GUIA DE TRABAJOS TEORICO PRACTICO N 1: LÓGICA DE LAS PROPOSICIONES

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1 CENTRO EDUCATIVO DE NIVEL TERCIARIO N 2 INTRODUCCIÓN A LA LOGICA SIMBOLICA PRIMER AÑO AÑO: 2005 GUIA DE TRABAJOS TEORICO PRACTICO N 1: LÓGICA DE LAS PROPOSICIONES La lógica es una ciencia formal, o sea, una ciencia que no se interesa ni por los contenidos del pensamiento, ni por el contenido de las expresiones del pensamiento, sino por sus formas, por sus estructuras. Los objetos lógicos, son pues, las estructuras lógicas: en especial, las estructuras lógicas de las que se vale la ciencia para elaborar y expresar el conocimiento científico, y, en general, cualquier tipo de conocimiento. La lógica deductiva es la ciencia que estudia los métodos y principios que permiten diferenciar un razonamiento válido de un inválido. El lenguaje constituye un sistema de signos muy complejo. Los signos o combinaciones de signos lingüísticos forman expresiones lingüísticas, como lo son por ejemplo, las palabras, las frases y las oraciones. Las oraciones, en particular, cumplen diversas funciones. Las denominadas proposiciones o enunciados, son aquellas que tienen una función informativa, las cuales se caracterizan porque afirman o niegan algo, como por ejemplo, Hoy es martes o Seis es un número primo es decir, se caracterizan porque de ellas tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. Del primer ejemplo se puede decir que es verdadero; del último, en cambio, que es falso. PROPOSICIÓN. Para la LÓGICA se consideran proposiciones, aquellas expresiones lingüísticas que tienen una función informativa. De ellas tiene sentido decir si son verdaderas o falsas. Ejemplo: Consideramos las siguientes oraciones.- - Están atendiendo? -Atiendan! -El calor dilata los cuerpos -Hoy es sábado -Estamos en la clase de Lógica 1

2 Se trata de cinco oraciones diferentes: una interrogativa, una imperativa y tres declarativas. Una pregunta puede formularse o no, una orden puede ser cumplida o no. En cambio de las tres últimas que son declarativas, tiene sentido decir si son V ó F. ACTIVIDAD 1 : Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles no. Fundamentar cada respuesta. Ej. : Aléjate! Respuesta: No es una proposición por ser orden 1. Qué te sucede?. 2. Esta materia es entretenida. 3. Es hora de tomar un café. 4. Que calor hace!. 5. Hace calor. 6. Cuándo nos vamos?. 7. Todo número par es divisible por dos. 8. Cuántos matemáticos se equivocan cuando están enamorados! 9. Una proposición es, o bien verdadera o bien falsa. 10. Una pregunta no es una proposición. 11. Los árboles 12. Se aman PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Una proposición simple o atómica (PA) es una proposición completa sin términos de enlace Una proposición compuesta o molecular (PM) está formada por una o más proposiciones atómicas unidas por términos de enlace. Ejemplos: Las mujeres no atienden las explicaciones Hoy es lunes y hay clase.- Hoy no es lunes implica que hay clases Hoy es lunes o hay clase 2

