LÓGICA PROPOSICIONAL

Transcripción

1 MATEMÁTICA I AÑO

2 LÓGICA PROPOSICIONAL LÓGICA PROPOSICIONAL Nadie aprende si no se ha equivocado al intentarlo... - DE QUÉ TRATA LA LÓGICA? La lógica investiga la relación de consecuencia que se da entre una serie de premisas y la conclusión de un argumento correcto. Se dice que un argumento es correcto (válido) si su conclusión se sigue o es consecuencia de sus premisas; de otra forma es incorrecto. Ya claro el concepto de lógica, voy a proceder a la definición de varias palabras que no serán de gran utilidad en el proceso de lectura y comprensión de este trabajo. -Argumento: es un razonamiento que quiere probar una proposición o afirmación. Debe estar fundamentado, pero sólo será correcto cuando esa fundamentación sea adecuada. -Premisa: es una proposición que se dice con anticipación a algo. -Inducción: es una forma de razonamiento en la que, a partir de unas observaciones o experiencias determinadas, sacar una conclusión final. -Deducción: es una forma de razonamiento en la que, partiendo de unas premisas y utilizando reglas de derivación (reglas de inferencia) se llega a sacar una conclusión final. -Derivación: es separar cosas de un todo, dividirlo. 1

3 -Reglas de inferencia: son reglas ya determinadas, por medio de ellas podemos hacer una deducción correcta. ARISTÓTELES ilósofo griego, considerado el más influyente en la filosofía occidental. En la lógica, Aristóteles desarrolló reglas para el razonamiento encadenado, llamadas reglas de validez, que dicen que no se producen nunca falsas conclusiones si la reflexión parte de premisas verdaderas. Empezó con silogismos, y su ejemplo más famoso es el de: todos los humanos son mortales todos los griegos son humanos, luego todos los griegos son mortales El distinguía entre dialéctica y analítica. Para él la dialéctica solo comprueba las opiniones por su consistencia lógica, y la analítica trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa. 4) LA LÓGICA SIMBÓLICA El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas. 2

4 Hoy en día, la lógica proposicional que estudiaremos en este capítulo, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática. LOGICA PROPOSICIONAL La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser: ERDADERO () o ALSO () En resumen, podemos dar la siguiente definición: Proposición es toda oración declarativa. Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad: p : = 21 () q: Cojutepeque es un municipio de Cuscatlán. () r: El número 15 es divisible por 3. () s: El perro es un ave. () EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos. Así tenemos, por ejemplo: Cómo te llamas? Prohibido pasar Borra el pizarrón 3

5 ENUNCIADOS ABIERTOS Si en la proposición: "cinco es mayor que tres" (en símbolos: 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número cualquiera, entonces al enunciado x > 3 se le denomina enunciado abierto. CLASIICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas. Por ejemplo, sea la proposición "p: = 9" es una proposición simple o atómica. Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Así, por ejemplo: Pitágoras era griego y era geómetra. Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra. Ejercicios: 4

6 NOTACIÓN Y CONECTIOS LÓGICOS A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos. A continuación vemos una concreta definición de cada uno: Símbolo Operación asociada Significado ~ Negación Conjunción o producto lógico Disyunción o suma lógica Implicación Doble implicación Diferencia simétrica no p o no es cierto que p p y q p o q (en sentido incluyente) p implica q, o si p entonces q p si y sólo si q p o q (en sentido excluyente) OPERACIONES PROPOSICIONALES Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba: NEGACIÓN Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo: p: Diego estudia matemática ~ p: Diego no estudia matemática Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: 5

7 Observamos aquí que al valor de p, la negación le hace corresponder el valor, y viceversa. Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación. Ejemplo: La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática" es ~ p: no todos los alumnos estudian matemática o bien: ~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática ~ p: hay alumnos que no estudian matemática CONJUNCIÓN Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es: La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa. Ejemplo: Sea la declaración: i) emos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son p: 5 es un número impar q: 6 es un número par 6

8 Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera. Ahora bien, sea la declaración ii) Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones. DISYUNCIÓN Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q cuya tabla de valor de verdad es: La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. Ejemplo: Sea i) Tiro las cosas viejas o que no me sirven El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es. 7

9 IMPLICACIÓN O CONDICIONAL Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es: La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Ejemplo: Supongamos la implicación Si apruebo, entonces te presto el libro. La implicación está compuesta de las proposiciones p: apruebo q: te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no prestó el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple. Ejemplo: 1 = 1 Þ 1² = ( 1)² () La proposición resulta ser falsa por ser el antecedente (1 = 1) falso. 8

10 DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es: La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla de: (p q) (q p), como vemos: Ejemplo: Sea i) a = b si y sólo si a 2 = b 2 El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: a = b q: a 2 = b 2 Esta doble implicación es falsa si p es y q es. En los demás casos es. 9

11 DIERENCIA SIMÉTRICA Diferencia simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es: p q p q La verdad de p q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes. Ejemplo: Sea i) o vamos a Santa Ana o vamos a San Miguel Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es also. Ejemplos: 1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: 10

12 2. En los problemas siguientes considere: p: Panamá está en América Central. q: Colombia está al sur de enezuela. r: Quito es la capital de Ecuador. Observe que p y r son verdaderas, pero q es falsa. Escriba las proposiciones dadas en forma simbólica, y determine en cada caso si la proposición es verdadera o falsa. a. Panamá está en América Central y Colombia está al sur de enezuela. b. Colombia no está al sur de enezuela. c. Colombia está al sur de enezuela y Quito es la capital de Ecuador, o Panamá no está en América Central. d. Quito no es la capital de Ecuador ni Panamá está en América Central. e. Si panamá está en América Central y Colombia no está al sur de enezuela, entonces ni Panamá está en América Central ni Quito es la capital de Ecuador. PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIALENTES. Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p q Ejemplo: Sea p: p q, recordamos su tabla de verdad: p q p q Ahora bien, si analizamos la proposición q: ~ p q, su tabla de verdad resulta: p q ~ p q 11

