Capitulo I - Lógica Matemática

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1 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Caitulo I - Lógica Matemática Todos los tóicos relativos a las matemáticas se razonan desde el unto de vista lógico y or lo tanto hay ue tener muy en cuenta el enunciado de las roosiciones matemáticas y su consecuente validez. Nota: alidez significa ue una roosición es verdadera o es falsa, ero nunca debe ocurrir ue sea verdadero o falso a la vez. Enunciado: Se llama enunciado a toda frase u oración. Algunos enunciados son mandatos o interrogaciones o son exresiones de emoción. Otros en cambio son afirmaciones o negaciones ue tienen la característica de ser verdadera o falsa. Ejemlos: a) Qué estudia en la Universidad? b) Prohibido hacer bulla. c) Dos más tres, es igual a cinco. d) 5 > 8 e) x 2 < 4y Proosición: Llamamos roosición a todo enunciado ue tiene la cualidad de ser verdadero () o de ser falso (), ero nunca uede ser y a la vez. Notación: Denotaremos a las roosiciones con letras minúsculas:,, r, s, t. Si son muchas roosiciones entonces usaremos subíndices, tales como: 1, 2, 3,..., n 1, 2, 3,..., n Ejemlos: : dos más tres, es igual a cinco : cinco es diferente de cero t = cuatro y diez son múltiles de diez u = 2 es menor ue 3 y 3 es múltilo de 5 Si una roosición es verdadera se dice ue su validez o valor de verdad es v, se escribe () = o se lee valor de verdad de es igual a. Si una roosición es falsa se dice ue su validez o valor de verdad es 1 se escribe () = y se lee valor de verdad de es igual a. Ejemlo: Proosición alor de erdad : César allejo nació en París : < 10 3 () = () = Enunciados Abiertos: Son exresiones ue no tienen la roiedad de ser verdadero o falso, es decir, no son roosiciones. Así, el enunciado x + 2 > 5 no se le uede atribuir el valor () o el valor de (), a menos ue reemlacemos la x or un número mayor ue 3 en cuyo caso el enunciado se convierte en una roosición verdadera, o si el reemlazo se hace un número menor ue 3, la roosición resulta falsa: Ejemlo: 1) x + y + z = 6 2) x es múltilo de 4 Proosiciones Simles y Comuestas: Las roosiciones simles: Llamadas también roosiciones atómicas o elementales, son auellos enunciados ue tienen un solo sujeto y un solo redicado. Ejemlo: 1) Carlos Marx nació en Alemania. 2) La silla es de madera. Las roosiciones comuestas: Llamadas también roosiciones moleculares o coligativas, son auellas ue están constituidas or dos o más roosiciones simles- Ejemlo: 1) Carlos estudia Derecho o Contabilidad. 2) Si mañana el cielo está nublado, entonces lloverá. Página 1 de 167

2 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Proiedad undamental de las Proosiciones Comuestas: La verdad de la roosición comuesta deende de la verdad de cada una de las roosiciones comonentes, sin ue en esta deendencia de verdades tenga ue ver la naturaleza, la significación o la estructura de la roiedad, a las roosiciones comuestas se les llama también funciones veritativas. Conectivos Lógicos: Son exresiones ue sirven ara unir dos o más roosiciones, entre los más imortantes conectivos lógicos tenemos: La conjunción, disyunción, imlicación, bicondicional, negación, contradicción, esto mostraremos en el siguiente cuadro. Nombre Exresión Símbolo Lógico Conjunción Y Disyunción O Imlicación si... entonces Bicondicional, euivalencia, doble imlicación... si y sólo si... Negación no Contradicción... no euivalente Proosiciones Comuestas Lógicas: a) Negación: Dada una roosición P, llamaremos la negación de, a otra roosición ue denotaremos or, y ue se le asigna el valor ouesto a, y su tabla de verdad es: Ejemlo: 1. La tiza es blanca. Su negación es: no es cierto ue la tiza es blanca. 2. Dada la roosición = 5 x 7 = 35 Su negación: no es cierto ue 5 x 7 = 35 b) La Disyunción Inclusiva: Dadas dos roosiciones y, la disyunción inclusiva o débil, es una roosición coligativa ue resulta de unir las roosiciones y con el conectivo o, el cual se denota or el símbolo, se escribe y se lee o. La tabla de verdad ara la disyunción es: Ejemlo: Juan habla inglés o Juan habla francés Maritza estudió italiano en un instituto o uizá en Italia c) Conjunción: La conjunción de dos roosiciones y es la roosición comuesta ue resulta de unir y mediante el conectivo y ue se simboliza y, donde el rinciio lógico es la conjunción es verdadero, solo cuando es verdadero y es verdadero, en todos los demás casos es falso. Su tabla de verdad es: Página 2 de 167

