CAPÍTULO I ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

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1 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 1 CAPÍTULO I ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 1.1 PROPOSICIÓN Proosición (o enunciado) es una afirmación verbal a la ue uede asociarse un valor de verdad, es decir, uede ser verdadera o falsa, or ejemlo: Hace calor José estudia El es feliz Oruro es una ciudad con clima frío Las roosiciones ueden ser simles como las de los ejemlos anteriores o comuestas, ue se ueden unir a través de conectores (conectivas) José estudia y es feliz Hace calor o estoy muy abrigado Si llueve entonces me mojo El álgebra roosicional es la reresentación del lenguaje usual tomando como elemento básico una reresentación matemática de las frases declarativas ue definen las oeraciones básicas del álgebra roosicional. Para reresentar roosiciones se utilizarán letras:,, r, s,.las oeraciones básicas son: Negación Conjunción. Disyunción Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional Negación conjunta ~ ( )

2 2 ÁLGEBRA I 1.2 NEGACIÓN ~ Permite negar un enunciado o roosición, su tabla de verdad es falsa cuando es verdadera y viceversa: No No es verdad ue Es falso ue No es cierto ue ~ V F F V 1.3 CONJUNCIÓN Dos roosiciones ueden ser unidas con la conjunción, lo cual uede interretarse como: y ero sin embargo no obstante a esar de V V V V F F F F V F F F La tabla de verdad de la conjunción es verdadera, solamente cuando los dos enunciados son verdaderos. 1.4 DISYUNCIÓN La disyunción ermite unir dos roosiciones con el euivalente a la letra o o o o o ambas cosas como mínimo o V V V V V F F V V F F F La tabla de verdad de la disyunción es falsa solamente cuando los dos enunciados son falsos. 1.5 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA La disyunción exclusiva euivale a unir dos enunciados con un conector euivalente a o ero no ambos, su tabla de verdad es verdadera cuando un enunciado es verdadero y el otro falso o viceversa. Q V F V V V F F V V F F F

3 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES CONDICIONAL (IMPLICACIÓN) Es una relación de causa a efecto imlica a si entonces es suficiente ara es necesario ara si V V V V F F F V V F V F La tabla de verdad del condicional tiene valor falso cuando el rimer enunciado es verdadero y el segundo falso. 1.7 BICONDICIONAL (DOBLE IMPLICACIÓN) Se lee si y sólo si, su tabla de verdad exige ue ambos enunciados sean verdaderos o ambos falsos ara ser verdadera. si y sólo si necesario y suficiente ara V V V V F F F F V F V F 1.8 NEGACIÓN CONJUNTA Se lee ni ni y es verdadero cuando es falso y es falso V F V V F F F F V F V F 1.9 TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES Cuando se construye una tabla de verdad se uede clasificar la misma, si la última columna tiene todos los valores de verdad verdaderos, se trata de una Tautología, si son falsos es una Contradicción y, si los valores de verdad están combinados una Contingencia.

4 4 ÁLGEBRA I Para asignar los valores de verdad a una roosición ue contiene dos enunciados y emiece or dar a dos valores verdaderos y dos falsos e intercale entre verdadero y falso los de. Si se tienen tres enunciados,, r asigne a cuatro valores verdaderos y luego cuatro falsos, a dos verdaderos, dos falsos, dos verdaderos y luego dos falsos, finalmente intercale los valores de verdad de r entre verdadero y falso. Siguiendo ésta lógica no existe ninguna dificultad ara construir una tabla de verdad de n enunciados, resete el orden alfabético de las letras ara emezar a asignar los valores de verdad corresondientes. Nótese ue el número de líneas de una tabla de verdad vendrá dado or el número dos elevado al número de enunciados de la tabla. Así or ejemlo, una roosición de cuatro enunciados tendrá 2 4 =16 filas Construya la tabla de verdad de las siguientes roosiciones e indiue si se trata de una tautología, contradicción o contingencia Ejemlo 1 ~ ( v ) v ~ ^ ~ F V V V F F F F F V V F F F F V F F V V F V F F V F F F F V V V Es una contradicción Ejemlo 2 Es una contingencia ( ) (r ^ ~) V V V F V F F V V V F F F F V F F V V F F V F F V F F F F V V V V V V F V V F F F V F V F V V V V F V F F F F V

