5.- discontinuidad se dice esencial Ejemplo: f(x) = x - 2 es continua en a = 2 punto de acumulación de Dom(f) = lr. De Equivalentemente.

Transcripción

1 x a 5.- discontinuidad se dice esencial Continuidad Sí lim de f(x) funciones no existe en una ó variable no es finito real la x a Ejemlo: f(x) x - es continua en a unto de acumulación de Dom(f) lr (i) f() 0 (ii) lim x - 0, lim - x x CONTINUIDAD, x TIPOS DE DISCONTINUIDAD. Definición lim 4.. x Sea - f una 0 función y a Dom(f), diremos que f es continua en a si dado ε > 0 δx > 0 tal que sí x Dom(f), x V δ (a) entonces f(x) V ε (f(a)) De Equivalentemente (i) y (ii) f es continua : ε > 0 en δ a > 0/ Sí x Dom(f), x - a < δ f(x) - f(a) < ε Observación:.- Sí a no es un unto de acumulación del Dom(f) ( a es unto aislado ) Inmediatamente f es continua en a ues ara δ suficientemente equeño x (único) tal que x - a < δ en este caso x a f(a) f(a) < ε, ε > Sí a es unto de acumulación del Dom(f) Podemos decir que la función f es contínua en a (i) f(a) finito ( i) lim f(x) f(a) x a Sí una de las condiciones no se cumle la función será discontinua en a 4.- Sí existe lim f(x) ero lim f(x) L f(a) la discontinuidad se dice evitable x a x a f ( x) En este caso se uede re-definir f(x) con la función g(x) L que lim g(x) g(a) y la nueva función resultaría continua en a. x a x a x a de tal manera

2 0 Ejercicio: Determinar los untos de discontinuidad de f(x) 6 x 4 x 3x 4 Para a Dom(f) y a - 4,. f es continua en a ues lim f(x) f(a) Como 6x 4 6( x 4) f ( x ) x 3x 4 ( x )( x 4) x a ) Analicemos la continuidad en a unto de acumulación del Dom(f) i) f() ii) lim f(x) 6 - lim f(x) 6 x x 0 Se tiene discontinuidad esencial en a ) Analicemos la continuidad en a - 4 unto de acumulación del Dom(f) i) f(- 4) 0 6 ii) lim f ( x) 4 5 Se tiene discontinuidad evitable en a : x 4 Redefiniendo g(x) 5 f ( x) x 4 g es contínua en x - 4 ero discontinua en x x 4 x x 4, senx : x c Ejercicio: Dada f (x) Dados b, c determinar a ara que f sea contínua en c. ax b : x > c Si lim f ( x) f ( c) entonces sen(c) acb entonces: c Para c 0 se tendrá que a es cualquier número. senc b Para c 0 se tiene que a c Definición 4.. Una función f : lr lr se dice contínua si lo es en cada unto de su dominio. Ejemlo: Dada la función f(x) (x-) tal que Dom(f) lr Para z Dom(f) se tiene que lim f ( x) lim ( x ) ( z ) f ( z) Entonces f es contínua. x z x z

3 Ejercicio: Determinar a, b ara que sea contínua f(x) i) f es contínua en -,, -,,,. ii) Si f es contínua en - lim f ( x) f ( ) senx asen( x) b cos( x) lim f ( x) lim x < x < x lim f ( x) lim senx, lim f ( x) lim asenx b a b iii) Si f es contínua en lim f ( x) f ( ) lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) lim asenx b a b, lim f ( x) lim cos x 0 De (*) y (**) se tiene a -, b. Teorema 4.. Sí f y g son dos funciones continuas en a entonces: i) (k) f es continua en a donde (k) es una constante. ii) f ± g es continua en a iii) f. g es continua en a f iv) es continua en a g(a) 0 g Este es un caso articular del teorema de oeraciones con límites. Corolario 4.. Sí f y g son dos funciones continuas entonces: i) (k) f es continua donde (k) es una constante. ii) f ± g es continua iii) f. g es continua f iv) es continua g(x) 0 g Se tiene directamente del teorema(4..). Analizar la continuidad de h(x) [[x]] x Ejemlo: en x f ( x) f ( ) -ab (*) f ( ) ab 0... (**) Considerando f(x) [[x]], g(x) x 3 i) f( ), g( ) h(x) f(x) g(x)

