Límite de una función
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- Gregorio Vera Velázquez
- hace 7 años
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1 CAPÍTULO Límite de una función. Límites en infinito Sea f./ una función. Suongamos que.a; C/ D f. Diremos que el ite de f./ cuando tiende o diverge a C es [notación f./ D si los valores de f./ están tan!c róimos a como queramos con tal de tomar > a suficientemente grande. f./ cerca de f./ D!C D f./ a ositivo suficientemente grande Sea f./ una función. Suongamos que. ; b/ D f. Diremos que el ite de f./ cuando tiende o diverge a es notación f./ D si los valores de f./ están tan! róimos a como queramos con tal de tomar < b negativo de suficiente gran valor absoluto. canek.azc.uam.m: / / 008
2 Cálculo Diferencial e Integral I f./ D! f./ cerca de negativo de suficiente gran valor absoluto D f./ b En estos casos a la recta D se le llama asíntota horizontal. Esto es, se dice que la recta D es una asíntota horizontal de la función f o bien de la curva D f./ si ocurre alguno de los hechos siguientes: f./ D o bien f./ D :!!C En este conteto tenemos los siguientes comortamientos:!c n D C con n N! n D C si n es ar.! n D si n es imar.!c c m n En articular! c n D 0. D 0 con m n QC c constante. Esto lo sintetizan algunos autores oniendo c D 0. Si f./ D a 0 n C a n C C a n C a n D n a 0 C a C C a n n C a n n, entonces:. f./ D C si a 0 > 0.!C. f./ D si a 0 < 0.!C. f./ D C si a 0 > 0 n es ar.!. f./ D si a 0 > 0 n es imar.!. f./ D si a 0 < 0 n es ar.!. f./ D C si a 0 < 0 n es imar.! Obsérvese, or ejemlo, que una función olinomial no tiene asíntotas que, si n es imar, R f D R. Ejemlo.. Dada la función olinomial f./ D C C7, calcular f./ & f./.!!c
3 . Límites en infinito H Ya que f./ D C C 7 D. f./ D [!!. f./ D [!C!C C C C C 7, entonces: C 7 ] D C; C 7 ] D. Ejemlo.. Dada la función./ D C, calcular./ &./.!!C H Ya que./ D C D C, entonces../ D [!!../ D [!C!C C C ] D C. ] D C. Ejemlo.. Dada q./ D 0 C 8 C C, calcular q./ & q./.!!c H. q./ D.!! 0 C 8 C C / D D! [ 0 C C 8 C 0 ] D :. q./ D [ 0!C!C C C C ] D : 8 0 Si f./ D P./ es una función racional con Q./ P./ D a 0 m Ca m C: : :Ca m Q./ D b 0 n Cb n C: : :Cb n olinomiales.a 0 0 & b 0 0/, entonces: 0 si m < n I f./ D a 0 si m D n I! b 0 si m > n :
4 Cálculo Diferencial e Integral I Este resultado es claro si onemos f./ D P./ m a 0 C a Q./ D C : : : C a m m n b 0 C b C : : : C b D n n m n a 0 C a C : : : C a m m b 0 C b C : : : C b n n Una función racional tiene asíntotas horizontales D 0 si m n; D a 0 b 0 si m D n; además uede o no tener asíntotas verticales. Ejemlo.. Dada f./ D C, calcular f./ & C f./.!!c H C f./ D!! C D! D! D 0 C 0 0 C 0 D : C C D!! C C D C C D De igual manera se obtiene que f./ D.!C Por lo tanto, la recta D es una además la única asíntota horizontal de la función f o bien de la curva D f./. Ejemlo.. Calcular H!C!C C 7. C 7 D!C D!C C 7 D C 7 Aquí la recta D 0 es una asíntota horizontal de la curva D única ues de la misma manera! C 7 D D 0 : D D 0 C : C. Además también es la C 7 :
5 . Límites en infinito Ejemlo.. Calcular! C. H C D!! D C C D C : D! C D La función no tiene asíntotas horizontales ues de la misma manera se obtiene que C D C D C :!C Ejemlo..7 Calcular H!C. /. C /!C 7 C 8 D!C [ D!C D././. /. C /. 7 C 8 D ] [ 7 C 8 C 7 C 8 D./ D : C ] D!C D!C C D 7 C 8 C 7 C 8 D La recta D es asíntota horizontal de la función f./ D. /. C / es la única ues 7 C 8 análogamente f./ D.! Ejemlo..8 Calcular.!C C..! C.