3 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Ejemlo: Determinar el valor de verdad de la roosición = 11 y > Si: : = 11 () = : > () = ( ) = Nota: Hay alabras como ero, sin embargo, además, aunue, no obstante, a la vez, etc. también une roosiciones conjuntivamente. d) La Condicional: Dadas las roosiciones y, se denomina roosición condicional a la ue resulta de unir y or el conectivo si... entonces..., ue se denota or el símbolo, se escribe y se lee si, entonces, donde el rinciio lógico es la roosición imlicativa es falso únicamente en el caso ue la roosición es verdadera y la roosición es falsa, siendo verdadera en todos los demás casos. Su tabla de verdad es: A la roosición se denomina antecedente y la roosición consecuente. Ejemlo: Si Patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Jaón Ejemlo: Determinar el valor de verdad de la roosición: Si los monos son humanos entonces la tierra es lana = los monos son humanos () = = la tierra es lana () = ( ) = Ejemlo: Simbolizar: 1B es múltilo de 2 uesto ue es un N ar si: = 18 es múltilo de 2 = 18 es número ar Quedaría: Ejemlo: De la falsedad de la roosición: ( ) ( r s) Determinar el valor de verdad de los esuemas moleculares. a. ( ) b. ( ) [( ) ] ( ) [( r s] r s r r r ( ) ( ) Página 3 de 167

4 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] [ ] e) La Bicondicional: La doble imlicación o bicondicional de dos roosiciones y es la roosición comuesta mediante el conectivo lógico si y sólo si y se simboliza son verdaderos o son falsos, en otros casos es falso. Su tabla de verdad es: Ejemlo: Jack comrará una casa si y sólo si obtiene un réstamo del banco. f) La Disyunción Exclusiva: La disyunción exclusiva de dos roosiciones y es la roosición comuesta mediante conectivo lógico o y se simboliza, donde ambas roosiciones y tengan valores de verdad ouestos y es falsa si ambas tienen idénticos valores. Su tabla de verdad es: Ejemlo: O Elvia es contadora o es administradora. Proosiciones Comuestas: Mediante los conectivos lógicos se ueden combinar cualuier número finito de roosiciones cuyos valores de verdad ueden ser conocidos, construyendo su tabla de verdad, en dicha tabla se uede indicar los valores resultantes de estas roosiciones comuestas ara todas las combinaciones osibles de valores de verdad de roosiciones comuestas. Ejemlo: La tabla de verdad de la roosición comuesta de: [ ( ) ( r) ] ( r) r [ ( ) ( r ) ] ( r ) Jeraruía de los Conectivos Lógicos: Si se tiene una roosición comuesta con varios conectivos lógicos, ara realizar las oeraciones rimeramente se debe colocar los aréntesis adecuadamente emezando con las roosiciones ue se encuentran dentro de los aréntesis anteriores, luego siguen todas las negaciones y se avanza de izuierda a derecha (los corchetes son considerados como aréntesis). Página 4 de 167

5 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Ejemlo: Hallar la tabla de valor de verdad de la roosición: [ ( r) ] [ ( r) ] ] r [ ( r) ] [( r)] ] Tautologías, Contradicciones y Contingencias: a) Tautologías: Son roosiciones comuestas ue siemre son verdaderos cualuiera ue sea el valor de las roosiciones comonentes. b) Contradicciones: Son roosiciones comuestas ue siemre son falsas cualuiera ue sea el valor de las roosiciones comuestas. c) Contingencia: Son roosiciones comuestas ue no son ni tautologías ni contradicciones, es decir, son roosiciones ue en algunos casos es y en otros. Ejemlos: Determinar si son tautología, contradicciones o contingencias. a) { [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] b) [ ( ) ] c) [ ( r ) ] [ ( r ) ] a) { [ ( )] [ ( ) ( ) ] b) [ ( ) ] c) r [ ( r ) ] [ ( r ) ] Página 5 de 167