4 ii) lim f(x) lim [[x]] lim [[x]] f( ) ara x V 4 lim g(x) lim x 3 g( ) De (i) y (ii) se tiene que f y g son funciones continuas en x / Por lo tanto usando roiedad (ii) se tiene que h es función continua en x / Teorema 4.3. Sean f y g funciones tal que Rang(f) Dom(g). Sí f es continua en a y g es continua en f(a) entonces g o f es continua en a. Este es un caso articular del teorema de límite de comosición de funciones. Ejemlo: Dado h(x) 3x 4 veamos la continuidad en x Consideremos f(x) 3x 4 g(y) Ya que lim f(x) 6 f() Se tiene que f es continua en x x lim g(y) 4 g(6) Se tiene que g es continua en f() 6 y 6 Del teorema h(x) (g o f)(x) es continua en x lim 3x 4 (g o f)() 4 y x x, x < 0 Ejemlo: Sean f(x) x - x, g(x) x x 0 Veamos la continuidad de f o g en x 0 x x < 0 x x < 0 Ya que f(x) (f o g)(x) 0 x 0 0 x 0 i) (f o g)(0) 0 ii) lim (f o g)(x) lim x 0 lim 0 lim (f o g)(x) x 0 - x 0 x 0 x 0 Por lo tanto f o g es contínua en x 0 Otra forma: Como g(x) es continua en x 0 y f(x) es continua en g(0) 0 Según el teorema(4.3.) f o g es continua en x CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN INTERVALOS. Definición 4.3. Una función f : lr lr se dice continua en a, b Dom(f) sí es continua en todo x a, b. Definición 4.4. Una función f lr lr se dice continua en [ a, b Dom(f) sí :

5 i) f es continua en a, b ii) lim f(x) f(a) x a Definición 4.5. Una función f : lr lr se dice continua en a, b ] Dom(f) sí : i) f es continua en a, b ii) lim f(x) f(b) x b - Definición 4.6. Una función f : lr lr se dice continua en [ a, b ] Dom(f) sí se cumle las dos definiciones anteriores. Ejemlo: Veamos la continuidad de f(x) x en [, i) f es contínua en, ues a, se tiene lim x a f(a) ii) lim x x f() Por lo tanto de (i) y (ii) se tiene f es contínua en [, x a Ejemlo: Dada la función f(x) x tal que Dom(f) [, Para z, se tiene que lim f ( x) lim x z f ( z), lim f ( x) f () Entonces f es contínua en [,. x z x z Ejercicio Hallar a, b ara que f sea contínua f(x) f es contínua en - π, 0, 0, π, π, π sen x x ax b cos x < x < 0 0 x < x < i) Para que f sea continua en x 0 sen x lim - b lim ax b b - 0 x 0 ii) Para que f sea continua en x π lim ax b a π b - lim cos x b - a 0 - x π x π Por lo tanto ara que f sea continua a 0, b - Ejercicio Dado f(x) 5 x x 9 estudiar la continuidad de f. Sabemos Dom(f) [-5, -3 3, 5 ] a) i) f es continua en -5, -3 ii) lim f(x) 0 f(-5) Por lo tanto f es continua en [-5, -3 x

6 b) i) f es continua en 3, 5 ii) lim f(x) 0 f(5) Por lo tanto f es continua en 3, 5 ] x 5 - Pero no es continua en -5 y 5 entonces f no es continua Ejercicio Dada f(x) [[x]] x x [-,. Analizar la continuidad (Graficar) Como x [- - x < - x < [[x]] -, -, 0,. Sea [[x]] n n x < n x [ n/, (n)/ tal que n -, -, 0, i) Sí n - x [ -, -/ f(x) - - x ii) Sí n - x [ -/, 0 f(x) - - x iii) Sí n 0 x [ 0, / f(x) -x iv) Sí n x [ /, f(x) x Inmediatamente f es continua en [-, -/, [-/, 0, [ 0, /, [ /, Además: ) lim - x - -/ lim x f no es continua en x -/ ) lim - x - 0 lim -x f no es continua en x 0 x 0 - x 0 3) lim -x -/ / lim ( x ) f no es continua en x ½ 4.3. TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE CONTINUIDAD EN INTERVALOS. Teorema 4.4. Si f es contínua en a unto de acumulación del Dom(f) f(a) > 0 entonces existe una vecindad V δ(a) tal que f(x) > 0, x V δ (a). Como f es contínua en a. Para ε f(a) > 0 δ > 0 / si x Dom(f), x V (a) f(x)-f(a) < f(a) -f(a) < f(x)-f(a) < f(a) x Dom(f), x V (a) d -f(a) < f(x)-f(a) < f(a) x Dom(f), x V (a) d V δ (a) Dom(f) V (a) tal que f(x) > 0, x V δ (a). d Observar: si f(a) < 0 también V δ (a) tal que f(x) < 0, x V δ (a). d