3 Hoy es lunes si y solo si hay clase Estas proposiciones moleculares se han construido con una o dos proposiciones atómicas y distintos términos de enlace.- Los términos de enlace "y", "no", "o", "si...entonces" y "si y solo si" no forman parte de las proposiciones atómicas. Se han añadido a ellas para construir una proposición molecular. La forma de las PM construidas, depende del término de enlace utilizado y no del contenido de la proposición o proposiciones atómicas. Es decir, si en una PM se sustituyen las proposiciones atómicas por otras proposiciones atómicas cualesquiera, la forma de la proposición molecular se conserva. En el ejemplo: Hoy es lunes y hay clase, se puede representar la forma de esta PM utilizando el término de enlace "y" de la siguiente manera ( ) y ( ) Se pueden sustituir los paréntesis, por cualquier proposición y la forma es la misma. Ejemplo: Es rojo y es azul Soy alumno de este curso y estoy en la clase de lógica. Se pueden también utilizar proposiciones moleculares y la forma es la misma. Ejemplo: No me gusta esta clase y deseo no estar aquí También se podría utilizar una proposición molecular y una proposición atómica. Ejemplo: Soy alumno de este curso y no me gusta lógica Cualesquiera sean las proposiciones con las que se llenan los espacios, la forma es la de una proposición molecular con el término de enlace "y". Todo lo dicho es aplicable a los términos de enlace antes mencionados. Ejem: ( ) o ( ) ; no ( ) si ( ) entonces ( ) ( ) si y solo si ( ) ACTIVIDAD 2 Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son compuestas y cuáles son las proposiciones componentes. 1. Construyeron un dique para controlar las bruscas crecidas de primavera.. 2. No se han producido epidemias de viruela en los últimos diez años. 3

4 3. O me ayudas con el trabajo, o tendré que llamar a otra persona. 4. La clase es interesante y amena. 5. Puedes ver el partido si terminas de hacer la tarea. 6. El viento sopla del norte 7. Es tarde. 8. Es tarde pero no me di cuenta 9. En sueños me despierto y veo el mundo que tendría que ser. 10. Apruebo el examen si y solo si estudio. SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES Los ejemplos dados se encuentran en lenguaje coloquial que, generalmente, resulta de difícil manejo, por lo cual la Lógica tiene su propio lenguaje para simbolizar las proposiciones y los conectivos: lenguaje simbólico. Las proposiciones se representan con las letras p, q, r... que se denominan variables proposicionales y los conectivos con los signos:,,,,, u otros, según las convenciones adoptadas por cada autor Ejemplo: Hasta ahora comprendo las explicaciones, se simboliza : p ACTIVIDAD 3: Escribir en lenguaje lógico las proposiciones de la actividad 2. OPERACIONES LÓGICAS Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos proposiciones cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar ( conocer la verdad o la falsedad) la proposición resultante, a través de su valor de verdad. Si se conocen los valores de verdad de las proposiciones atómicas dentro de las moleculares entonces es posible dar los valores de verdad de éstas. En consecuencia, la verdad o falsedad de una proposición molecular depende de la verdad o falsedad de las atómicas que la componen y de los términos de enlace que las ligan. Podemos resumir las operaciones lógicas en el siguiente cuadro: CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO 4

5 negación no p, no es cierto que p, no ocurre que p conjunción o producto lógico p y q, (pero, aunque, no obstante sin embargo) disyunción p o q (en sentido incluyente) o p, o q si p entonces q; p implica q, p solo si q; q si p; cuando p, q condicional p es suficiente para q q es necesario para p, si p, q bicondicional p si y solo si q, cuando y solo cuando, es necesario y suficiente ACTIVIDAD 4.: Proponer ejemplos de oraciones que no sean proposiciones. ACTIVIDAD 5 : Escribir cinco proposiciones atómicas y luego formar con ellas diez proposiciones moleculares. ACTIVIDAD 6.: Considerando las expresiones que representan condicionales, escriba de cinco maneras distintas en lenguaje coloquial un condicional donde el antecedente esté dado por la proposición me aburro, y el consecuente por la proposición resuelvo estas actividades AGRUPAMIENTOS Y PARÉNTESIS Es frecuente encontrar proposiciones que tienen más de un término de enlace pero, siempre, uno de los términos de enlace es el mayor, por esto se le denominará dominante porque es el que actúa sobre toda la proposición. Ejemplo: ( p q ) r es una conjunción Los paréntesis son símbolos de puntuación de la lógica. Muestran como está agrupada una proposición y, por lo tanto, señalan cuál es el término de enlace dominante. Adoptaremos algunas reglas acerca de la potencia de los términos de enlace (según SUPPES- HILL) REGLA 1 5

