de los conjuntos, que se obtiene mediante los diagramas de Venn, es de gran utilidad para comprender los conceptos ya expuestos, así, como para resolver problemas que competen a los conjuntos. El conjunto universal U se representa mediante un rectángulo, y los subconjuntos de U, a través de círculos dentro de dicho rectángulo. Utilizando diagramas de Venn para representar las siguientes afirmaciones: a) El conjunto A es subconjunto del conjunto B B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = {2, 3, 6} U B A b) El conjunto de A no es un subconjunto de B. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = {8, 14, 16} U B 4

5 -Propiedades contención o inclusión 1.- Reflexiva: una relación es reflexiva si todo elemento del conjunto está relacionado con sí mismo; o sea, que es parte de sí mismo; o cuando dos conjuntos son iguales. Ejemplo: (A B) { x A x A} A esta incluido, contenido o es igual en B, si solo si, para todo x pertenece A, entonces x pertenece A. Si se tiene los conjuntos A = {2, 4, 6, 8} B = {4, 8, 6, 2} Por lo que A = B 2.- Transitiva o simétrica: una relación es simétrica si cada vez que un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero. Ejemplo: {(A B) (B C)} (A C) Si A pertenece a B y B pertenece a C, entonces A pertenece a C. Si se tiene los conjuntos A = {1, 2} B = {1, 2, 3} C = {1, 2, 3, 4, 5} En consecuencia pueden expresarse así: (A B B C) A C U C B A 3.- Antisimétrica o transitiva: una relación es transitiva si cada vez que un elemento está relacionado con otro, y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. Por ejemplo: 5

6 (A B A B) B A (A B B C A C) Si se tiene los conjuntos A = {1, 2} B = {1, 2, 3} C = {1, 2, 3, 4, 5} En consecuencia pueden expresarse así: Si A pertenece a B, porque los elementos de A están también en el conjunto B, y el conjunto A es distinto del conjunto B. de donde podemos expresar que B no pertenece a A. Si A pertenece a B, porque los elementos de A están también en B; si B pertenece a C porque los elementos de B están en C; entonces el conjunto A pertenece a C, porque los elementos de A están en C. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Una vez presentado el concepto de conjunto, se verán ahora las operaciones que entre ellos se pueden realizar, observando en que pueden combinarse los conjuntos para producir otros. -Unión de conjuntos U : A U B = la unión de dos conjuntos A con los conjunto B, que es tomar todos los elementos que estén en el conjunto A y todos los elementos que están en el conjunto B. Para denominar los elementos de A U B, se utiliza la disyunción inclusiva (se lee ó). Por ejemplo: A U B = {x/x A x B} A unión B es igual, x tal que x pertenece a A ó x pertenece a B. A U B x A x B A unión B si solo si, x pertenece a A ó x pertenece a B Si se tienen los conjuntos: A = {a, b, c, g} B = {a, d, e, f, g} A U B = {a, b, c, d, e, f, g} 6

7 U A a,b,c,d B e,f,g -Propiedades de la unión 1.- Conmutativa: A U B = B U A Nos indica que es lo mismo unir el conjunto A con el conjunto B, que unir el conjunto B con el conjunto A. Por ejemplo: A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} A U B = B U A A U B = {1, 2, 3, 4, 5} B U A = {3, 4, 5, 1, 2} Como puede observarse, los mismos elementos que están en A U B, están B U A, ya que no importa el lugar que ocupan los elementos en un conjunto. 2.- Asociativa: (A U B) U C = A U (B U C), Nos indica que la unión de un conjunto se puede agrupar de diferentes maneras, y que el resultado es el mismo. Por ejemplo: A = {a, b} B = {c, d} C = {e, f} A U B = {a, b, c, d} (A U B) U C = {a, b, c, d, e, f} B U C = {c, d, e, f} A U (B U C) = {a, b, c, d, e, f} 7

8 -Leyes sobre identidades: A U A = A A U = A A U U = U A B A U B = B U A B A Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7} El nuevo conjunto es A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Sea A = {a, e, i} B = {c, d, f} Entonces es A U B = {a, c, d, e, f, i} -Intersección de conjunto : sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal U. La intersección de A y B es igual a tomar todos los elementos que sean comunes en ambos conjuntos y se escribe A B. Para denominar los elementos de A B, se utiliza la conjunción y se lee (y). Por ejemplo: A B = {x/x A x B} Sean los conjuntos: A = {2, 4, 6, 8} B = {4, 6, 10} A B = {4, 6} U 8

