ANÁLISIS PROF. GUSTAVO FRANCO

Transcripción

1 FUNCIONES REALES () 1 ANÁLISIS PROF. GUSTAVO FRANCO

2 Se consideran las siguientes funciones f : X X, dadas por sus gráficas. Para cada una: (1) Indica cuáles son continuas en a según tu idea previa de continuidad. () En caso de existir, indica el valor de: lim f ( x), lim f( x), lim f( x) y compáralos x a x a xa con fa ( ) (si existe). (3) Para los casos en que fa ( ) existe, investiga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: (i) (ii), / x E X f ( x ) E lim f ( x) f ( a). xa a, f ( a),

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4 4

5 Definición Consideremos una función f : X X y a X. Diremos que f es continua en a si, y solo si,, / x E X f ( x) E Definición a, f ( a), Consideremos una función f : X X y a. Diremos que f es discontinua en a f no es continua en a. si, y solo si, (1) Si a es un punto aislado de X, es f continua en a? () Si a es un punto de acumulación de X y f es continua en a, qué puedes decir del lim fx ( )? xa (3) Si a es un punto de acumulación de X y f es continua en a, (4) qué puedes decir del lim f( x)? Y del lim f( x)? x a x a Si lim f( x) f( a), f es continua en a? xa 5

6 Estudia continuidad en 0 para cada una de las siguientes funciones: (1) j : / j( x) sen, si x 0 x 0, si x 0 Hipervínculo 1 () f : / f ( x) x.sen, si x 0 x 0, si x 0 Hipervínculo (3) g : / g( x) x.sen, si x 0 x Hipervínculo 3 0, si x 0 6

7 (1) Consideremos f :, tal que ( ) Estudia continuidad de f en su dominio. x, si x f x x, si x () Consideremos la función f : X, tal que f( x) x, 1 * siendo X x / x x, n 0. n (a) Grafica f. (b) f es continua en su dominio? (3) Consideremos la función f :, tal que 0, si x ( ) 1 m f x, si x, con m, n n n y m y n primos entre sí. Prueba que es continua en todo irracional f 7 y discontinua en todo racional.

8 CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES (EN UN PUNTO DE ACUMULACIÓN DEL DOMINIO) Discontinuidades de primera especie (existen ambos límites laterales) de segunda especie (al menos uno de los límites laterales no existe) evitables lim f( x) b f ( a) f ( a) b xa de salto finito lim f( x) b lim f( x) c b c x a x a de salto infinito lim f( x) lim f( x) x a x a 8

9 Nota Consideremos una función f : X y a. Supongamos que f presenta en a f ( a) y que lim f( x) b, entonces xa una discontinuidad evitable. * * f ( x), si x a Podemos definir f : X a / f ( x) b, si x a Ejemplo x 3x Consideremos f :, / f ( x). x 4 f no es continua en ni en, pues no pertenecen al dominio de f. x 3x ( x )( x 1) 1 lim lim, por lo tanto x 4 ( x )( x ) 4 f presenta en una discontinuidad evitable. x x x 3x x lim lim x x ( x ) f x 4 no presenta en ( )( x 1), por lo tanto ( x ) una discontinuidad evitable. f ( x), si x Podemos definir entonces * : / * f f ( x) 1, si x 4 9

10 Las siguientes funciones son discontinuas en 0: f : / f ( x) sgn( x) g : / g( x) sgn( x) 1, si x 0 h : / h( x) x 5, si x 0 sen, si x 0 j : / j( x) x 0, si x 0 1, si x 0 r : / r( x) x 1 5, si x 0 Clasifica en cada caso el tipo de discontinuidad en 0. 10

11 Definición Consideremos la función f : X X y Y X. Diremos que f es continua en Y si, solo si, f es continua en a, a Y. x, si x 1 (1) Consideremos f : / f( x) x 1, si x 1 Estudia continuidad de f en su dominio. x, si x () Consideremos f : A / f ( x) x, si x Estudia continuidad de f en A en cada caso: (i) A (ii) A, (iii) A, (iv) A, 11

12 una función elemental es una función que puede obtenerse mediante suma, producto, cociente y composición a partir de las funciones racionales, las funciones trigonométricas y sus inversas y las funciones log y exp. Spivak, M. (199). Calculus. Cálculo infinitesimal. Barcelona: Editorial Reverté. (p. 500) 1

13 Teorema Las siguientes funciones son continuas en sus dominios: (1) f : / f ( x) k k () f : / f ( x) x (3) f : / f ( x) e (4) f : / f ( x) Lx x (5) f : / f ( x) senx (6) f : / f ( x) cos x (7) f : X / f ( x) tg x, con X x / x kx, k 13

14 Teorema (H) Consideremos f : X, g : X X y a X. f continua en a g continua en a (T) (1) f g es continua en a () f. g es continua en a (3) si g( a) 0, entonces es continua en f g a Si f y g no son continuas en a, se puede afirmar algo sobre la continuidad de f g, f. g y de en a? f g 14

