Matemáticas Discretas TC1003

Transcripción

1 Matemáticas Discretas TC1003 Lógica : Proposiciones, Conectivos, Tablas de Verdad y Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Lógica Matemáticas Discretas - p. 1/43

2 En esta lectura veremos los elementos básicos de lo que se llama Lógica o Cálculo. Iniciaremos con lo que entendemos por proposición y conectivo lógico. A partir de eso veremos lo que se conoce como tabla de verdad. Con eso se verá lo que se entiende como equivalencia lógica que es base para reducción de circuitos lógicos y que es usado para entender los casos de los ifs en los programas de computadora. Lógica Matemáticas Discretas - p. 2/43

3 Una sentencia declarativa es una oración que afirma algo. Son sentencias declarativas: El curso de Matemáticas Discretas está fácil. El caballo blanco es verde. Si la luna está llena y no llueve, entonces saldré a caminar. El Último Teorema de Fermat es cierto. Esta frase es falsa. x+3 es impar. Lógica Matemáticas Discretas - p. 3/43

4 No son sentencias declarativas: Está lloviendo? Hola!, cómo estás? Tierno sáuz, casi ámbar, casi luz... Qué es en el fondo actuar, sino mentir? Y qué es actuar bien, sino mentir convenciendo? Lógica Matemáticas Discretas - p. 4/43

5 Una proposición es una sentencia declarativa que debe ser verdadera o falsa pero no ambas. Son proposiciones: El curso de Matemáticas Discretas está fácil. Si la luna está llena y no llueve, entonces saldré a caminar. El Último Teorema de Fermat es cierto. Lógica Matemáticas Discretas - p. 5/43

6 No son proposiciones: Esta frase es falsa Si la frase es cierta, lo que en ella se dice debe ser cierto, así debe ser falsa. Si la frase es falsa, lo contrario a lo que en ella se afirma es cierto, por consiguiente es cierta. x+3 es un número impar Si x=2la afirmación es cierta. Si x=3la afirmación es falsa. Lógica Matemáticas Discretas - p. 6/43

7 En nuestro manejo de proposiciones utilizaremos símbolos para representarlas. Estos símbolos se llamarán variables proposicionales. Así pondremos p : El curso de Matemáticas Discretas está fácil. Indicará que la variable proposicional p representa la proposición El curso de Matemáticas Discretas está fácil. Lógica Matemáticas Discretas - p. 7/43

8 Proposiciones y Compuestas Una proposición primitiva es una proposición que no se puede descomponer en hechos más simples. El curso de matemáticas discretas está fácil. El caballo blanco es verde. Una proposición compuesta es una proposición que no es primitiva. Si la luna está llena y no llueve, salgo a caminar. Yo contraté el cable básico, como tú. Lógica Matemáticas Discretas - p. 8/43

9 El valor de verdad de una proposición es una asignación a uno de los dos posibles valores verdadero o falso. Esta asignación dependerá de lo que en la misma proposición se afirme: si es cierto diremos que tiene valor de verdad verdadero y si es falso diremos que tiene valor de verdad falso. Lógica Matemáticas Discretas - p. 9/43

10 Lógicos Los operadores lógicos sirven para construir proposiciones complejas. Negación: p (Léase no p ) Disjunción: p q (Léase p o q ) Conjunción: p q (Léase p y q ) Estos operadores pueden usarse una o varias veces en forma combinada o no para construir proposiciones más complejas, por ejemplo p (q (r ( p))) Lógica Matemáticas Discretas - p. 10/43

11 Para reducir el número de paréntesis se conviene en una jerarquía de operadores para indicar el orden de precedencia de uno sobre otro. Mayor Jeraquía Menor Jerarquía Ante una disputa de operandos gana el que tiene una mayor jerarquía. Así La expresión p q r p q p s q r Se interpreta como p (q r) ( p) q (p ( s)) (( q) r) Los paréntesis deben ser utilizados para forzar el orden de las operaciones. Lógica Matemáticas Discretas - p. 11/43