6 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Euivalencias Notables: 1. Ley de Doble Negación: a) ( ) 2. Ley de Idemotencia: a) b) 3. Leyes Conmunitativas: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) 4. Leyes Asociativas: a) ( r ) ( ) r b) ( r ) ( ) r c) ( r ) ( ) r 5. Leyes Distributivas: a) ( r ) ( ) ( r ) b) ( r ) ( ) ( r ) c) ( r ) ( ) ( r ) d) ( r ) ( ) ( r ) 6. Leyes de Morgan: a) ( ) b) ( ) 7. Leyes del Condicional: a) b) ( ) 8. Las Leyes del Bicondicional: a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) 9. Ley de la Absorción: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) 10. Leyes de Transosición: a) ( ) b) 11. Leyes de Exortación: a) ( ) r ( r ) b) ( n ) r ( 1, 2,... n - 1 ) ( n r ) 12. Elementos Neutros ara la Conjunción y Disyunción: a) b) 13. También: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) Página 6 de 167

7 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Circuitos Lógicos: Los circuitos lógicos se relacionan con el circuito eléctrico. Se identifica la verdad de la roosición con el aso de corriente y la falsedad de la roosición con la interrución de la corriente. Cuando asa la corriente: () Cuando no asa la corriente: ( ) En lógica: si reresenta el aso de corriente, reresenta el no aso de corriente. Si: interrutor interrutor, conectados en SERIE Para ue el foco se renda (de Luz) y deben dejar asar la corriente es decir los dos interrutores deben estar cerrados, hasta ue uno de los interrutores esté abierto, entonces, no asa corriente, or lo tanto el foco no se renda. Este circuito corresonde a la tabla de valores de. Analizamos la tabla ( ) de valores de. ( ) Sí, rende el foco Cerrado Cerrado No se rende Cerrado Abierto No se rende Abierto Cerrado No se rende Abierto Abierto Página 7 de 167

8 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Si los interrutores se conectan en aralelo se obtiene un circuito ue funciona mediante la tabla de valores de. : Interrutores : Interrutores Conectados en aralelo Cerrado Sí, el foco se rende Cerrado Pasa corriente Cerrado Sí, el foco se rende Abierto Pasa corriente Abierto Sí, el foco se rende Cerrado Pasa corriente Abierto No, el foco no se rende Abierto No asa Página 8 de 167

9 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Cuantificadores: a) Cuantificador Universal: Ejemlo: Enunciado abierto: (x) = x + 3 múltilo de 2 Para todo x + 3; es un número múltilo de 2 En símbolo x + 3; es un número múltilo de 2 Como observas, delante del enunciado abierto hemos escrito (Para todo), entonces el enunciado abierto con el símbolo se convierte en roosición. se le denomina cuantificador universal. b) Cuantificador Existencial: Ejemlo: Enunciado abierto: (x) = x + 3 múltilo de 2 Existe or lo menos un número x + 3 ue es múltilo de 2 Existe un número x + 3 ue es múltilo de 2 En símbolo x + 3 ue es múltilo de 2 Como observas, delante del enunciado abierto hemos escrito (existe) (Existe or lo menos), entonces el enunciado abierto con el símbolo se convierte en roosición. se le denomina cuantificador existencial. Ejercicios: 1. Para el conjunto A = { 1; 2; 3; 4; 5 } tenemos: x A, 2x + 3 < 15 y se lee: Cada x A Cumle 2x + 3 < 15 ó todo elemento x A Cumle 2x + 3 < 15; y es una roosición verdadera orué? x A / x < 12 es una roosición verdadera orué? cómo se lee? x A, x < 12 es una roosición falsa orué? La roosición Todo x de A cumle : 3x + 1 < 5x 2 denotamos: x A, 3x + 1 < 5x 2 es una roosición falsa orué? 2. Si A = { 1; 2; 3; 4; 5 } roosición: x A / 3x + 4 = 14, es una roosición falsa orué? x A, / x < 12, es verdadera orué? x A / 2x + 1 < 10, es verdadera orué? c) Negación de Proosiciones con Cuantificadores Universales: Ejemlos: 1. La negación de: x N, 2x + 3 = 7, es; x N / 2x + 3 = 7 ue es verdadera, ues x = 2 cumle la roiedad 2. Si A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }, tenemos: x A, x es rimo, su negación es: x A / x no es rimo, es una roosición verdadera, ues ara x = 8 ó x = 6 ue están en A se cumle la roiedad. Entonces: La negación de x A, (x) es x A / (x) d) Negación de Proosiciones con Cuantificador Existencial: Ejemlos: 1. Si n, n N, n + 2 < 8 su negación es: n, n N, ( n + 2 ) < 8 2. Existe un x N, tal ue x es número rimo su negación es: Para todo x N, x no es rimo. 3. Sea A = { 1; 2; 3 } Si tenemos la roosición: x A; x + 5 = 8 Su negación es x A; no es cierto ue x + 5 = 8 Entonces: La negación de x A, (x), es: x A, (x) 4. Existe una ciudad del Perú ue es la Caital; su negación es: Todas las ciudades del Perú no son la caital del Perú. ciudad Caital del Perú, su negación es, ciudad del Perú, no es la caital del Perú Página 9 de 167