15 Teorema (H) Consideremos f : X X, g : Y Y, Rec( f ) Y y a X. f continua en a g continua en f ( a) (T) g f es continua en a Si f no es continua en a y g no es continua en f ( a), se puede afirmar algo sobre la continuidad de g f en a? Ejemplo Consideremos h :, / h( x) L( x ) Estudia continuidad de h. 15

16 Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones en los puntos indicados: (1) () (3) f : 4 / f( x) sgn L x 4, en 5, 4 y 3. f : 4, / f( x) x 4, en 4. f : / f( x) x, en 0. (4) f : / f( x) (5) (6) x sgn sen, en 0. x, si x 1 f : / f ( x) x 3, en 1, y., si x 1 x x 4 f : / f ( x) sen x, en k., con k. 16

17 CONTINUIDAD LATERAL Consideremos una función f : X X y a X. (1) Consideremos a X. ' ' Diremos que f es continua en a si, y solo si, lim f( x) f( a). () Consideremos a X. xa Diremos que f es continua en a si, y solo si, lim x a f ( x) f ( a). 17

18 Consideremos una función f : X X y a X tal que a X '. Indica, justificando, si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: (1) Si f es continua en a entonces f es contin ua en a a. () Si f es continua en a a entonces f es continua en a. (3) Una función puede ser continua en a y no ser continua en a ni en a. (4) Una función puede ser continua en a y en a y no ser continua en a. 18

19 CONTINUIDAD EN INTERVALOS Definición f X X a b X f a b Consideremos una función :. (1) Consideremos,. Diremos que es continua en, si, y solo si, f es continua en x, x a, b. 0 0 () Consideremos a, b X. Diremos que f es continua en ab, si, f es continua en a, b y solo si, f es continua en a f es continua en b 19

20 Se consideran las siguientes funciones f : a, b, dadas por sus gráficas. Para cada una analiza: (1) continuidad en a, b () sg( f( a)) y sg( f( b)) (3) existencia de raíces 0

21 TEOREMA DE BOLZANO (Demostración) (H) Se considera una función f : a, b. f continua en a, b f ( a). f ( b) 0 (T) c a, b tal que f( c) 0 1

22 (1) Prueba que las siguientes funciones tienen una raíz entre 0 y 1. Admitiendo que dicha raíz es única, c alcúlala con error menor que 0,1. (a) f : / f( x) x 3x 1. (b) f : / f( x) e x 3. 3 x y lim f ( x), entonces existe c a, b tal que f ( c) 0. xb (c) f : / f ( x) x L x. () Prueba que si f es una función continua en a, b, lim f ( x) xa (3) Prueba que si f es una función continua en, lim fx ( ) x y lim f ( x), entonces existe c tal que f( c) 0. x (4) Demuestra que toda función polinómica de tercer grado tiene una raíz real. (5) Prueba que toda función polinómica de grado impar tiene una raíz real. Sucede lo mismo si el grado es par?

23 TEOREMA DE DARBOUX (H) Consideremos f : X X y a, b X, tal que f continua en a, b y / f( a) f( b) (T) c a, b / f( c). Realiza una interpretación gráfica del teorema anterior y demuéstralo. 3

24 DEFINICIONES Consideremos una función f : X X y A X / A. (1) Llamaremos conjunto imagen de A según la función f, y lo notaremos f ( A), al conjunto f( A) f( x) / x A () (a) Diremos que f está acotada superiormente si, y solo si, fa ( ) es un conjunto acotado superiormente. (b) Análogamente se define f acotada inferiormente en A. (c) Diremos que f está acotada en A si, y solo si, fa ( ) es un conjunto acotado. Simbólicamente f está acotada en A / f ( x), x A. (d) En particular, diremos que f está acotada superiormente, inferiormente o que está acotada si, y solo si, el recorrido de f f ( X) es, respectivamente, un conjunto acotado 4 superiormente, inferiormente o acotado. en A

25 Simbólicamente f está acotada h, k / h f ( x) k, x X. O, en forma equivalente: f está acotada / f ( x), x X. (4) (a) M M es máximo de f en A si, y solo si, M es el máximo de fa ( ). (b) Análogamente se define mínimo de f en A. (5) (a) E E es extremo superior de f en A si, y solo si, E es el extremo superior de f( A). (b) Análogamente se define extremo inferior de f en A. Consideremos una función f : X X y a X. (1) Prueba que si f es continua en a, entonces E / f está acotada en E X. a, a, ' () Prueba que si f es continua en a a X, entonces existe A a, a r tal que f está acotada en A X. (3) Enuncia la proposición análoga para a y pruébala. 5

26 Se consideran las siguientes funciones f : X X, dadas por sus gráficas. (1) Para cada una analiza: (a) continuidad en su dominio (b) máximo y/o mínimo () Encuentras alguna relación entre la continuidad en un intervalo y la existencia de máximo y mínimo de una función? 6