9 -Propiedades de la intersección 1.- Conmutativa: A B = B A Nos indica que es lo mismo intersectar el conjunto A con el conjunto B, que intersectar el conjunto B con el conjunto A. Por ejemplo: A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} A B = B A A B = {3} B A = {3} Como puede observarse, los mismos elementos que están en A B, están B A, ya que no importa el lugar que ocupan los elementos en un conjunto. 2.- Asociativa: (A B) C = A (B C) Nos indica que la intersección de un conjunto se puede agrupar de diferentes maneras, y que el resultado es el mismo. Por ejemplo: A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f} C = {c, e, f, g} A B = {c, d} (A B) C = {c} B C = {c, e, f} A (B C) = {c} 3.- Distributiva A (B U C) = (A B) U (A C) A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f} C = {c, e, f, g} A (B U C) 9

10 (B U C) = {c, d, e, f, g} A (B U A) = {c, d} (A B) U (A C) (A B) = {c, d} (A C) = {c} (A B) U (A C) = {c, d} 4.- Ajenos Se dice que los conjuntos A y B son ajenos si al intersectarlos da como resultado el conjunto vacío. Por ejemplo: A = {1, 2, 3, 4} B = {5, 6, 7, 8} A B = { } = 5.- Leyes sobre identidades A A = A A B A B = A A B A Sea los conjuntos: A= {1, 2, 3} B= {1, 2, 3, 4} -Diferencia de conjuntos (-): es igual a tomar todos los elementos que estén en el conjunto A, pero que no estén en el conjunto B. Para denotar, se utiliza el signo (-) y se lee diferencia. A B, y se forma un nuevo conjunto. Por ejemplo: A B = {x/x A x B) 10

11 Sea los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5,} B = {4, 5, 6, 7, 8} A B = {1, 2, 3} -Propiedades de la diferencia 1.- No es conmutativa A B B A 2.- No es asociativa A (B C) (A B) C Sea los conjunto A=1, 2, 3, 4} B= {3, 4, 5, 6} C= {4, 5, 6} 11

12 3.- Leyes sobre identidades a) A B A B = Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = b) (A B) (B - A) = Ejemplo: A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} A B = {1} B A = {4} Entonces (A B) (B - A) = -Diferencia Simétrica de un conjunto ( ): en teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo: A B = {x/x A x B} Lo que es lo mismo a decir: A B = (A B) U (B A) A B = (A U B) (A B) Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} A B A B = B A 12

13 -Propiedades de la diferencia simétrica: 1.- Conmutativa A B = B A Ejemplo: A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f} A B = {a, b, e, f} 2.- Asociativa (A B) C = A (B C) Por ejemplo: A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 3, 6, 7} C = {3, 4, 5, 6} A B = {1, 4, 6, 7} (A B) C = {1, 7, 3, 5} B C = {2, 7, 4, 5} A (B C) = {1, 3, 7, 5} 13

14 -Complemento de un conjunto con respecto de un conjunto universal Si U es un conjunto universal y A es un subconjunto de U, entonces el conjunto de todos los elementos es U, que no está en A, o los elementos que le faltan a A, para ser igual al universal, son el complemento de A y se denota A c = A = A A = {x/x U x A} Por ejemplo: Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6, 8, 10} A = {1, 3, 5, 7, 9} -Conteo de los elementos de un conjunto La solución a algunos problemas en matemáticas requiere determinar el número de elementos de un conjunto. El número de elementos de un conjunto se obtiene contando dichos elementos y se denota por n(a); por ejemplo, si: A = {1, 2, 3 10} B = {h, i} C = {3} Entonces: n(a) = 10 n (B)= 2 y n(c) = 1 n ( ) = 0 n (A U B) = n(a) + n(b) n (A U B) = n(a) + n(b) n(a B) n (A ) = n (U) n (A) n (A -B) = n (A) n(a B) 14

15 -Aplicación a problemas de administración y economía Ejemplo No. 1 En un estudio de consumidores realizado en un centro comercial, 80 consumidores indicaron que compraron la marca A de cierto producto; 68 compran la marca B; y 42 adquieren ambas. Determine la cantidad de consumidores participantes en el estudio de quienes compran: a. Al menos una de estas marcas b. Exactamente una de estas marcas c. Solo la marca A d. Ninguna de estas marcas Solución: Datos: consumidores compran la marca A compran la marca B Luego se construye un diagrama de Venn que permite, a través de su arreglo, organizar los datos y poder concluir acerca de las interrogantes. El conjunto de los que compran la marca A, está dado por: = 38 Los que sólo compran la marca B, está dado por: = 26 15