10 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Ejercicios 1. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes roosiciones: a) Si = 7, entonces = 10 ( ) b) La UJCM está en Mouegua o Tacna ( ) c) No es verdad ue = 7, si y sólo si = 15 ( ) d) No es verdad ue: = 5 o ue = 4 ( ) e) = 12 y 9 4 = 5 ( ) f) La UJCM está en Tacna ( ) g) = 7 y 3 1 = 1 ( ) 2. Determinar si es una tautología, contradicción o contingencia: a) { [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] } b) [ ( r ) ] [ ( r ) ] c) [ ( r ) ] d) [ ( ) r ] [ r ( ) ] e) [ ( r ) ] [ ( r ) ~ ] a) El esuema molecular es igual a: [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] Es una CONTINGENCIA b) [ ( r ) ] [ ( r ) ] r [ ( r ) ] [ ( r ) ] CONTINGENCIA c) [ ( r ) ] r [ ( r ) ] CONTINGENCIA Página 10 de 167

11 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI d) [ ( ) r ] [ r ( ) ] r [ ( ) r ] [ r ( )] CONTRADICCIÓN e) [ ( r ) ] [ ( r ) ] r [ ( r ) ] [ ( r ) ~ ] TAUTOLOGÍA 3. El valor de verdad de: ( ) ( r s) es falso, determinar el valor de verdad de los esuemas moleculares: a) ( ) b) ( r ) [ ( r ) s ] c) ( ) [ ( ) ] ( ) ( r s) r s r s a) ( ) ( ) b) ( r ) [ ( r ) s ] ( ) [ ( ) ] ( ) c) ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) Página 11 de 167

12 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI 4. Simlificar las roosiciones siguientes alicando las leyes lógicas: [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] 5. Si definimos # como ( # ) ( ) ( ). Hallar una exresión euivalente a #. ( # ) ( ) ( ) ( # ) ( ) ( ) ( # ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( # ) ( ) ( ] ( # ) ( ) ( ) ( # ) [ ( ) ( ) ] ( # ) [ ) ] 6. Demostrar ue son euivalentes: [ ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Simlificar: [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) [ ] ( ) ( ) 8. Dadas las roosiciones: : 7 es un número racional y r cualuier roosición, además se sabe ue: [ ( r ) ( r ) ] es verdadera. Hallar el valor de verdad de: a) r ( ) b) [ r ( ) ] ( ) c) ( r ) ( ) Del ejercicio tenemos ue, además: ( r ) ( r ) Por lo tanto: r r = r r = Página 12 de 167

13 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI = a) r ( ) ( ) = b) [ r ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) c) ( r ) ( ) ( ) ( ) 9. Dado: [ ( ) ( r ) ] ( r ) Encontrar el valor de verdad de: a) [ ( r ) ] b) ( r ) ( r ) c) [ ( r ) ] ( ) Dado ue: [ ( ) ( r ) ] ( r ) Por lo tanto: [ ( ) ( ~ r ) ] r = r = = a) [ ( r ) ] [ ( ) ] [ ] b) ( r ) ( r ) ( ) ( ) c) [ ( r ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 10. Simlificar a su mínima exresión: { [ ( ) ( ) ] } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Página 13 de 167