5 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 5 Ejemlo 3 Es una contingencia {( ) (~r ^ s)} V (~ v r) V V V F F F V V F V V V V V F F F F V F V V V V V V V V V V F F F V V V F V F F F F F F V F F V F F V F V V V V F F V F F F F V V V V F F F V V V V V V F V F F V V F F F V V F F V V F F F V V F V V F V V F F F F V F V V F V V V V V V V F F F F V V F V F F F F F F F V F F F F V V V V V F V F F F F F V V V V F V F V V V V F V V F F V F F V F F V V V F Ejemlo 4 [( ) ^ ( r)] ( r) V V V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F F V F V V V V V V V F F F F F F V V F F F V V V V V V V F V V F V V F V F F V F V F F V F V F V V V F V V F V F V F V F V F V F Es una tautología

6 6 ÁLGEBRA I Ejemlo 5 Es una contingencia (r v ) {(~ v s) (~ ~r)} V F V F F V V V F V F V F V F F F F V F V F F V V V F V V V F V V F V V F F F F V F V V V V F F F V V F V F F V V F V F F F V V F F F F F F F V V V V V V F F F F F F F V V V V V F V F V V V V F V F V F V F V V F V F V F F V V V V V V V F V V F V V V V V F V F V V V V F F V V V F V F F V V F F V V F F V F F F F F F V V V V V V V F F F F V V F V V V V 1.10 PARADOJAS LÓGICAS 1 Existen acertijos lógicos ue ermiten matizar el arendizaje del álgebra de roosiciones, dando un contenido entretenido al tema. La mayor arte de los acertijos se origina en lo ue se ha dado a llamar la falacia del circulo vicioso, ue es debida al hecho de desreciar el rinciio fundamental de ue lo ue se involucra al todo de una totalidad dada no uede ser arte de la totalidad or ejemlo, el acertijo de Eiménides referente al cretense ue dice ue todos los cretenses son mentirosos. Otros ejemlos sencillos de esto son auellas frases ontificiales, familiares en todo el mundo, ue arecen tener mucho significado, ero ue en realidad no tienen ninguno, tales como: nunca digas nunca o toda regla tiene exceciones. Entre otras aradojas interesantes estúdiese la siguiente: 1 Kasner Edgard y Newman James, LAS MATEMÁTICAS Y LA IMAGINACIÓN Pub.Sociedad Matemática Mexicana 1967

7 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 7 La caza esta rohibida en el territorio de un ríncie, uien fuera sorrendido en este delito sería castigado con la muerte, el infractor debía formular una roosición, si era falsa se le ahorcaba y si era verdadera se le decaitaba. Un bribón, ducho en lógica se valió de esta rerrogativa diciendo: Seré ahorcado, si se le ahorcaba la roosición era verdadera y contradecía la Ley y si era decaitado entonces la roosición era falsa, lo cual también iba en contra de la Ley. Invitamos al lector a debatir sobre el valor de verdad de la siguiente roosición: El barbero de la aldea afeita a todos los hombres de la misma ue no se afeitan a si mismos (analice la situación del barbero) 1.11 APLICACIONES CON DERIVE Derive es un formidable asistente matemático ue ermite realizar muchas oeraciones en el camo de la matemática, una de ellas el la construcción de tablas de verdad, ara ello el usuario deberá tener cierta familiaridad con el derive, la siguiente es la antalla rincial.