13 Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: (p q) (~ p q) TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo: ~ {(p q) (s t)} Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre para cualquier combinación de sus valores de verdad, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. Ejemplo: Si analizamos la proposición t: p ~ p realizando su tabla de verdad: p ~ p p ~ p emos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~ p, la proposición t: p ~ p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología 12

14 Ejemplo: Analicemos ahora la fórmula lógica { ( p q ) p } q p q p q q p { ( p q ) p } q En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica. Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo: Analicemos la fórmula lógica p ~ p p ~ p p ~ p Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor y otro ) es una contingencia. Ejemplos: Construya tablas de verdad para las siguientes proposiciones. Cuáles de ellas son tautolog ías, contradi cciones o continge ncias 13

15 REGLAS DE INERENCIA Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. Ejemplo 1 Es válido el siguiente argumento? Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico. Si se hace usted rico, entonces será feliz. Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz. Sea: p: Usted invierte en el mercado de valores. q: Se hará rico. r: Será feliz De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera: p q q r p r 14

16 Ejemplo 2. Es válido el siguiente argumento? Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso El ingreso se eleva. Los impuestos bajan Solución: Sea p: Los impuestos bajan; q: El ingreso se eleva. p q q p El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla. En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado problema. Ejemplos: 15

17 CUANTIICADORES A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos x y x, llamados CUANTIICADOR UNIERSAL Y CUANTIICADOR EXISTENCIAL respectivamente. Las expresiones Cualquier operador lógico de la forma para todo, para cada, todo o cada, es un CUANTIICADOR UNIERSAL y se representa de la siguiente manera: Para todo x, se verifica p (x) se denota por x: p(x) Los operadores de la forma existe, algún, por lo menos un, son CUANTIICADORES EXISTENCIALES y se representan como: Existe x, tal que se verifica p (x) se denota por x / p(x). Ejemplos: represente, aplicando el cuantificador apropiado, las siguientes expresiones en forma simbólica: a) Hay animales carnívoros : x C x b) Todos somos inteligentes: x I x c) Hay números impares : x I x d) Existe al menos un volcán: x x e) Cada número natural es entero: x E x f) Hay palomas blancas: x B x g) Algunas personas son artistas: x A x h) Todos amamos la naturaleza: x N x Una función proposicional cuantificada universalmente es si y sólo si son todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de "Todos los enteros son impares" es "Existen enteros que no son impares" y en símbolos: x / ~ p(x) Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional. Ejemplo: Supongamos la proposición: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario. 16

18 Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales: p (x): es alumno de mi colegio q (x): es aplicado Tenemos: x: p(x) q(x) Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta: x / p(x) ~ q(x) Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta: Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados. La siguiente tabla nos muestra la negación de proposiciones que contienen alguno de los cuantificadores anteriores: PROPOSICIÓN Algunos Todos Algunos no Ningún NEGACIÓN Ningún Algunos no Todos Algunos Ejemplos: Considere los enunciados: a) Todos los ángulos son congruentes () b) Algunos ángulos son rectos () c) Existen ángulos no obtusos () d) Ningún ángulo mide 30º () La representación simbólica de cada enunciado y su negación están dadas por: A) xc x C : ángulos congruentes Negación: x ~ C x Traducción: algunos ángulos no son congruentes () B) xr x R : ángulos rectos Negación: x ~ R x Traducción: Ningún ángulos es recto () 17

19 C) x ~Ox O : ángulos obtusos Negación: x O x Traducción: todo ángulo es obtuso () D) x~m x M: ángulo mide 30º Negación: x M x Traducción: algún ángulo mide 30º () EJERCICIO: I. Expresar simbólicamente mediante cuantificadores y funciones proposicionales, negar y traducir cada uno de los siguientes enunciados: 1) Hay mujeres hermosas 2) Existen conjuntos unitarios 3) Muchas personas viven en la pobreza absoluta 4) Existen países en vía de desarrollo. 5) Ningún número natural es negativo 6) Algunos estudiantes tienen dificultad en el aprendizaje 7) Todos los países latinoamericanos tienen deuda externa 8) No todos son números primos. 9) Algunos números no son primos. 10) Es falso que existan números primos. II. ESCRIBA LOS PREDICADOS SIGUIENTES EN ORMA SIMBÓLICA: 1) No todas las piedras preciosas son bonitas. 2) Existe un número positivo que es el menor. 3) Nadie ama a todo el mundo 4) Existe un único presidente de El Salvador 5) Existe un número que es más grande que cualquier solución conocida para el problema o no hay solución. 6) En forma simbólica escriba la negación de los predicados dados en el ejercicio anterior. 18

20 III. CONSIDERE LOS ENUNCIADOS ABIERTOS O PREDICADOS DADOS. P(x,y): x es más rápido que y ; Q(x,y): y es más alto que x ; R(x): x pesa más de 200 libras Escriba las siguientes expresiones: 1) P(x, José) 2) Q(Miguel, Luis) R(Juan) 3) P(x,y) Q(x,y) 4) Q(x,y) R(x) 5) P(Miguel, José) [Q(Miguel, 6) x, y Q(x,y) P(x,y) 7) x, P(x,José) R(x) 8) x, R(x) y P(x,y) 9) y, x,p(x,y) R(x) 10) y, R(Miguel) v Q(Miguel,y José) R(José)] I. Escribir la negación de cada una de las proposiciones siguientes v. Escriba la negación de cada una de las siguientes proposiciones 19

21 RESOLER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. 20