14 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI 11. Simlificar la siguiente exresión lógica: [ ( ) ( ) ] [ ( r ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( r ) ] ( ) (Tautología) 12. Simlificar la roosición: { [ ( r) ] [ ( r) ] } { ( ) [ r ( r ) ] } Desarrollando la rimera llave: [ ( r) ] [ ( r) ] [ ( r) ] [ ( r ) ] [ ( r) ] [ ( r ) ] [ ( r) ] [ ( r ) ] En la segunda llave tenemos: ( ) [ r ( r ) ] ( ) [ ( r ) ] ( ) [ ( ) r ] De las dos tenemos: ( ) 13. Dado: Simlificar: * { [ ( ) ] } [ ( r ) * ] * ( ) * { [ ( ) } * { [ ( ) ] } * { } * Reemlazando tenemos: [ ( r ) * ] * ( ) ( r ) * ( ) r 14. { [ ( t r ) ] } Simlificar: [ ( ( ) ( { [ ( t r ) ] Página 14 de 167

15 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Luego la exresión simlificada será: [ ( ( ) ( ) ( ( ) 15. Se define: # { ( ) } Simlificar: ( # ) # # { ( ) } # { [ ( ) ] [ ( ) ] } # { ( ) ] ( ) } # ( ) } # Reemlazando tenemos: ( # ) # ( ) (Tautología) 16. Si: * Simlificar: [ ( * ) ( * ) ] Analizando la tabla tenemos ue: * Reemlazando tenemos: [ ( * ) ( * ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] ( ) 17. Si: * # Simlificar: [ ( * ) # ] ( # ) De la tabla tenemos: Página 15 de 167

16 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI * ( ) # ( ) Reemlazando tenemos: [ ( * ) # ] ( # ) [ ( ) # ] ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) 18. Si: * Hallar # en: # [ { ( ) * ( ) } ( * ) ] De la tabla tenemos ue: * Reemlazando tenemos: # [ { ( ) ( ) } ( ) ] # [ { ( ) ( ) } ( ) ] # [ ( ) ( ) ] # ( ) ( ) # ( ) ( ) # [ ( ) ] [ ( ) ] # ( ) ( ) 19. Simlificar el siguiente circuito: r [ ( ) ( ) ] { [ ( r ) ] } [ ( ) ] [ ( ) ( ( r ) ) ] [ ( ) ( ) Página 16 de 167

17 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI 20. Simlificar el circuito: P r r r r { ( ) [ ( r ) ( r) ] } [ ( r ) ( r ) ] [ ( ) [ ( r ) r ] } [ ( r ) ( r ) ] [ ( ) } [ ( r ) ( r ) ] ( ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) r r 21. Simlificar el circuito: r r r ( r ) ( r ) ( r ) [ ( r ) ] [ ( r ) ] ( r ) [ ( r ) ( ] ( r ) ( r ) [ r ( ) r [ ( ) r ( ) r Página 17 de 167

18 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI 22. Hallar x tal ue: x Sea euivalente a. ( ) { [ ( ) ( ) ( ( ) x ) ) ] } ( ) { [ [ ( ) x ] ] } ( ) [ ( ) x ] [ ( ) x ] [ ] ( x ) ( x ) x 23. Reresentar gráficamente las siguientes exresiones: a) b) ( ) r r c) [ ( ) ] [ ( ) ] Página 18 de 167

19 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI 24. Determinar la menor exresión ue reresenta al circuito: [ ( ( ) ) ] [ ( ) ] [ ] ( ) 25. Simlificar y hallar el euivalente a los circuitos dados. a) r s r r s r r { [ ( r s ) ( r s ) ] s } [ r ( r ) ] { [ ( r s ) s ] [ ( r s ) s ) ] } ( r ) [ ( r s ) s ] ( r ) s ( r ) s b) r { [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] } ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) Página 19 de 167

20 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI c) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ] ( ) 26. Simbolizar: Si Juan articia en un comité electoral de la universidad entonces los estudiantes se enojarán con él, y si no articia en un comité electoral de la universidad entonces las autoridades universitarias se enojarán con él. Pero Juan articiará en un comité electoral de la universidad o no articiará. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se enojarán con él. = Juan articiará en un comité electoral. = Los estudiantes se enojarán con Juan. r = Las autoridades universitarias se enojarán con Juan. [ ( ) ( r ) ( ) ] ( r ) 27. Si Anita decía la verdad, entonces Sócrates corromía a la juventud y si el tribunal lo ordenó euivocadamente, entonces Anita no es la culable. Pero, Sócrates no corromía a la juventud o Anita es la culable. Por lo tanto Anita no decía la verdad o el tribunal no condenó a Sócrates euivocadamente. = Anita decía la verdad. = Sócrates corromía a la juventud. r = El tribunal condenó euivocadamente a Sócrates. s = Anita es culable. [ ( ) ( r s ) ( s ) ] [ r ] Página 20 de 167