16 Respuestas: a. Con base en la figura, aquellos que compran al menos una de las marcas, corresponde a la unión de A y B o sea: = 106 consumidor. b. De la figura, los que compran exactamente una de las marcas, corresponde a la unión de los conjuntos, menos la intersección de los dos conjuntos, es decir, = = 64 ( = 64) consumidores. c. Para aquellos que sólo compran la marca A, se toma el conjunto A y se resta la intersección de los conjunto, así: = 38 (o la cantidad que dedujimos en el diagrama de Venn) consumidores. d. Los que no compran ninguna de las marcas son aquellos que pertenecen al Universal y no pertenecen a A ó B, es decir, 120-( )= 14 consumidores. Ejemplo No. 2 En un estudio de 100 locales comerciales se halló que 50 de ellos venden a crédito, 80 venden de contado y 60 lo hacen de contado y crédito. Cuántos locales venden a crédito o de contado? Sea U el conjunto de los 100 locales estudiados y sean: A = {x U/ x vende a crédito} B = {X U/ x vende de contado} Entonces, n(a) = 50, n (B) = 80 y n(a B) = 60 El conjunto de locales que venden a crédito o de contado está dado por A U B. Con la ecuación se halla la solución así: n (A U B) = n(a) + n (B) n(a B) = = 70 16

17 De tal forma que 70 locales de los 100 venden a crédito o contado. Ejemplo No 3. Una fábrica de cosméticos anuncia sus productos en tres revistas, así: Cosmopolitan, Vanidades y Ella. Un estudio realizado por el fabricante a 500 clientes revela la siguiente información: a. 180 se enteraron de los productos por Cosmopolitan. b. 200 se enteraron de los productos por Vanidades. c. 192 se enteraron de los productos por Ella. d. 84 se enteraron de los productos por Cosmopolitan y Vanidades. e. 52 se enteraron de los productos por Cosmopolitan y Ella. f. 64 se enteraron de los productos por Vanidades y Ella. g. 38 se enteraron de los productos por las tres revistas. - Cuántos clientes vieron la publicidad del fabricante? 1.- Al menos una revista. 2.- Exactamente una revista 3.- Por otros medios Para la solución se apoya en un diagrama de Venn. 17

18 1.- Cuál es el factos común o el elemento en común de las tres revistas. (Inciso g = 38 color anaranjado) Respuestas numeral Se enteraron por Cosmopolita y Vanidades (inciso d color verde). n (C V) = = 46 personas. 3.- Se enteraron por Cosmopolita y Ella (inciso e color amarillo). n (E C) = = 14 personas. 4.- Se enteraron por Vanidades y Ella (inciso f color rojo). n (E V) = = 26 personas. Respuestas numeral Se enteraron solo por Cosmopolitan (color celeste). n (C) = = 82 personas. 6.- Se enteraron solo por Vanidades (color violeta). n (V) = = 90 personas. 7.- Se enteraron solo por Ella (color azul). n (E) = = 114 personas. 8.- Por otros medios n (A ) = n (U) n (A) = n (U) C U (V U E) = = 90 personas 500 ( ) = 90 supieron por otros medios. 18

19 Ejemplo No 4. La siguiente encuesta muestra la preferencia que por algunas asignaturas tiene un grupo de estudiantes, por el programa de estudios de la carrera de Administración de Empresas de la Universidad Mariano Gálvez de Guatemala, extensión Villa Nueva. - A 36 les gusta Matemáticas - A 32 les gusta Administración - A 31 les gusta Economía - A 16 les gusta Administración y Economía - A 15 les gusta Matemáticas y Administración - A 14 les gusta Matemáticas y Economía - Y 6 tienen preferencia por las tres asignaturas Encontrar: a. Cuántos estudiantes fueron encuestados? b. Cuántos estudiantes prefieren solamente Matemáticas? c. Cuantos no prefieren Economía? d. Cuántos prefieren Matemáticas y Economía pero no Administración? Respuestas: a. 60 b. 13 c. 29 d. 8 19

20 1.- n (A E) = 16 6 = 10 estudiantes. 2.- n (M A) = 15 6 = 9 estudiantes. 3.- n (M E) = 14 6 = 8 estudiantes. Así mismo: 4.- n (M) = = 13 estudiantes. 5.- n (A) = = 7 estudiantes. 6.- n (E) = = 7 estudiantes. 20