8 8 ÁLGEBRA I Ejemlo 6 Utilizando el asistente matemático Derive Ingrese la siguiente exresión en la barra de entrada TRUTH_TABLE (,, r, s, (( ) ( r s)) ( v r)) Haciendo click en introducir y simlificar obtendrá r s ( r ^ s) ( v r) false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false Resultará muy útil a la formación del estudiante, familiarizarse con el uso del asistente matemático Derive, el mismo cuenta con alicaciones matemáticas de todas las asignaturas ue le corresonderá cursar a todo estudiante de ingeniería, or ello se recomienda tomarse un tiemo ara trabajar con este asistente ue no reuiere mayores exlicaciones ue una clase introductoria ara familiarizarse con la antalla rincial. Posteriormente, utilizando adecuadamente la ayuda se uede concretar fácilmente un autoarendizaje. El asistente matemático Derive ermite construir tablas de verdad de una forma muy simle, ara ello basta con ue se introduzca en la barra de entrada de exresiones la roosición cuya tabla se desea encontrar. Los tres últimos ejemlos ueden resolverse del siguiente modo;

9 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 9 Ejemlo 7 Introduzca la siguiente exresión TRUTH_TABLE(,,r,(( ) ^ ( r)) ( r)) Se simlificará a: r ( ) ^ ( r) ( r) false false false false false false false false false false false false Ejemlo 8 Introduzca lo siguiente: TRUTH_TABLE(,, r, s, (r ) ^ (( v s) ( r))) Luego de introducir y simlificar obtendrá la siguiente tabla: r s (r ) ^ ( v s r) false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false false

10 10 ÁLGEBRA I 1.12 LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSISIONES Las roosiciones, bajo la ley de euivalencia lógica ( ), cumlen las siguientes leyes: LEYES DE IDEMPOTENCIA LEYES ASOCIATIVAS ( ) r ( r) ( ) r ( r) LEYES CONMUTATIVAS LEYES DE IDENTIDAD f ; v v ; v ; f f LEYES DE COMPLEMENTACIÓN ~ v ; ~ ~ ; ~ v f ; ~ f v ~ f LEYES DE MORGAN ~ ( ) ~ ~ ~ ( ) ~ ~ LEYES DISTRIBUTIVAS ( r) ( ) ( r) ( r) ( ) ( r) LEYES DE ABSORCIÓN ( ) ( ) DEFINICIÓN DE CONDICIONAL Y BICONDICIONAL ( ) ( ) ( ) ( )

11 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Ejemlo 9 Mediante las leyes del álgebra de roosiciones y sin utilizar la ley de absorción, simlificar las siguientes exresiones: a) ( ) (~ f ) ( ) (~ f ) Identidad ( ) ~ Conmutativa ~ ( ) Distributiva (~ ) (~ ) Comlementación f (~ ) ~ Identidad b) [( ) f ] Identidad ( ( c) d) ( v) ( v v ( ( [( f ) ( ( ) f ) ( f ) ) ) ( ) v] ) Identidad Distributiva Identidad Identidad Identidad Identidad Distributiva Identidad Identidad Def. condicional, De Morgan = Conmutativa = Distributiva = Comlementación

12 12 ÁLGEBRA I = Identidad = Def. Condicional = De Morgan Idemotencia comlementación Ejemlo 10 Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados: Si a a entonces x x V V V Como el rimer enunciado es verdadero, el segundo también, y el conector es el condicional deducimos ue el enunciado es verdadero y 9 3 V Λ F F En este caso el rimer enunciado es verdadero y el segundo falso, el conector es la conjunción, or tanto, el enunciado es falso 0 x 0 o 1 1 x 1 F V V V Ahora el rimer enunciado es falso y el segundo verdadero, el conector en la disyunción, or tanto, el enunciado es verdadero. ( x 2 y) 2 x 2 y si y sólo si sin45º cos45º V V El rimer enunciado es verdadero y el segundo verdadero, el conector es el bicondicional, en consecuencia el enunciado es verdadero. Ejemlo 11 Conociendo ue,, r, s son roosiciones verdaderas determine el valor de verdad de: ( ) ( r s)

13 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 13 ( V V ) ( V V ) V ( V ) F F V F V Si, son verdaderas y r,s,t falsas, hallar el valor de verdad de: ( r ) s ( t ) ( s ) ( F V) F ( F V) ( V F ) ( F) F ( V) ( V ) V 1.14 ENUNCIADOS CONDICIONALES Y VARIACIONES El condicional tiene las siguientes roosiciones derivadas de ella Converso o recíroco Inverso o contrario ~ ~ Contraositivo o contrarecíroco ~ ~ Cuyas tablas de verdad son las siguientes: F Nótese ue el enunciado condicional y su contraositivo ~ ~ son lógicamente euivalentes, de la misma manera el converso y el inverso ~ ~ son también lógicamente euivalentes. Ejemlo 12 ~ ~ ~ ~ ~ ~ V V F F V V V V V F F V F V V F F V V F V F F V F F V V V V V V F