21 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Problemas Prouestos 1. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes roosiciones: I. Si = 7 entonces = 8. II. No es verdad ue = 5, si y sólo si = 0. III. París está en Inglaterra o Londres está en rancia. I. No es verdad ue, = 3 ó = 3.. Es falso ue: si París está en Inglaterra, entonces Londres está en rancia. a) b) c) d) e) 2. Indicar el valor de verdad de: I. ( ) II. ( ) ( ) III. ( ) I. [ ( ) ] a) b) c) d) e) 3. La roosición: [ ( ) ] [ ( ) es euivalente a: a) ( ) b) c) ( ) d) ( ) e) ( ) 4. La roosición: { [ ( r ) ] ] es euivalente a: a) r b) ( ) r c) ( r ) d) ( r ) e) ( ) r 5. La roosición [ ] ( ) euivale a: a) b) c) d) e) 6. a) Si ( ) ( r s) es falso, deducir el valor de: ( ) b) Si es verdadera, es falso, deducir el valor de verdad de: [ ( ) r ] s a) b) c) d) e) altan datos en (b) Página 21 de 167

22 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI 7. Si la roosición: ( r s) [ ( s ) ( ) ] es falsa, entonces el valor de verdad de las roosiciones: I. ( ) r II. ( s) III. [ r ] s a) b) c) d) e) 8. Si (x): x 2 = 16 (x): x - 4 = 8 r(x): x 2-4 > 5 Hallar el valor de verdad de: I. [ ( (1) (3) ( r(2) (3) ) ] [ ( (2) (2) ) ] II. [ ( (2) (12) ] r(4) III. [ (4) r (5) ] (4) a) b) c) d) e) 9. Sean m y n números reales, definimos: Si: (x) = r: 4 < 2-1 = 0 s: -1 < 0 x 2 < 0 (r) + (s) = 21 3m + 1, si x es una roosición verdadera n 3n 1, si ex es una roosición falsa m Hallar el valor de: m/n + n/m a) 1/3 b) 1/7 c) 0 d) 11 e) Sea U = { x R / 5 < x < 100 } el universo. Halle el valor de verdad de: I. x, y, z / x + y > z II. x, y, z / 2x y < -z III. x, y, z / 2x - y < 5z a) b) c) d) e) 11. Sea U = { 1, 2, 3 } el conjunto universal. Hallar el valor de verdad de: I. x, y / x 2 < y + 1 II. x, y / x 2 + y 2 < 12 III. x, y / x 2 + y 2 < 12 I. x, y / x 2 + y 2 < 12 a) b) c) d) e) 12. Sea U = { 1, 2, 3, 4 } el conjunto universal. Hallar el valor de verdad de: A = [ ( r ) ( r) ] ( ) B = [ { ( r ) } r ] Se sabe ue: : x / x + 3 < 6 : x / 2x 2 + x = 5 r: x / x 2-10 < 8 a) b) c) d) e) N.A. Página 22 de 167

23 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI 13. Si y son verdaderos, ara ué valores de r, el esuema siguiente es verdadero? ( r ) ( r ) a) b) c) o d) No se uede determinar e) altan datos 14. Si definimos: * ( ) cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. * II. ( * ) * ( * ) III. * ( * ) [ ] I. ( ) * ( * ) a) Solo I y II b) Solo II c) Ninguna d) Solo I e) Solo III 15. Cuáles de las siguientes roosiciones son verdaderas? I. [ ( ) ] II. [ (r ) ] [ ( r) ( ) ] III. [ ( ) ] a) Solo I y II b) Solo II y III c) Todas d) Solo I e) N.A. 16. Determinar la menor exresión ue reresenta al circuito. a) Rta.: b) Rta.: c) Rta.: d) Rta.: ( ) e) r s r s s r r Página 23 de 167

24 UNIERSIDAD PRIADA DE MOQUEGUA JOSE CARLOS MARIATEGUI Rta.: s ( r) f) Rta.: g) Rta. : g) Rta. : CLAE DE RESPUESTAS: a d c a b c d a e e e b c c c Página 24 de 167