1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL

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1 CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS PROGRAMA: INGENIERIAS DE SISTEMAS Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ACTIVIDAD ACADEMICA: CÁLCULO DIFERENCIAL DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD Nº : LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES Cometencias Utilizar técnicas de aroimación en rocesos numéricos infinitos Usar las roiedades de los números reales en el cálculo de límites y en la determinación de la continuidad de funciones Eresar con claridad los concetos de límites y continuidad Alicar las roiedades y conocimientos algebraicos ara calcular límites de funciones. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO En el lenguaje informal cuando se menciona la alabra límite, esta se refiere a un valor al cual nunca se debe llegar. En matemáticas, la alabra límite se usa en el conteto de las funciones. Así, el límite de una función y = f( en un unto =a es el valor real al que tiende la función en untos muy cercanos a un valor a. Considérese la función lineal f( = +. A qué valor se aroima la función, cuando se aroima al valor? : Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando tiende a, hay que ver los valores que toma la función f( en untos muy róimos a. Para ello se uede hacer la siguiente tabla de valores:,,8,9,99,999,9999,,,,, f(,6,8,98,998,9998,,,, Se observa que al tomar valores de muy róimos a, ya sean mayores o menores que él, sus imágenes se aroiman al valor. Cuanto mayor es la roimidad de a, mayor es la roimidad de f( a. Esto se eresa diciendo que, cuando tiende a, el límite de la función y = + es, y se escribe. Considérese la función f( Se elabora una tabla de valores:, analice el valor de la función ara valores cercanos a,,8,9,99,999,9999,,,,, f(,,8,9,99,999,9999,,,,, Se observa que ara valores cercanos a or izquierda y or derecha f( se aroima a ; ero no está definida ara =. A esar de esto el límite es. Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página

2 Luego. Considérese la función f (, en valores cercanos a Se construye la tabla de valores:,,8,9,99,999,9999,,,,, f( Luego Se observa que en la medida en que toma valores cercanos a or izquierda y or derecha, f(, no se aroima a ningún valor esecífico, es decir este límite es indeterminado. DEFINICION DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se dice que una función f( converge, en el unto = a, hacia el valor L, o que su límite en a es L, cuando ara valores cercanos al valor a, los valores de f( se aroiman a L. Se denota or: f ( L a Se lee el ite de f( cuando tiende a a es igual a L.. EVALUACION DIRECTA DE LÍMITES Evaluar directamente un límite es encontrar el valor que toma f( cuando se reemlaza el valor de or un valor a. Ejemlo : Calcular directamente Se reemlaza el valor de or y se resuelve la oeración lanteada ( ( 6 Ejemlo : Calcular directamente Se reemlaza directamente el valor de or -: ( ( ( ( 8 6, simlificando Ejemlo : calcular Al evaluar directamente: Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página

3 (, se obtiene una indeterminación Cuando se resentan estos casos es necesario observar si el numerador o denominador o ambos son factorizables, con el fin de einar los términos que roduzcan la indeterminación. Factorizo el numerador: ( ( (diferencia de cuadrados El denominador no es factorizable. Ahora el límite se transforma ( (, se eina el factor (+ y quedaría (, al evaluar directamente TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE Nº Evalúa directamente los siguientes límites LÍMITES LATERALES El límite or la izquierda de una función y = f(, cuando tiende al valor a, es el valor al que tiende la función ara untos muy róimos a a y menores que a. Se escribe f ( a El límite or la derecha de una función y = f(, cuando tiende al valor a, es el valor al que tiende la función ara untos muy róimos a a y mayores que a. Se escribe f ( a RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN El límite de una función y = f( en un unto a, eiste si y solo si eisten los Límites laterales y coinciden: f ( L f ( f ( L a a a Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente.. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. LIMITE DE UNA CONSTANTE: Si f( = c, donde c es una constante, entonces ara todo valor de se cumle que f ( c a Ejemlo: 8 8, es evidente que como no hay variable no se uede remlazar nada Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página