14 14 ÁLGEBRA I Sea el enunciado condicional Si estudio matemáticas arobaré la materia escriba en forma simbólica y literal el condicional, converso, inverso contraositivo. Sea estudio matemáticas arobaré la materia Condicional Si estudio matemáticas arobaré la materia Converso Si aruebo la materia entonces estudié matemáticas Inverso ~ ~ Si no estudio matemáticas, entonces no arobaré la materia Contraositivo ~ ~ Si no aruebo la materia, entonces no estudié matemáticas Ejemlo 13 Sea el enunciado condicional Si me caso muy joven, seré infeliz, escriba en forma simbólica y literal el condicional, converso, inverso y contraositivo. Sea me caso muy joven seré infeliz Condicional Si me caso muy joven, seré infeliz Converso Si soy infeliz entonces me casé muy joven Inverso ~ ~ Si no me caso muy joven entonces seré feliz Contraositivo ~ ~ Si soy feliz entonces no me casé muy joven 1.15 ARGUMENTOS E IMPLICACIÓN LÓGICA Argumento (razonamiento deductivo válido) es una afirmación de ue un conjunto dado de roosiciones P 1, P 2, P 3, P n, denominadas remisas, roducen como consecuencia lógica otra roosición Q llamada conclusión, se reresenta or: P 1, P 2, P 3, P n, Q

15 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 15 Un argumento P 1, P 2, P 3, P n, Q es válido si la conclusión es verdadera cuando todas las remisas son verdaderas; de otra manera es falso. Un argumento P 1, P 2, P 3, P n, Q es válido si y sólo si la roosición (P 1 ^P 2^ P 3^ ^ P n ) Q es una tautología. Ejemlo 14 Determine la validez del siguiente argumento P 1 : Estudio o voy a la fiesta P 2 : Si estudio arobaré el examen P 3 : Fui a la fiesta.. Q : Rerobé el examen Sea estudio; voy a la fiesta; r arobé el examen Estudio o voy a la fiesta Si estudio arobaré el examen r Fui a la fiesta Rerobé el examen ~ r ( v ) ; ( r) ; ~r V V V V V V V F V V V V F F V V V F F V V V F F V F F V F F F V F F V F V V V F F F V F V F V V F F F F V V F F F F F F V F F V Solamente en la rimera fila las remisas son verdaderas y la conclusión es falsa, or tanto, el argumento no es válido. También es osible determinar la validez del argumento construyendo la siguiente tabla de verdad:

16 16 ÁLGEBRA I [( V ) ( r) ] ~r V V V V V V V V V F F V V V F V F F F V V V V F F F V V V F F V F V F F F V F F F F V V F F V F F V V F V V F F F V F F V F F V V V F F F F F V V F F V F F F F F F V F F F V V Como la tabla de verdad no es una tautología, entonces el argumento no es válido Ejemlo 15 Determine la validez del siguiente argumento P 1 : Si nieva hará mucho frío P 2 : Hace mucho frío y me enfermo P 3 : No nevó sin embargo me enfermé.. Q : No hizo mucho frío Sea nieva; hace mucho frío; r me enfermo. Si nieva hará mucho frío Hace mucho frío y me enfermo r No nevó sin embargo me enfermé r No hizo mucho frío ~ ( ) ; ( ^ r) ; ^ r ~ V V V V V V V V V F V V V V F F V F F V V F F F F V V V V F V F F F F F V F F V F V V V V V F F V F F V V V F F F F F V F V F F F V F F V F F V F F F F F F F V En la rimera fila las remisas son verdaderas y la conclusión es falsa, or tanto, el argumento no es válido.