6 Cálculo Diferencial e Integral I H.!C C D!C D!C D!C C D!C j j C D!C C D D : C D C D Nótese que, como! C, odemos suoner que > 0 or lo que j j D. La recta D es una asíntota horizontal de la curva D C..! C D! D C! C D D! j j C D! C D D! C D D : Ahora consideramos que < 0 ues! or lo que j j D. La recta D es la otra asíntota horizontal de la curva D C. D asíntota horizontal D f./ D C D asíntota horizontal
7 7. Límites en infinito 7 Ejemlo..9 Calcular! C 9. H! C 9 D! D! D C 9 C 9 D!! C 9 C 9 D La recta D es la asíntota horizontal de la función f./ D D : D C 9. D asíntota horizontal D f./ D C 9 Ejemlo..0 Calcular. C!C /. H Éste es un ite indeterminado. /. Hagamos un truco: racionalicemos el numerador C de. Generamos rimero una diferencia de cuadrados hacemos luego lo que hemos venido haciendo: [. C / D. ] C C C / D!C!C C C. C /. / D!C C C D!C D C C C C D D!C C C D 0 C : La recta D 0 el eje de las abscisas es la asíntota horizontal de la curva D C. D f./ D C D 0 el eje asíntota horizontal
8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Ejemlo.. Calcular. C /.!C H Otro. /. Procedemos como el ejemlo anterior algo más [. C / D. C /!C!C. D C /!C C C D!C C como! C, > 0, entonces j j D D!C C C C C D C D!C D!C j j ] C C D C C C C D C C C D C D!C C C D C C D : Por lo que la recta D es una asíntota horizontal de la curva D C. La otra asíntota es D ues de la misma manera a que!. C / D C D C C : C Ejercicios.. Soluciones en la ágina?? Calcular los ites siguientes:
9 9. Límites en infinito 9..!C C.! C 8. C 7.! C. C.! C 7..!C C..! C. 7.! : C 8.!C C C. C 9. :!C. / 0.!C. C.! C C. C.! 9 C 8 C.! C 8 C.! C 9 C.! C.!C C C C 7.! 9 C C 8.! C 9.!C C. 0.! C. C. C!C C.!C.!C. C /. C.!C. C /..!. C /..!. C /. 7.!. C C /. 8.!. C / 9.!C. C 0.!. C / /.. C /!C. C C C!.. C C /!.!C. C /.!C. C / Ejercicios.. Soluciones en la ágina??
10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I Miscelánea de roblemas sobre ites. f. C h/ f./ Un ite mu esecial ara una función f es. Calcular este ite ara: h!0 h. f./ D c con c constante.. f./ D a C b con a, b constantes.. f./ D a C b C c con a, b, c constantes.. f./ D a con a constante.. f./ D c a C b. f./ D. con a, b, c constantes. 7. La función f tiene la gráfica siguiente D f./ a. Determine: i. f./;! ii. f./;! C iii. f./;! iv. f./;! C v.! f./; vi. f./;! C vii.! viii.!c b. Calcule f./, f./ también f. /. c. Eisten los ites f./; f./; f./?!!! si I 8. Considere la función: h./ D C si > : C a. Calcule el h./.! b. Eiste h./? Justifique su resuesta.! 9. Grafique una función que cumla con los siguientes requisitos:
11 . Límites en infinito a. f.0/ D 0I b. f./ D I c. f./ D I! d. f./ D CI! C e. f./ D I!C f. f./ D I! g.! f./ D : 0. Trace la gráfica de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: a. f./ D 0I! b. f./ D CI! c. f./ D 0I! C d. f./ D I!0 e. f./ D I! f. f./ D I! C g.! f./ D I h.! C f./ D I i.! f./ D 0I j. f./ D I! k. f./ D :!C. La función f tiene la gráfica siguiente: D f./ a. De la gráfica determine: i. f./;! ii. f./;! C iii. f./;! iv. f./;! C v. f./;! vi. f./;! C vii. f./;! viii. f./;! C i. f./;!. f./.! b. Calcule f. /, f./ f./.