4 . LIMITE DE UNA FUNCION LINEAL: Si f( = m+b, donde m y b son constantes, entonces m b m.a b a Ejemlo: Calcular ( ( 8. LIMITE DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: El límite de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de los límites de las funciones. Simbólicamente: si f( y g( son funciones tales que Lim f( y Lim g(, eisten, entonces: f ( g( f ( g( a a a Ejemlo: Calcular Se observa que se trata de ite de una suma, alicando dicha roiedad se tiene ( ( ( LIMITE DE UN PRODUCTO: El límite de un roducto de funciones es igual al roducto de los límites de cada una de ellas. Simbólicamente si f( y g( son funciones tales que f ( y g( eisten, entonces: a a f ( g( f ( g( a a a Ejemlo: calcular ( ( (. LIMITE DE UN COCIENTE: El límite de un cociente de funciones es igual al cociente de los límites de cada una de ellas. Simbólicamente si f( y g( son funciones tales que f ( y g( eisten, entonces: a a Ejemlo: Calcular ( ( a f ( g( f ( a g( a, Con g( a 6. LIMITE DE UN RADICAL: El límite del radical de una función es igual a la raíz del límite de ella. Simbólicamente: si f( es una función y f ( eiste, entonces: a n f ( a n f ( a Ejemlo: Calcular ( ( 9 Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página

5 . LIMITE DE LA POTENCIA DE UNA FUNCION: El límite de la otencia de una función es igual a la otencia de su límite f ( a k f ( Ejemlo: calcula ( ( a k 8. LIMITE DE UNA FUNCION CUYO EXPONENTE ES OTRA FUNCIÓN: El límite de una función de g( g( este tio se calcula alicando el límite a cada función f ( f ( a a a Ejemlo: calcular l im ( ( ( ( 9 9. LIMITE DE UN LOGARITMO: El límite del logaritmo de una función es igual al logaritmo de su límite. Simbólicamente: loga f ( loga f ( a a, si a > y f(> TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N Calcular los siguientes límites utilizando las roiedades e LIMITES AL INFINITO En la teoría de límites es imortante conocer como se comortan algunas funciones, cuando la variable toma valores cada vez mayores. Por ejemlo analicemos la función f (, construyamos la tabla: f(,,,,,,,,, En la medida en que toma valores cada vez mayores, f( se aroima a cero, con lo anterior se uede deducir que: de igual forma a, si a> EVALUACION DE LÍMITES AL INFINITO Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página

6 En este caso se tienen en cuenta funciones racionales Ejemlo : calcular Al evaluar directamente ( ( ( ( se obtiene una indeterminación. Para evitar esto se divide tanto al numerador como al denominador or la variable de mayor eonente, en este caso or. Ejemlo : Calcular Si se evalúa directamente se obtiene una indeterminación, ara evitar esto se factoriza dentro del radical con el fin de einar la del denominador. ( (Se saca factor común y luego se divide entre este,luego: ( ( 6. LIMITES TRIGONOMETRICOS Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página 6 ( einando la sen a. Limites de la forma Recuérdese que or ser funciones trigonométricas, reresenta un ángulo or lo general medido en radianes, al evaluar esta función f ( sen -, -, -, -, -,,,,,, f(,9,99,998,999,9999,9999,999,99,9,98 Se observa que en la medida en que se aroima a, f( se aroima a, Luego sen cos b. Limites de la forma cos Al darle valores a cercanos a cero, se observa que f( se aroima a cero, luego

7 . LIMITES EXPONENCIALES Algunos de los límites eonenciales más utilizados son:. e. e. e. a e. Ejemlo: Calcula los siguientes límites. e e TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N Calcula los siguientes límites sen. sen. sen. sen. 6. cos.. cos. 8. cos e 9. e e. e / Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página