6 El signo es más potente que los otros términos de enlace ( p q ) ( r s ) puede escribirse p q r s REGLA 2 El signo es más potente que y. ( p q ) ( r s ) puede escribirse p q r s. REGLA 3 El signo de negación ( ) es más débil que cualquiera de los otros términos de enlace. p q ( conjunción) no es lo mismo que ( p q) ( negación) REGLA 4 Los signos y son igualmente fuertes. Cuando se presentan ambos en una proposición, se tienen que poner siempre los paréntesis para indicar cuál es el término de enlace dominante. Ejemplo: p q r no es claro ( p q) r conjunción p (q r) disyunción ACTIVIDAD 7: Colocar paréntesis (si fuera necesario) para que la fórmula corresponda a la proposición que se indica en cada caso: lógica 7.1.-Condicional: p q r s 7.2.-Conjunción: p q r s 7.3.-Negación: ~ p q r 7.4.-Disyunción: p q r 7.5.-Bicondicional: p r q r 7.6.-Negación: ~ p q r 7.7.-Disyunción: p q r Conjunción p q r 6

7 ACTIVIDAD 8: Dadas las siguientes proposiciones, simbolizarlas en términos de la lógica proposicional. Usar paréntesis cuando sea necesario. 1.- Si estudiamos con esfuerzo y resolvemos estos ejercicios, aprobaremos el examen. 2.- Estudiamos con esfuerzo y, si resolvemos estos ejercicios, aprobaremos el examen 3.- Si estudiamos con esfuerzo, resolvemos estos ejercicios y además, aprobaremos el examen ACTIVIDAD 9: Con la proposición " Las actividades son complicadas" formar cinco negaciones en lenguaje corriente. ACTIVIDAD 10: Con las proposiciones: "Comienzo una carrera" y "estoy entusiasmado", formar conjunciones de cinco maneras distintas. ACTIVIDAD 11: Traducir al lenguaje corriente cada una de las siguientes fórmulas lógicas considerando que p sustituye a la proposición: Estoy en la clase de lógica, q: Presto atención, r: soy alumno de primer año, s: Este es un ejercicio lógico. 1. ( p r ) ~ q O, si estoy en la clase de lógica soy alumno de primer año o, no presto atención 2. ~ p r ~ q 3. ~ ( p r ~ q ) 4. q ( p r ) 5. ( p ~ r ) ( q s ) 6. ~ p q r 7. ~ ( p ~ q ~ s ) 8. ( p r ) ( ~ p ~ q ) 9. p q r ~ p 10. q ~ q ACTIVIDAD 12: Dadas las siguientes proposiciones, simbolizarlas en términos de la lógica proposicional. Usar paréntesis cuando sea necesario. 1. Atiendo las explicaciones pero no entiendo. 2. No estoy enamorado aunque soy feliz. 7

8 3. Resuelvo sola este ejercicio. 4. La lógica estudia los razonamientos deductivos. 5. No ocurre que haremos recreo. 6. No ocurre que, o trabajo en grupo o no vengo a clase. 7. Si estudio la teoría, comprendo las consignas. 8. Estoy en clase o, si me quedo en clase entonces no apruebo el curso. 9. Canto o bailo, pero no me divierto. 10. El aula es incómoda y hay poca luz, o yo no dormí bien anoche. SINTAXIS DE LAS FORMULAS PROPOSICIONALES A los efectos de sintetizar lo desarrollado en los apartados precedentes, se establece la siguiente sintaxis que describe como escribir proposiciones correctas en el lenguaje. Es preciso definir unas reglas de escritura correcta de estas FORMULAS a partir de las reglas usualmente admitidas para construir frases en el lenguaje real. Una fórmula sintácticamente correcta se define de acuerdo con las siguientes reglas: a) Las letras proposicionales p, q,r, s,t, son fórmulas correctamente formadas b) Si A y B son fórmulas correctas, también son fórmulas correctas A B A B A B A B A B c) Sólo son fórmulas correctas las que cumplen con la condición a) y b) A efectos de interpretación de la relación entre conectivos y letras proposicionales cuando hay mas de una conectiva se definen las reglas siguientes: d) Una conectiva afecta a las letras proposicionales inmediatas o a algún conjunto de letras y símbolos inmediatos a ellos entre paréntesis. e) Para evitar el exceso de paréntesis se define jerarquía entre conectivas NIVEL1 NIVEL2, 8