17 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 17 {[( ) ^ ( ^ r)] ^ ( ^ r)} ~ V V V V V V V V V V V F F V V V F V F F F V F F V F V F F F F F V F V V V V V V F F F F F F F V F F V V F V V V V V V F F F V V F F V V F V F F F F F F V F F V F F F F V F F F V V V F V F F F F F F F F F V V También es osible determinar la validez del argumento construyendo la tabla de verdad: Como la tabla de verdad no es una tautología el argumento no es válido MODUS PONENS, ; V V V V V V V V V F F V F F V F F V V F F V V V F V F F F V V F Observe el razonamiento deductivo válido 1.17 MODUS TOLLENS ( ) ; ~ ~ P ; ~ ~ ~ ~ V F F V F F V F F V F F F V V V V F V V F F V F V V V V V V V V Observe el razonamiento deductivo válido 1.18 CIRCUITOS LÓGICOS Todas las roosiciones mostradas anteriormente, ueden ser traducidas a

18 18 ÁLGEBRA I un circuito lógico, el cual muestra a través de una lámara encendida o aagada la condición de verdadero o falso resectivamente. Cuando un circuito lógico reuiere el uso de un mismo enunciado se establece ue si es verdadero (interrutor cerrado), entonces ~ (interrutor abierto) es falso y viceversa. Todos los circuitos lógicos utilizan interrutores en serie ara la conjunción y en aralelo ara la disyunción, las demás conectivas se reducen a estos oeradores ara construir sus circuitos lógicos CONJUNCIÓN ^ V V V V F F F F V F F F DISYUNCIÓN P v V V V V V F F V V F F F P

19 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES NEGACIÓN CONJUNTA ~ ~ ~ V F V V F F F F V F V F ~ ^ ~ F F F F F V V F F V V V ~ CONDICIONAL O IMPLICACIÓN ~ ~ ~ ~ ~ ~ V F V V F F F V V V V V F P V V V V F F F V V F V F

20 20 ÁLGEBRA I BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN ~ ~ ~ ~ ~ P V V V V F F ~ ~ F F V F V F ~ ~ ~ DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O DIFERENCIA SIMÉTRICA ( ) ~ ( ) ( ) ~ (( ) ( )) ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( ) ( ~ ) ( ~ ) ( ) ( ) ( ~ ) (~ ) (~ ~ ) ( ) ( ) (~ ~ ) v

21 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 21 V F V V V F ~ ~ ~ ~ ~ ~ F V V F F F ~ ~ Ejemlo 16 Si se tiene el siguiente circuito lógico ~ ~ a) Determinar la roosición corresondiente b) Simlificar y obtener la roosición resultante más simle del mismo a) ( ) ( )

22 22 ÁLGEBRA I ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( v) ( v) La tabla de verdad corresondiente al circuito es: ( V ) V ( Λ (~ V ~) V V V V V F F F F V V F V V V F V V F V V V F F V V F F F F F F F V V V Puede observarse ue las columnas de ( V ) y el resultado final de la tabla son idénticas confirmando la reducción efectuada

23 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 23 Ejemlo 17 En el siguiente circuito lógico ~ r r La roosición euivalente será: ( ) ( r ) r ( r ) Efectuando las reducciones se tiene: (( ) r) (( ) ) ( r ) ( r r) (( r) ( r) (( ) ( ) ( r ) ( F) (( r) ( r) (( F) ( ) r ) ( r) ( r) ( ) ( ) ( r) ( ) ( r) ( ) ( ) F ( r) ( ) ( r) ( ) V ( F ( r)) (( ) V ) F ( ) ~r

24 24 ÁLGEBRA I La tabla de verdad es: V [((~ V ) Λ (r V )) V (r Λ ( V ~r))] V V F V V V V V V V V V V V F V V F V V V F V V V F F V V V V F F F F F V V V F V F F F F V F F F F F F V V F F F F V V F F V V V V V V F V V V V V F F F V V V F F F F V F F V V V F F V V F V V V F F V F F F F F F V V F F F F F F F F F V V Que es euivalente a la tabla de verdad de Y verifica la reducción efectuada Λ V V V V V V V F F V F F F F V F F V F F F F F F