7 Teorema 4.5. (del cero) Si f es una función continua en [a, b] tal que f(a)f(b) < 0 Entonces existe c [a, b] tal que f(c) 0. Basta verificar solo el caso f(a) < 0, f(b) > 0. Ya que f es contínua en [a, b] entonces lim f ( x) f ( a), lim f ( x) f ( b) a Como en el teorema anterior: V (a) tal que f(x) < 0, x [a, a δ V (b) tal que f(x) > 0, x b- d δ, b] Entonces existe c tal que a < c < b, C [a, c tal que f(x) < 0, x C. (*) f(x) > 0, x c, c δ 3 ara algún δ3 > 0(equeño). Además C es acotado or b y tiene su(c) c. Ahora suongamos que f(c) > 0. Nuevamente lim f ( x) f ( c) entonces f(x) > 0, x V δ (c). c d Entonces existe c < c tal f(c ) > 0 contradicción con (*) Si f(c) < 0 análogamente f(x) < 0, x V δ (c) ara algún δ. Entonces c > c tal f(c ) < 0. Entonces c C, c > c su(c) lo que es contradicción con la definición de suremo. Por tanto f(c) 0. Gráfico b Ejercicio Sea f : [0,] 0, contínua en [0, ] robar que existe c 0, tal que f(c) c. Considerando g(x) f(x)-x contínua en [0, ]. Inmediatamente g(0)g() < 0 or el teorema del cero existe c 0, tal que g(c) f(c)-c 0 Entonces c 0, tal que f(c) c Ejercicio Sea f : [a,b] lr función contínua en [a, b] tal que f(a) ab f(b) robar que existe c a,b tal que f(c) c. Considerando g(x) f(x)-x contínua en [a, b]. Inmediatamente g(a)g(b) < 0 or el teorema del cero existe c a, b tal que g(c) f(c)-c 0 Entonces existe c a,b tal que f(c) c Ejercicio Probar que 3 cos tiene solución en 0, x senx x x. Considerando f(x) 3 cos contínua en [0, x senx x x ]

8 Entonces f(0)f( ) < 0 or el teorema del cero existe c 0, tal que f(c) 0 Entonces existe c 0, tal que f(c) 0 Teorema 4.6. Si f es contínua en [a, b] entonces f es acotada sobre [a, b]. Ó sea f([a, b]) es acotada. Si z a, b entonces lim f ( x) f ( z) z Entonces con el teorema de acotación local existe V δ(z) tal que f(x) < f(z) M(finito) Por otro lado como lim f ( x) f ( a), lim f ( x) f ( b) son finitos. a b Entonces f([a, b]) es acotada. Teorema 4.7. (De Wiestraus ) Dada f una función continua en [a, b] entonces f tiene mínimo(m) y máximo(m) sobre [a, b]. Ó sea existe el mínimo(m) y el máximo(m) de f( [a, b] ). Según el teorema anterior y el axioma del suremo existe M su{ f([a, b])} Suongamos que M f([a, b]). Ó sea f(x) M, x [a, b] entonces f(x) < M. Asi la función definida or g(x) es contínua en [a, b]. M f ( x) Nuevamente or el teorema anterior g([a, b]) es acotada. Entonces existe K > 0 tal que g(x) K f(x) M - M f ( x) K Ó sea M - es cota suerior de f([a, b]) contradicción ues M su{ f([a, b])} K Entonces M f ([a, b]). Por tanto existe c [a, b] tal que f(c ) M su{ f([a, b])} max{ f([a, b])} Análogamente existe c [a, b] tal que f(c ) m inf{ f([a, b])} min{ f([a, b])} Ejemlo: Consideremos la siguiente función f(x) (x-) 3 x [0, ] En la cuál se tiene que f es continua en [0, ] Además existen m - (mínimo de f( [0, ] ) ), M (máximo de f( [0, ] ) ) Como f es continua y f(0)f() (-)() < 0, [0, ] / f() 0 Teorema 4.8. ( Valor Intermedio ) Dada f una función continua en el intervalo [a, b] con mínimo(m) y máximo(m) de f([a, b]). Sí d [m, M] c [a, b] / f(c) d Por el teorema anterior ara d M, d m existen c, c [a, b] tal que f(c ) d, f(c ) d. Si d m, M considerar g(x) f(x)-d entonces g es contínua en [a, b] Además g(c ) f(c )-d > 0, g(c ) f(c )-d < 0 c [a, b] tal que g(c) f(c)-d 0-7 -