9 NIVEL3 NIVEL 4 DEFINICION SEMÁNTICA DE CONECTIVAS Intuitivamente podemos afirmar que la semántica nos informa el significado de las proposiciones en el mundo real. Las conectivas generan un significado de las frases compuestas a partir de las proposiciones componentes que conectan. Para ello se utilizarán tablas de relación entre significados de las proposiciones componentes y la compuesta por cada conectiva, estas tablas se denominan TABLA DE VERDAD. Se denomina interpretación de una fórmula a una asignación de significados a sus fórmulas componentes básicas. Una interpretación es una línea de la tabla de verdad de la fórmula. TABLAS DE VERDAD DE LAS OPERACIONES LOGICAS: DEFINICIONES NEGACIÓN La negación de una proposición sustituida por la variable p es la proposición no p, p cuya tabla de valores de verdad es : P p V F F V Se trata de una operación unitaria o monádica, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación CONJUNCIÓN La conjunción de las prop. p y q es la prop. "p q" cuya tabla de verdad es ( cuatro combinaciones posibles) P q p q V V V V F F F V F F F F La conjunción de dos proposiciones es V si y solo si ambas proposiciones son verdaderas; en todo otro caso es F. Es una operación binaria o diádica porque a partir de dos proposiciones atómicas obtenemos una molecular. 9

10 Ejemplo: Sea p : llueve, q : sale el sol p q: Llueve y sale el sol ò p q: A la vez llueve y sale el sol ò p q: Llueve pero sale el sol ò p q: Llueve aunque sale el sol ò p q: Llueve sin embargo sale el sol DISYUNCIÓN Una disyunción es una prop. molecular formada por el término de enlace " o". En la disyunción se utiliza el sentido incluyente. Esto significa que en cualquier disyunción, por lo menos una de las dos prop. es cierta y quizás ambas. Hay cuatro combinaciones posibles de valores de certeza: p q p q V V V V F V F V V F F F Es una operación binaria o diádica, porque a partir de dos proposiciones atómicas se obtiene una molecular. Ejemplo: La lógica es difícil o la profesora explica mal. p: la lógica es difícil q: la profesora explica mal Si por lo menos una de las proposiciones atómicas es V, entonces la disyunción es V; además, si ambas proposiciones son V, entonces, la disyunción también será V. Si las proposiciones son ambas F, la disyunción será F. CONDICIONAL ( p q ) Los elementos del condicional se denominan antecedente y consecuente. El condicional usual en matemática es material en el sentido de que no es necesario que el consecuente se derive lógicamente del antecedente. Cuando esto ocurre, el condicional se llama formal y queda incluido en el primero. Ej. de condicional material: Si 2+2= 4 entonces hoy es lunes Ej. de condicional formal: Si 2+2= 4 entonces 4=