12 operadores Supongamos que p: Está caluroso q: Está soleado r: Está lluvioso s: Está húmedo Entonces la representación de las siguientes afirmaciones queda: Está lluvioso y soleado : r q Está soleado o está lluvioso : q r Está soleado y no está caluroso : q p Ni está soleado ni está caluroso : q p Está soleado pero está lluvioso : q r Está lluvioso pero no está caluroso : r p Lógica Matemáticas Discretas - p. 12/43

13 Fórmula Bien Formada Una fórmula bien formada ( ó por sus síglas en íngles WFF) o también llamada forma proposicional es una expresión donde aparecen variables proposicionales, las constantes T(verdadero) o F (falso), operadores lógicos y paréntesis: bien balancedos los paréntesis, los operadores lógicos indicados y con el número de argumentos correctos. Son s: No FBSs: p, p q, p (q (( r) s)) p q, r (q ), (s r) (q p) Lógica Matemáticas Discretas - p. 13/43

14 Una tabla de verdad de una proposición es una descripción organizada de los valores de verdad de la proposición para todos los valores posibles de la variables proposicionales que aparecen en ella. Lógica Matemáticas Discretas - p. 14/43

15 de la Negación p p F T T F Lógica Matemáticas Discretas - p. 15/43

16 de la Disjunción p q p q F F F F T T T F T T T T Sólo es F cuando sus argumentos son ambos falsos. Lógica Matemáticas Discretas - p. 16/43

17 de la Conjunción p q p q F F F F T F T F F T T T Sólo es T cuando sus argumentos son ambos verdaderos. Lógica Matemáticas Discretas - p. 17/43

18 Ejemplo de Calcule la tabla de verdad de (p q) (p q): p q p q q p q (p q) (p q) F F F F T F T F T T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 18/43

19 Lógica Dos formas proposicionalesαyβse dicen lógicamente equivalentes si y sólo si tienen valores de verdad idénticos para cualquier sustitución de valores de verdad de sus variables proposicionales. Esto se simbolizará α β Lógica Matemáticas Discretas - p. 19/43

20 De la misma definición de equivalencia entre s se deduce el procedimiento de verificación: Construir las tablas de verdad de ambas expresiones: como dos columnas en una misma tabla. Comparar las tablas renglón por renglón. Si renglón a reglón tienen el mismo valor de verdad, son equivalentes. Si hay al menos un renglón donde difieran, no son equivalentes. Lógica Matemáticas Discretas - p. 20/43

21 Utilizadas Comprueba la validez de la ley conmutativa: p q q p p q p q q p F F F F F T F F T F F F T T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 21/43

22 Comprueba la validez de la ley conmutativa: p q q p p q p q q p F F F F F T T T T F T T T T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 22/43

23 Comprueba la validez de la ley asociativa: (p q) r p (q r) p q r p q (p q) r q r p (q r) F F F F F F F F F T F F F F F T F F F F F F T T F F T F T F F F F F F T F T F F F F T T F T F F F T T T T T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 23/43

24 Comprueba la validez de la ley asociativa: (p q) r p (q r) p q r p q (p q) r q r p (q r) F F F F F F F F F T F T T T F T F T T T T F T T T T T T T F F T T F T T F T T T T T T T F T T T T T T T T T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 24/43

25 Comprueba la validez de la ley distributiva: α=p (q r) (p q) (p r)=β p q r q r α p q p r β F F F F F F F F F F T T F F F F F T F T F F F F F T T T F F F F T F F F F F F F T F T T T F T T T T F T T T F T T T T T T T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 25/43

26 Comprueba la validez de la ley distributiva: α=p (q r) (p q) (p r)=β p q r q r α p q p r β F F F F F F F F F F T F F F T F F T F F F T F F F T T T T T T T T F F F T T T T T F T F T T T T T T F F T T T T T T T T T T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 26/43

27 Comprueba la validez de la ley de De Morgan: (p q) p q p q p q (p q) p q p q F F F T T T T F T F T T F T T F F T F T T T T T F F F F Lógica Matemáticas Discretas - p. 27/43