9 Por tanto si d [m, M] c [a, b] / f( c ) d. x Ejercicio Dada f(x) x 6. x Para d 3 hallar el valor del teorema del V.I. i) f es continua en [, 6 ] ues a, 6 se tiene lim f(x) f(a) Además lim f(x) f() lim f(x) f(6) x x 6 x a ii) La función f es creciente en x 6 x x Suongamos que x, x [, 6], x < x, entonces x.x absurdo. x x 37 Entonces m f(), M f(6) 6 Además ara d 3 [m, M ] or el teorema del V.I. c [, 6 ] / f(c) 3 c 3 ± Entonces 3 c c [, 6 ] c 4.4. CONTINUIDAD UNIFORME. Definición 4.7. Dado B lr se dice que la función f : lr lr es uniformemente continua en B sí ε > 0 δ(deendiendo solo de ε ) > 0 tal que x, a B, x a < δ f(x) f(a) < ε Ejemlo: f : lr lr / f(x) bx c Estudiemos la continuidad uniforme i) Sí b 0 se tiene f(x) c Se tiene: ε > 0 δ ε / x, a lr, x a < δ ε c c 0 < ε ii) Sí b 0 e e Se tiene: ε > 0 δ / x, a lr, x a < δ b x a < ε b b bx c ( ba c ) f(x) f(a) < ε - 7 -

10 Observación: i) Es fácil ver que continuidad uniforme en B imlica la continuidad en B Bastará fijar a a o ii) Que una función sea continua en B no imlica que sea uniformemente continua en B. Contraejemlo: f : 0, lr / f(x) x a) f es continua en 0, b) ε > 0 no se uede hallar δ( ε ) > 0 / x, a 0,, x a < δ x a < e En efecto suongamos que ε > 0 se tiene δ > 0. Bastará considerar 0 < a < δ 0 < a < 3 e d d Luego ara x a 0, se tiene x a < δ d d Pero > x a a d a (a d ) a 3ad Se ha usado 0 < a < δ entonces > a d 3d > e 3a Definición 4.8. Dado B lr las funciones f : B lr que cumlen x, a B, k(cte.) > 0 tal que f(x) f(a) k x a ( son llamadas funciones de Lischiz.) Observación: Las funciones funciones de Lischiz son Uniformemente continuas ues: e e ε > 0 δ tal que x, a B, x a < δ f(x) f(a) k x a < δ. k k En articular : i) f : lr lr / f(x) bx c es función de Lischiz con constante k b ( Ya se vió que es uniformemente continua ) ii) iii) f : B lr / f(x) x, B es acotado. Es de Lischiz ues si x k, x B Entonces f(x) f(a) x a x a x a k x a En este caso k k ( Luego f es uniformemente continua en B ) f : lr lr / f(x) sen x x a x a Es de Lischiz ues sen x sen a cos sen x a x a x a Además cos sen x a Entonces sen x sen a () x a En este caso k (Así f es uniformemente continua )

11 Teorema 4.9. Dadas f, g : B lr uniformemente continuas en B entonces : i) λ f, λ lr es uniformemente continua en B. ii) f ± g es uniformemente continua en B. iii) f o g es uniformemente continua en B. Observación: Sí f, g son uniformemente continuas en B. No siemre f.g es uniformemente continua en B. Contraejemlo: Dada f : lr lr / f(x) x, ya se vió que es uniformemente continua Pero f. f : lr lr / (f. f)(x) f(x).f(x) x no es uniformemente continua En efecto ara y > 0 sean x > d ε δ a x (*) d d Entonces x a < f(x) f(a) x a d δ ( x ) x or (*) d x δ 4 > x δ > Entonces x a < δ f(x) f(a) > ε

12 4.5. RELACIÓN DE EJERCICIOS: I. Averiguar la continuidad en a, sí es discontinua indicar el tio 5x 3 x x sen x 0 ) f ( x) a ) f ( x) x a 0 x 0 x 0 II. Ver si es osible determinar L tal que la función sea continua en a. ) f ( x) x L 3x 4 x 4 x 4 x 4 a 4 ) x f ( x) x L x > 0 x < 0 x 0 a 0 III. Determinar los intervalos donde f es continua: ) f ( x) x [[ x]] ) f(x) x [[ x ]] [[ - x ]] IV. Analizar la continuidad de h: x 3 x > 3 x f ( x) g( x) [[ x ]] 0 < x 3 x 4 x 4 h g o f V. Sea f continua en x 0, f(x y) f(x) f(y) x, y lr. Probar que f es continua VI. Sí f : a, b lr tal que M lr y f(x) f(y) M x y x, y a, b Probar que f es continua. VII. Hallar los valores de máximo y mínimo de f sobre [ 0, 4 ] ara : ) f ( x) ) f(x) x 6x 8 x 4 VIII. Probar que f(x) x 3 3x tiene una raíz real en el intervalo,