11 La tabla de valores de verdad es: p q p q V V V V F F F V V F F V Ejemplo: sea p la variable que sustituye a la proposición Curso la licenciatura en Pedagogía De la Matemática, q representa a la proposición Estoy entusiasmado, el condicional entre ambas está dado por: p q: Si curso la licenciatura en Pedagogía De la Matemática entonces estoy entusiasmado p q: Si curso la tecnicatura, estoy entusiasmado p q: Cursar la tecnicatura implica estar entusiasmado p q: Curso la tecnicatura sólo si estoy entusiasmado p q: Estoy entusiasmado si curso la tecnicatura p q: Para estar entusiasmado, es suficiente cursar la tecnicatura p q: Estar entusiasmado es necesario para cursar la tecnicatura p q: Cuando curso la tecnicatura, estoy entusiasmado BICONDICIONAL ( p q ) El bicondicional, solo es verdadero si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. p q p q V V V V F F F V F F F V El bicondicional puede definirse como la conjunción de un condicional y su recíproco. De este modo la tabla de valores de verdad de p q, puede obtenerse mediante la tabla de ( p q ) (q p ). p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V 11

12 Ejemplo: " Usted puede votar si y solo si figura en los padrones " " T es un triángulo equilátero si y solo si T es un triángulo " a)-diagrama DE VALORES DE CERTEZA (o de verdad) Independientemente de la longitud y de lo complicada que sea una proposición molecular, se pueden hallar sus valores de certeza si se conocen los valores de certeza de sus partes.- Sea por ejemplo la fórmula ( p q ) r donde p y r son V y q es F, el diagrama tendrá la forma: ( p q) r V F V V V Se comienza con las variables atómicas, luego el conectivo de menor alcance y se continúa hasta el término de enlace final.- EJERCICIO:- construir un diagrama para ( p q p) ( r s) donde p y q son V y r y s son F b) TABLAS DE VALORES DE VERDAD Si no se conocen los valores de verdad de sus partes, se utilizan mecanismos de decisión dados por tablas de verdad. Las tablas son exhaustivas operaciones lógicas cuyos resultados pueden tener distintas formas:- Forma Tautológica:- Su valor de certeza es V, independientemente de los valores de certeza de las proposiciones atómicas. Decimos que la fórmula es un tautología. EJEMPLO DE TAUTOLOGIA ( p q) p q 12

13 Forma Contingente: Las valoraciones son V y F, es una función de verdad, porque los valores dependen de los valores de V de las proposiciones. La fórmula es una contingencia. EJEMPLO DE CONTINGENCIA Forma Contradictoria: tiene siempre el valor F independientemente del valor de verdad de las variables. Decimos que la fórmula es una contradicción. EJEMPLO DE CONTRADICCION: p p ACTIVIDAD 13 Construir un diagrama de valores de verdad para cada fórmula de la actividad 11 sabiendo que p es V, q, r son F, s es V ACTIVIDAD 14.Construir una tabla de valores de verdad para cada una de las fórmulas obtenidas en la actividad 12 y clasificarlas EQUIVALENCIA LÓGICA Dos proposiciones son equivalentes cuanto tienen las mismas tablas de Valores de Verdad ó bien, cuando al componerlas con el bicondicional, da una tautología. ACTIVIDAD 15: Escribir ejemplos de fórmulas equivalentes LEYES LÓGICAS Algunas tautologías reciben nombres especiales, por ser de uso frecuente, entre ellas: 1- Involutiva: ~ ~ p p 2.Idem Potencia p p p ; p p p 3.Trasposición ( p q ) ( ~ q ~ p ) 13

14 4.Conmutatividad ( p q ) ( q p ) ( p q ) ( q p ) 5. Asociatividad [ p ( q r ) ] [ ( p q ) r ] [ p ( q r ) ] [ ( p q ) r ] 6. Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción [ p ( q r )] [ ( p q ) ( p r )] 7. Distributividad de la disyunción respecto de la conjunción [ p ( q r )] [ ( p q ) ( p r )] 8. Distributividad del condicional con respecto de la conjunción [ p ( q r )] ( p q ) ( p r ) 9. Distributividad del condicional con respecto de la disyunción [ p ( q v r )] ( p q ) ( p r ) 10. De Morgan : ~ ( p q ) ( ~ p ~ q ) ~ ( p q ) ( ~ p ~ q ) 11. Exportación: [ ( p q ) r ] [ p ( q r )] 12. Absorción : p [ p ( p q )] p [ p ( p q )] 13. Definición de condicional : ( p q) ( p q) 14. Definición de bicondicional: (p q) ( p q) ( q p) 15. Negación del condicional: ( p q) ( p q ) 16. Expansiones Booleanas: p p (q ~ q) p p (q ~ q) p p (q ~ q r) p p (q ~ q r) NEGACIÓN DE UN CONDICIONAL. 14