8 PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON LIMITES Son diversas las alicaciones de los límites en roblemas de diferentes áreas. Veamos un ejemlo Ejemlo: Henry Schultz (9 99, un reconocido agricultor y economista estadounidense, calculó la función demanda ara el maíz: q, Donde: - es el recio en dólares or bulto - q es la cantidad de bultos de maíz que se ueden vender al recio en un año. a. Estime q, elique la resuesta b. Estime q, elique la resuesta a. Por tratarse de un límite infinito, se evalúa como tal q, es decir q.,.,,,., Esto significa que a medida que se eleva cada vez más el recio or bulto, la demanda baja hacia cero, que es lo que se esera razonablemente de una ecuación de demanda. b. Al tratar de evaluar este límite q q.,.,. Se observa que en la medida en que el recio baja a cero, la demanda se disara sin límite. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS CON LIMITES.. Si C es el costo total en dólares ara roducir q unidades de un roducto, entonces el costo romedio or C unidad C ara una roducción de q unidades está dado or C, así la ecuación de costo total es q C 6q, entonces C 6. Por ejemlo el costo total ara una roducción de unidades es q $ y el costo romedio or unidad en este nivel de roducción es de $6. Encontrando C q demuestre que el costo romedio se aroima a un nivel de estabilidad. Si el roductor aumentara continuamente la roducción Cuál es el valor del costo romedio?.. Reita el roblema anterior cuando el costo fijo es $. y el costo variable está dado or C v q,. La oblación P de una ciudad equeña en t años a artir de ahora se redice será de. P. (t Encuentre la oblación a largo lazo, esto es encuentre t P. DEFINICION FORMAL DE LÍMITE Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página 8

9 El significado de la eresión f ( a L, se uede interretar así: a medida que nos acercamos al valor a or la izquierda, la gráfica se acerca al valor L y cuando nos acercamos or la derecha, la gráfica también se acerca a L, es decir, ara un intervalo de ancho δ, suficientemente estrecho, eiste un intervalo de anchura ε, suficientemente estrecho, de tal manera que arte del gráfico que está en el intervalo vertical, está también en el intervalo horizontal, eceto quizás ara =. Dada la función y = F( y los números a y L, se dice que f ( a si ara todo número ositivo ε, eiste un número ositivo δ, tal que f ( L < ε, siemre que a < δ L, 8. FUNCIONES CONTINUAS La idea intuitiva que hay tras la continuidad es que una función es continua, si su gráfica es una línea de un solo trazo, sin saltos. Para garantizar que las cosas ocurren de dicho modo, se emieza eigiendo que en cada unto, la función tenga límite y que éste sea el valor que toma la función en ese unto Una función f( se dice que es continua en =a, si se verifica que:. f ( eista a. f(a eista. f ( f (a a Una función y=f( es continua en un intervalo, si es continua en todos los untos de dicho intervalo DISCONTINUIDADES Una función y=f(, se dice que es discontinua en a, si f( no es continua en =a. Cuando una función es discontinua, interesa distinguir dos osibilidades: Ejemlos. Probar que la función definida or, si f ( es discontinua en el unto =, si Para robar la discontinuidad en =, hay que ver cuál de las tres condiciones de continuidad no se cumle. En este caso es la rimera, ya que no eiste el límite de la función cuando tiende a ; los límites laterales no coinciden:. Probar que la función definida or, si f ( es discontinua en el unto =, si : Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página 9

10 En este caso eiste el límite de la función cuando tiende a, y es ; los dos límites laterales coinciden: Sin embargo, la función no está definida en = ; no eiste f (. Por tanto, la función es discontinua en =.. Es la función definida or si f ( discontinua en el unto =?, si : Eiste el límite de la función cuando tiende a, ya que los dos límites laterales coinciden: La función está definida ara = y vale : f( =. Sin embargo, el valor del límite de la función cuando = no coincide con f (: CLASIFICACIÓN DE PUNTOS DE DISCONTINUIDAD Para que una función f( sea discontinua o no continua en un unto deberá darse una, al menos, de estas condiciones: Deendiendo de qué condición se verifique, los untos en los que una función no es continua se clasifican en untos de discontinuidad evitable y en untos de discontinuidad no evitable (o inevitable. Discontinuidad evitable Una función resenta una discontinuidad evitable en un unto cuando, eistiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el unto (caso c: La discontinuidad se uede evitar asignando a la función, en el unto, el valor de su límite. función sea continua en ese unto. el que hace la Discontinuidad inevitable Una función resenta una discontinuidad inevitable en un unto cuando o bien no eiste algún límite lateral (caso a o bien los límites laterales eisten ero son distintos (caso b, en cuyo caso no eiste el límite. Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página

11 Ejemlos: f( es continua en todos los untos salvo en =. La discontinuidad es inevitable. La función es continua en todos los untos salvo en los que se anule el denominador: = función en = es. to la discontinuidad en = es evitable. El verdadero valor de la Asignando a f( el valor, la función es continua en todos los untos. Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página