27 TEOREMA DE WEIERSTRASS Si una función es continua en ab,, entonces f tiene máximo y mínimo en a, b. 7

28 CONTINUIDAD UNIFORME Si f es continua en un punto a, sabemos que fijado 0 podemos encontrar tal que si x a, entonces f( x) f( a). El es entonces la distancia máxima que debemos imponerle al x con respecto a a para garantizar que la distancia entre f( x) y f( a) sea menor que. Fijado, el no es único, ya que si un nos sirve, nos servirá cualquier otro menor. Sin embargo existe un máximo que no podemos superar si queremos tener f( x) f( a). Veamos un ejemplo. 8

29 0 Consideremos f : / f( x) x y a. Para obtener f( x) f ( a) x a, x debe pertenecer al intervalo a, a. Entonces debe cumplir: a a y a a. Como la primera condición es más restrictiva que la segunda, tenemos que máx a a. 9

30 El ejemplo pone de manifiesto que para un dado, el valor máx depende (además de ) del punto a en que se esté considerando la continuidad. Para muchas aplicaciones (en particular para el cálculo integral) resulta útil obtener que dependa de pero que valga para todos los puntos a de un conjunto X. Esto es algo más exigente que la continuidad. Si obtuviéramos un en las condiciones descritas, resultará que para todo par de puntos x, y pertenecientes a X que disten entre sí menos que, se cumpliría que f x f y. Lo cual nos lleva a la siguiente definición. 30

31 CONTINUIDAD UNIFORME Definición Consideremos una función f : X X. Diremos que f es uniformemente continua en X si, y solo si, para cada real positivo, existe un real positivo, tal que para cualquier par de reales x, y pertenecientes a X que disten menos que, sus imágenes según f distarán entre sí menos que. Simbólicamente f es uniformemente continua en X, / x, y X, x y f x f y. 31

32 Teorema f X X A X x x A f x Consideremos :, y n de Cauchy tal que n n es de Cauchy f es uniformemente continua en A 3

33 EJEMPLO Consideremos f : / f( x) mx n f uniformemente continua en, / x, y, x y f x f y f x f y mx n my n mx my m x y (1) Si m 0, x, y, m x y, f uniformemente continua en. () Si m 0, considero x y m x y m m f x f y f uniformemente continua en. 33

34 EJEMPLO Consideremos f : / f( x) sen x. f es uniformemente continua en, / x, y X, x y senx sen y. x y x y x y x y senx seny. sen. cos. sen. x y Basta tomar entonces = : x y senx sen y =. Por lo tanto f es uniformemente continua en. 34

35 NO EJEMPLO Consideremos f : / f( x) x. f uniformemente continua en, / x, a, x a f x f a f x f a x a *. Anteriormente vimos que el mayor valor de que se puede considerar para que se cumpla * es: a a, que es un que depende de a (y de ). Pero ahora nos interesa analizar si es posible encontrar un, a si es posible encontrar, a, es Pero máx es posible. máx 0 máx a a a a 0. Por lo tanto tenemos que ver a decir: a a, a. 0, por lo tanto lo anterior no 35 0

36 En otras palabras, la restricción de cercanía de x y a se vuelve más y más exigente al crecer a, y es imposible encontrar un valor de uniforme para todo a. Por lo tanto la función no es uniformemente continua en. 0 0 De la definición de continuidad uniforme se desprende que si una función es uniformemente continua en X, entonces es continua en a, para todo a perteneciente a X (basta tomar y a en la definición). Pero, el recíproco de esta proposición, es verdadero? 36

37 EJEMPLO Consideremos ahora f : 1, k / f( x) x, con k y k 1. Ahora la cosa cambia. Cuando nos proponemos hallar a a, a 1, k, o lo que es equivalente a a, a 1, k. Como, a 1, k, bastará elegir k k a a. k k Entonces f es uniformemente continua en 1, k. 37

38 NO EJEMPLO Anteriormente vimos que si una función es uniformemente continua en X, entonces es continua en a, para todo a perteneciente a X y que el recíproco no se cumple (al menos para un conjunto no acotado). 1 Consideremos ahora f : 0,1 / f( x). x f es continua en 0,1, f es uniformemente continua? f es uniformemente continua, / x, a 0,1, x a f x f a 1 1 f x f a *. x a 38

39 1 1 Para que, es necesario que x a 1 1 a a x,,, a 1 a a a a a a a entonces a y a 1 a 1 a 1 a 1 a Como la segunda condición es más restrictiva que la primera, a se debe cumplir que:. 1 a a Como 0, 1 a a 0 a no es posible obtener, a 0,1. 1 a Por lo tanto, la función no es uniformemente continua en 0,1. 39

40 El no-ejemplo anterior nos muestra que una función continua en un intervalo acotado puede no ser uniformemente continua. Como veremos a continuación, si el intervalo es cerrado y acotado, entonces la continuidad implica la continuidad uniforme. Teorema Consideremos f : X tal que X y X compacto. f es continua en X f es uniformemente continua en X. Corolario f es continua en a, b f es uniformemente continua en ab,. 40

41 BIBLIOGRAFÍA Análisis Matemático 1. Oficina de publicaciones del centro de estudiantes de ingeniería. Rey, M. (01). Fichas para el curso de Análisis 1. Spivak, M. (199). Calculus. Cálculo infinitesimal. Barcelona: Editorial Reverté. 41