15 Las proposiciones ( p q) y p q son equivalentes ya que su bicondicional nos dio una tautología o sea: ( p q) ( p q ) En consecuencia la negación de la primera es equivalente a la negación de la segunda ( p q) ( p q ) Aplicando la ley de De Morgan al segundo miembro de la equivalencia, queda: ( p q) ( p q ) La negación de una implicación es equivalente a la conj. del antecedente con la negación del consecuente.-- ACTIVIDAD 16: Aplicar las leyes lógicas para encontrar proposiciones equivalentes a: 1. No es cierto que, o voy al cine o voy a bailar 2. No ocurre que, si presento la monografía entonces apruebo la asignatura 3. No ocurre que, si desapruebo el parcial, promociono esta asignatura o la regularizo. 4. Salgo a caminar pero no me canso CONDICIONES NECESARIA Y SUFICIENTE DE UN CONDICIONAL Consideramos la Tabla Valores de Verdad de la implicación p q p q V V V V F F F V V F F V Hay tres casos en que p q es V : a) Si sabemos que p q es V y p es V, q también debe ser V en cambio si p es F nada podemos decir de q, ya que puede ser V ò F.O sea que es suficiente saber que p, es V para que q lo sea. Se dice entonces que el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q y se expresa : q si p. Ejemplos:- Es suficiente que la figura tenga tres lados para ser triángulo. - Para aprobar este parcial es suficiente resolver los ejercicios y obtener 60 puntos 15

16 - atiendo las explicaciones o no comprendo el tema, si asisto a clase. b)- Cuando p q es V, si q es V entonces p puede ser V ò F, pero para que p sea V es necesario que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria para p y se expresa : p solo si q Ejemplos:- Para que un metal se dilate es necesario someterlo al calor. Para regularizar la asignatura, es necesario aprobar el parcial o su recuperatorio Apruebo el parcial solo si estudio la teoria y comprendo los ejercicios ACTIVIDAD 17: Analizar las condiciones necesaria y suficiente de los siguientes condicionales y simbolizarlos 1. Es necesario escuchar música para ser feliz. 2. Soy feliz si escucho música. 3. Soy feliz solamente si escucho música. 4. Es suficiente estar enamorado, para ser feliz. 5. Para ser feliz es necesario escuchar música y no estar enamorado. 6. Para escuchar música es suficiente ser feliz o estar enamorado. 7. Soy feliz si escucho música. 8. Para estar enamorado es necesario ser feliz. 9. Soy feliz o no escucho música si estoy enamorado. 10. Sólo si escucho música, soy feliz. 11.Para ser feliz es suficiente estar enamorado CONDICIONALES ASOCIADOS Sea el condicional p q,que llamamos directo; en conexión con él, se presentan otros tres, obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedentes y consecuente: p q directo q p recíproco p q contrario q p contrarecíproco 16

17 Los cuatro condicionales propuestos se llaman conjugados y cualesquiera de ellos puede tomarse como recíproco.- Construya las tablas de verdad de los condicionales asociados para determinar si existen fórmulas equivalentes entre ellos. ACTIVIDAD 18: Elegir entre las fórmulas de las actividades 11 y 12 las que correspondan a condicionales y formular los asociados ACTIVIDAD 19: Negar las fórmulas de la actividad 17 y retraducirlas al lenguaje coloquial. 17