12 Cálculo Diferencial e Integral I c. Eisten o no los siguientes ites?: f./; f./; f./; f./.!!!! si 8 I. Considere la función g./ D. C / j C j si 8 < < I C 9 si : a. Calcule g./.! b. Eiste el g./? Justifique su resuesta.! C C si I. De la función f./ D si < < : C 9 determinar los ites laterales en el ite en.. Para la función f definida or f./ D a. Dominio raíces. b. Asíntotas verticales horizontales. c. Bosquejo gráfico., determine:. Dar un bosquejo de la gráfica de una función f que cumla los requisitos siguientes: Es continua en los intervalos. ; /, Œ ; /, Œ; en.; C/; además: a. f./ D ;! b. f./ D 0;! c. f./ D C;! d. f./ D 0;! C e. f./ D ;!0 f. f./ D ;! g.! C f./ D ; h.! f./ D ; i.! C f./ D ; j.! f./ D 0; k. f./ D.!C. Dibuje una gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes: a. f./ D ;!0 C b. f./ D ;!0 c. f.0/ D ; d.! f./ D ; e.! C f./ D ; f. f./ D ;!C g. f./ D.!
13 . Límites en infinito 7. Bosquejar la gráfica de una función f que cumla las condiciones siguientes: a. f. / D 0; b. f. / D ; c. f.0/ D ; d.! f./ D ; e.! C f./ D C; f. f./ D ;!0 g. f./ D ;! h. f./ D ;! C i. f./ D ;!C j. f./ D.! 8. Bosqueje la gráfica de una función que cumla las siguiente condiciones: a. f./ D ;! b.! f./ D ; c.! C f./ D ; d. f.0/ D 0; con sus dominios natu- 9. Considere las funciones f./ D rales. e. f./ D ;!0 f.! f./ D C; g. f./ D! C ; h. f./ D!C. & g./ D 9 a. Grafique las funciones f & g. b. Calcule.g ı f /./.! C c. Calcule.f ı g/./.!c
14 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios.. Límites en infinito, ágina??. D!C. C.! C 8 D. C 7.! C D 0C. C.! C 7 D C.. C D.!C.! C D. 7. D.! C 8.!C C C D. C 9. D 0.!. / 0.!C D. C.! C C D. C.! 9 C D. 8 C.! C 8 D 8.. C! C D. 9 C.! C D.. C C D!C C. 9 C 7. D.! C Ejercicios.. ágina?? 8.! C D. 9.!C C D. 0.! C D. C. C D.!C C.!C D C..!C. C / D 0 C..!C. C / D..!. C / D C..!. C / D C. 7.!. C C / D. 8.!. C / D C. 9.!C. C / D. 0.!. C / D... C / D!C.. C C C!. No tiene sentido. D..!C. C / D..!C. C / D.
15 . Límites en infinito. 0.. a.. a C b.. a. ac..a C b/.., si > a.!! f./ D ; f./ D ;! C f./ D ; f./ D ;! C f./ D! ; f./ D! C ; f./ D ; f./ D!!C ; b. f./ D 0; f./ D ; f. / D ; c. f./ no eiste;! f./ D ;! f./ D!. 8. a.! h./ D ; b. No eiste! h./ D f./. a.!! f./ D ; f./ D! C ; f./ D ; f./ D 0;! C f./ D! ; f./ D! C ;! f./ D ;! C f./ D ; f./ D! ; f./ D ;! b. f. / no eiste; f./ no eiste; f./ D 0; c. f./ no eiste;! f./ D! ;!! f./ no eiste; f./ no eiste..! g./ D ;! g./ D! C g./; g./ no eiste.!. f./ :8;!! f./ :; f./ D 0.! C. a. D f D. ; /.; C/; no tiene raíces; b. D & D son asíntotas verticales; c. no tiene asíntotas horizontales. D f./ D f./
16 Cálculo Diferencial e Integral I. 8. D f./ D f./. 9. D D f./ D D a. D f./ 7. 9 D g./ D f./ b.! C.g ı f /./ D ; c..f ı g/./ D C.!C
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