28 Comprueba la validez de la ley de De Morgan: (p q) p q p q p q (p q) p q p q F F F T T T T F T T F T F F T F T F F T F T T T F F F F Lógica Matemáticas Discretas - p. 28/43

29 Comprueba la validez de la ley de Absorción: p (p q) p p q p q p (p q) F F F F F T F F T F F T T T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 29/43

30 Comprueba la validez de la ley de Absorción: p (p q) p p q p q p (p q) F F F F F T T F T F T T T T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 30/43

31 Comprueba la validez de la ley de la doble negación: ( p) p p p ( p) F T F T F T Lógica Matemáticas Discretas - p. 31/43

32 Comprueba la validez de la ley de la negación o ley de inversa: p p F p p p p F T F T F F Lógica Matemáticas Discretas - p. 32/43

33 Comprueba la validez de la ley de la negación o ley de inversa: p p T p p p p F T T T F T Lógica Matemáticas Discretas - p. 33/43

34 Comprueba la validez de la ley de idempotencia: p p p p F T p p F T Lógica Matemáticas Discretas - p. 34/43

35 Comprueba la validez de la ley de idempotencia: p p p p F T p p F T Lógica Matemáticas Discretas - p. 35/43

36 Comprueba la validez de la ley de identidad: p T p p T p T F T F T T T Lógica Matemáticas Discretas - p. 36/43

37 Comprueba la validez de la ley de identidad: p F p p F p F F F F T F T Lógica Matemáticas Discretas - p. 37/43

38 Tomaremos como válidas dos reglas importantes que cumple la equivalencia de expresiones lógicas: Propiedad transitiva de la equivalencia Siα βyβ γ, entoncesα γ. Propiedad de sustitución Siα βyf(α) es una expresión lógica donde aparece α, entonces F(α) F(β). Aquí F(β) es la expresión que se obtuvo de sustuituir β donde aparecía α en F(α). Lógica Matemáticas Discretas - p. 38/43

39 de Veamos ahora algunos ejemplos de simplicación cuya justificación se basa en las leyes lógicas recien vistas. Lógica Matemáticas Discretas - p. 39/43

40 En el siguiente argumento se simplifica una. Indique en orden las leyes que justifican cada paso. 1) Ley de identidad 2) Ley de De Morgan 3) Ley de la doble negación 4) Ley distributiva 5) Ley asociativa 6) Ley de dominación 7) Ley conmutativa 8) Ley de inversas 9) Ley de idempotencia 10) Ley de absorción (r p) (r p) r ( p p) por 10 r (p p) por 7) r T por 8 r por 1 Lógica Matemáticas Discretas - p. 40/43

41 En el siguiente argumento se simplifica una. Indique en orden las leyes que justifican cada paso. 1) Ley de identidad 2) Ley de De Morgan 3) Ley de la doble negación 4) Ley distributiva 5) Ley asociativa 6) Ley de dominación 7) Ley conmutativa 8) Ley de inversas 9) Ley de idempotencia 10) Ley de absorción (t ( ( t q))) (t q) (t ( ( t) q)) (t q) por 2 (t (t q)) (t q) por 3 ((t t) q) (t q) por 5 (t q) (t q) por 9 t ( q q) por 4 t T por 8 t por 1 Lógica Matemáticas Discretas - p. 41/43

42 Una se dice ser una tautología si se evalua en verdadero para todos los valores de verdad posibles para sus variables proposicionales; por otro lado se llama contradicción si es falsa siempre, y se llama contingencia cuando su tabla de verdad tiene tanto verdaderos como falsos. En términos de equivalencias: α es una tautología si y sólo siα T;αes una contradicción si y sólo si α F; yαes una contingencia si y sólo siαno es equivalente ni a T ni a F. Lógica Matemáticas Discretas - p. 42/43

43 Temas Vistos Concepto de proposición y Fórmulas Bien Formadas Conectivos Lógicos: Disjunción, Conjunción y Negación) Lógica argumentada de una Tautología, Contradicción, y Contingencia Lógica Matemáticas Discretas - p. 43/43